Способ вычисления площади ромба

Площадь ромба – формула, пример расчет, как начертить

Через диагонали

Диагональ ромба d₁ Диагональ ромба d₂ Результат

Признаки ромба

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

Свойства ромба

На рисунке выше ( ABCD ) – ромб, ( AC = DB = CD = AD ) . Так как ромб – это параллелограмм, то он обладает всеми свойствами параллелограмма, но так же есть свойства присущие только ромбу.

В любой ромб можно вписать окружность. Центр окружности, вписанной в ромб, является точкой пересечения его диагоналей. Радиус окружности равен половине высоты ромба:

Формула вычисления площади

1. По длине стороны и высоте:

Площадь ромба (S) равняется произведению длины его стороны и высоты, проведенной к ней:

S = a*h

2. По длине стороны и углу

Площадь ромба равняется произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами:

S = a 2 *sin α

3. По длинам диагоналей

Площадь ромба равна одной второй произведения его диагоналей.

Основные свойства ромба

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

AC 2 + BD 2 = 4AB 2

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь ромба, если длина его стороны равна 10 см, а высота, проведенная к ней – 8 см.

Решение:
Используем первую формулу, рассмотренную выше: S = 10 см * 8 см = 80 см 2 .

Задание 2
Найдите площадь ромба, сторона которого равняется 6 см, а острый угол – 30°.

Решение:
Применим вторую формулу, в которой используются известные по условиям задания величины: S = (6 см) 2 * sin 30° = 36 см 2 * 1/2 = 18 см 2 .

Задание 3
Найдите площадь ромба, если его диагоналей равны 4 и 8 см, соответственно.

Решение:
Воспользуемся третьей формулой, в которой используются длины диагоналей: S = 1/2 * 4 см * 8 см = 16 см 2 .

Через основание и высоту

Высоты ромба h Сторона ромба а

Площади фигур

Расчет площади квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции, ромба, круга (площадь фигур). Площади фигур

Площадь ромба по углу и противолежащей диагонали

Площадь ромба по углу и диагонали проведенной из этого угла

Способ расчета площади ромба

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб у которого все углы прямые называется квадратом.
Формула площади ромба: ,
где a – стороны, h – высота

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб у которого все углы прямые называется квадратом.
Формула площади ромба: ,
где d1, d2 – диагонали

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб у которого все углы прямые называется квадратом.
Формула площади ромба: ,
где a – сторона, α – угол между сторонами

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб у которого все углы прямые называется квадратом.
Формула площади ромба:
где r – радиус вписанной окружности, α – угол между сторонами

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб у которого все углы прямые называется квадратом.
Формула площади ромба: ,
где r – радиус вписанной окружности, a – сторона

Формула площади ромба через две стороны и угол между ними

a — сторона ромба;

— любой угол ромба.

Найти площадь ромба, если каждая из его сторон равна 10 см, а угол между двумя смежными сторонами равен 30 градусам.

Решение

По формуле получаем:

S = a 2 ⋅ sin ( α ) = 1 0 0 ⋅ sin ( 3 0 ∘ ) = 5 0 (см. кв.)

Ответ: 50 см. кв.

Формула площади ромба через угол и радиус вписанной окружности

Формула площади ромба через сторону и угол

Таблица с формулами площади ромба

В зависимости от известных исходных данных, площадь ромба можно вычислить по различным формулам.

исходные данные (активная ссылка для перехода к калькулятору)	эскиз	формула
1	сторона и высота
2	диагонали
3	диагональ и угол между сторонами
4	диагональ и угол между сторонами
5	сторона и угол между сторонами
6	радиус вписанной окружности и угол между сторонами
7	сторона и радиус вписанной окружности

Периