Средняя арифметическая, способы расчета
Если данные представлены в виде ряда распределения, то вопрос о выборе формы средней решается однозначно — средняя арифметическая. Этот вывод можно сделать, если вспомнить о том что ряд распределения есть не что иное как распределение значений варьирующего признака по частоте их появлений в совокупности.
Ряды распределения довольно часто встречаются в статистической практике. При этом варианта может быть задана в виде интервалов, если признак непрерывный, или в виде индивидуальных значений, если ряд дискретный. Для дискретных рядов расчет осуществляется по вышеприведенной формуле средней арифметической взвешенной. Для интервального ряда распределения задача расчета средней величины решается следующим образом. Предполагаем, что в пределах интервала значения признаков располагаются равномерно, поэтому середина интервала будет величиной, характеризующей весь интервал, то есть наиболее типичным для него значением. Данное предположение не всегда выполняется поэтому, чем меньше величина интервала, тем точнее его середина будет характеризовать весь интервал. Далее используется обычная формула средней, только значения варианты будут приравниваться к середине соответствующего интервала. Расчет средней по непрерывному признаку (представленному в виде интервалов) был рассмотрен в примере 2.
В том случае, если ряд распределения имеет равные интервалы, расчет средней может быть существенно упрощен. Упрощенные способы расчета средней арифметической базируются на знании ее свойств.
Свойства средней арифметической:
— если все веса (f) увеличить или уменьшить в одинаковое число раз (d), то величина средней не изменится:
— если каждую варианту (х) увеличить или уменьшить на одну и ту же величину, то средняя увеличится или уменьшится на эту же величин:
— если каждую варианту (х) увеличить или уменьшить в одно и то же число раз (h), то средняя увеличится или уменьшится в то же число раз.
— сумма отклонений вариант от средней, взвешенных их частотами равна нулю:
Перечисленные свойства средней арифметической используются при расчете средней способом моментов или способом отсчета от условного начала (0). При использовании этого способа последовательно осуществляются следующие операции:
— определяются срединные значения интервалов как полусумма начала и конца интервалов;
— варианта (серединное значение интервала) с наибольшей частотой принимается за условное начало отсчета (А);
— рассчитывается момент 1 -го порядка:
где 
i — величина интервала.
Средняя рассчитывается по формуле:
Пример расчета средней арифметической способом моментов.
Имеются следующие данные о продаже трехкомнатных квартир агентством недвижимости (табл. 6):
| Стоимость квартир, тыс. руб. | Число квартир в группе, f | x | x’ | x’f |
| 250—300 | -2 | -300 | ||
| 300—350 | -1 | -200 | ||
| 350—400 | ||||
| 400—450 | ||||
| 450—500 | ||||
| 500—550 | 3 | |||
| 550—600 | 4 | |||
| 600—650 | ПО | |||
| Итого |
Определите среднюю стоимость квартиры.
При использовании способа моментов удобнее всего результаты расчетов заносить в таблицу, для этого заранее в таблице резервируется три расчетных графы.
На основании данных таблицы рассчитываем момент 1-го порядка: итог по 5 столбцу делим на итог по 2 столбцу.
(тыс. руб.)
Средняя стоимость квартир выставленных на продажу составляет 404 тыс, руб.
Наряду со средней арифметической и средней гармонической, к другим степенным средним относится средняя геометрическая. В статистике она используется для осреднения темпов роста, коэффициентов динамики:
Средняя квадратическая используется при расчете показателей вариации, в частности — среднеквадратического отклонения, при исчислении средних ошибок выборки:
, 
Структурные средние
Модаи медиана определяются структурой распределения. Они позволяют определить среднюю величину без производства вычислений, визуально. Их используют в том случае, когда расчет степенных средних невозможен или нецелесообразен.
В дискретном ряду распределения мода определяется визуально. Например, распределение семей по числу /детей:
4 и более детей 2
В данном ряду распределения мода равна 2, то есть в данной совокупности наиболее часто встречаются семьи с двумя детьми. Очень удобно использовать этот показатель для характеристики наиболее часто встречаемого значения признака, определяемого по большой совокупности. Например, наиболее часто спрашиваемый размер обуви, размер одежды и т.д.
В интервальном ряду распределения, когда наиболее часто встречаемое значение признака задано в виде интервала, а мода должна отражать конкретное значение признака, используется следующая формула расчета:
х0 — верхняя граница модального интервала;
h — величина интервала:
— частоты модального, предмодального и послемодальнего интервалов.
В качестве модального берется интервал с наибольшей частотой.
Пример расчета моды по интервальному ряду распределения. Имеются следующий ряд распределения по среднедушевому доходу населения (табл. 7):
| Интервалы по среднедушевому доходу, руб. | Число семей, fi | Накопленные частоты, Si |
| До 100 | ||
| 100—150 | ||
| 150—200 | ||
| 200—250 | ||
| 250—300 | ||
| 300—350 | ||
| 350—400 | ||
| 450—500 | ||
| 550—600 | ||
| Итого | X |
По данным таблицы, наиболее часто встречаются семьи со среднедушевым доходом от 200 до 250, то есть наибольшей частоте (59) соответствует интервал 200—250. Данный интервал и будет модальным. Расчет по формуле позволяет получить более точное значение.
В данной совокупности наиболее часто встречаются семьи со среднедушевым доходом 233 рубля.
Медиана— варианта, которая делит ранжированный ряд распределения на две равные части. По обе стороны от медианы находится одинаковое число единиц совокупности.
В дискретном ряду распределения медиана определяется визуально. Ряд признаков ранжируется, то есть значения признака упорядочиваются по возрастанию или убыванию. Варианта, которая делит упорядоченный ряд пополам, будет медианой. Медиана в интервальном ряду распределения определяется по формуле:
где XME — верхняя граница медианного интервала;
X0 — величина интервала;
h — общая численность;
Sме-1 — накопленные частоты предмедианного интервала:
fме — частота медианного интервала.
В качестве медианного берется интервал, в котором находится единица совокупности, которая делит упорядоченный по значению признака ряд пополам. Для того чтобы определить медианный интервал, рассчитывают накопленные частоты. Последняя накопленная частота показывает общее количество единиц совокупности.
Пример расчета медианы (по данным табл. 7). Последняя накопленная частота — 236. Медианный интервал должен содержать единицу совокупности, которая делит всю совокупность из 236 семей пополам (236/2 = 118). Значит, в качестве медианного в расчете будем брать интервал 200—250. так как среднедушевой доход до 200 руб. имеют 67 семей из данной совокупности, то есть менее половины совокупности. А интервалу 200—250 соответствует накопленная частота 126, значит, именно в этом интервале находится значение признака, которое разделит совокупность пополам, то есть 118 семей будут иметь среднедушевой доход ниже медианного и 118 семей — выше медианного. Произведем расчет медианы по формуле для интервального ряда:
В изучаемой совокупности половина семей имеет доход ниже 243 руб. на человека.
1. Различают три вида статистических величин: абсолютные, относительные, средние величины.
2. Относительные величины позволяют приводить данные в сопоставимый вид и производить сравнения, в то время как абсолютные величины характеризуют только абсолютные размеры явления и в сравнительных характеристиках используются редко.
3. В статистической практике используют следующие виды относительных величин:
4. Наиболее распространены в статистических расчетах средние величины, которые могут одним числом охарактеризовать всю совокупность при соблюдении условий расчета средней величины.
5. Различают два класса средних величин: степенные и структурные.
6. При расчете степенных средних для правильного выбора формулы расчета необходимо исходить из логической формулы расчета осредняемого показателя.
Задание 1.4.1.Имеются следующие данные по магазинам ООО «Триумф»:
| Номер магазина | Процент выполнения плана | Товарооборот, тыс. руб. |
| № 1 №2 №3 |
Определите средний процент выполнения плана.
Задание 1.4.2.Имеются следующие данные по группе предприятий:
| № предприятия | Рентабельность, % | Реализованная продукция, тыс.руб. |
Определите среднюю рентабельность по группе предприятий.
Библиографический список
Общая теория статистики: Учебник / Под ред. чл.-корр. РАН И.И.Елисеевой.— М.: Финансы и атистика, 2000.—С. 42—57.
Практикум по теории статистики: Учеб. пособие / Под ред. проф. Р.А.Шмойловой.— М.: Финан-
и статистика, 1999.—С. 97—109.
Статистика: Курс лекций / Под ред. Ионина В.Г.— Новосибирск: Издательство НГАЭиУ, 1996.— 59—84.
Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой.— М.. 1996.
Лунеев В.В. Юридическая статистика: Учебник.— М.: Юристъ, 1999.— С. 247—272. СавюкЛ.К. Правовая статистика: Учебник.— М.: Юристъ, 1999.— С 396—412.
Источник
2. Средняя арифметическая, способы расчета.
Больше всего в эк. практике приходится употреблять среднюю арифметическую, которая может быть исчислена как средняя арифметическая простая и взвешенная.
Средняя арифметическая (СА) -наиболее распространенный вид средних. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Для общественных явлений характерна аддитивность (суммарность) объемов варьирующего признака, этим определяется область применения СА и объясняется ее распространенность как обобщающего показателя, напр: общий фонд з/ п – это сумма з/п всех работников.
Чтобы исчислить СА, нужно сумму всех значений признаков разделить на их число. СА примен-ся в 2 формах.
Рассмотрим сначала простую арифметическую среднюю.
1-СА простая (исходная, определяющая форма) равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений (применяется когда имеются несгруппированные инд. значения признака):
Произведенные вычисления могут быть обобщены в следующую формулу:
(1)
где 
— среднее значение варьирующего признака, т. е. средняя арифметическая простая;
означает суммирование, т. е. сложение отдельных признаков;
x — отдельные значения варьирующего признака, которые называются вариантами;
n — число единиц совокупности
Пример1, требуется найти среднюю выработку одного рабочего (слесаря), если известно, сколько деталей изготовил каждый из 15 рабочих, т.е. дан ряд инд. значений признака, шт.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.
СА простая рассчитывается по формуле(1),шт.: 
Пример2. Рассчитаем СА на основании условных данных по 20 магазинам, входящим в торговую фирму (табл. 1). Таблица.1
Источник
Среднее арифметическое — методы и примеры расчетов
Нахождение среднего арифметического изучается на уроках математики в 5 классе. Однако ученики иногда не понимают эту тему. Изучение материала самостоятельно по учебнику не всегда дает положительный эффект. Специалисты позаботились об этом и разработали специальный алгоритм, который поможет восполнить «пробелы» в знаниях, а также добиться успехов в других физико-математических дисциплинах.
Общие сведения
Понятие среднеарифметической величины впервые предложил древнегреческий ученый — Пифагор. Позднее этот термин стал использоваться в математике. Чтобы понять его смысл, необходимо получить базовые знания о числовых значениях. Они делятся на 2 вида:
Первый тип — натуральные числа, они применяются при устном счете предметов.
Дробные бывают также двух типов:
Десятичные дроби делятся на конечные, периодические и непериодические бесконечные. Первый тип состоит из целой и дробной частей, разделенных между собой запятыми. Как правило, количество разрядов ограничено определенным значением. Если рассматривать бесконечные периодические десятичные дробные выражения, они состоят из множества элементов. Последние повторяются с определенной периодичностью. Например, 5,(321), где величина периода указывается в круглых скобках.
В случае когда дробное тождество является бесконечным непериодическим, очень часто представление осуществляется в форме обыкновенной дроби. Последняя состоит из делимого и делителя, отделенных друг от друга косой чертой «/». Первый элемент именуется числителем, а второй — знаменателем.
Обыкновенные дробные выражения бывают правильными, неправильными, а также могут записываться в форме смешанного числа, т. е. величины, состоящей из целого компонента и обыкновенной правильной дроби.
Перед подсчетом значения среднего арифметического в 5 классе специалисты рекомендуют ознакомиться с алгоритмом работы со смешанными величинами.
Смешанные числа
Смешанные числа являются промежуточными величинами между обыкновенными дробями и целыми. Не каждое дробное тождество можно представить в таком виде. Для этого подойдет только неправильное выражение. Алгоритм преобразования:
Методика обратной конвертации смешанного числа в неправильное дробное выражение является еще одной операцией, о которой нужно знать. Ее реализация:
Специалисты рекомендуют начинающему математику потренироваться, придумывая различные задания на конвертацию числовых выражений.
Далее необходимо перейти непосредственно к определению, позволяющему расшифровать, что значит среднее арифметическое чисел, а также к самой методике расчета искомой величины.
Алгоритм нахождения среднего значения
Среднее арифметическое — математическая характеристика, позволяющая найти оптимальное значение.
Например, на уроках выставляется оценка за месяц. Для ее вычисления необходимо найти среднее значение всех отметок, полученных учеником.
Кроме того, среднее арифметическое используется при вычислении какой-либо характеристики опытным путем.
Например, при расчете заряда электрона производится определенное количество измерений, а затем рассчитывается средняя величина заряда частицы.
Методика определения среднеарифметического значения:
Для реализации алгоритма на практике необходимо записать несколько чисел — 4, 7, 8, 12, 15. Решение выглядит следующим образом:
В некоторых случаях результат необходимо округлять. Однако этого можно не делать при подсчете какой-либо физической величины.
При проведении опытов необходимо брать больше значений, поскольку это существенно влияет на точность получения данных.
Пример решения
Для закрепления теории необходимо разобрать пример и решить его. Например, нужно найти среднее арифметическое четырех смешанных чисел, а именно: 3 2/3, 4 5/7 и 6 3/8.
Решение выполняется по следующему алгоритму:
При получении результата в виде неправильной дроби, его нужно преобразовать в смешанную величину. Это считается «правилом хорошего тона» в математике, поскольку любой ответ должен переводиться в читабельную сокращенную форму.
Кроме того, можно проверить результат выполнения операции, воспользовавшись онлайн-сервисами. Однако пользоваться ими часто не рекомендуется, поскольку нужно уметь искать ошибки самостоятельно.
Таким образом, для вычисления среднеарифметического значения необходимо знать специальную методику, предложенную специалистами в области математики.
Источник
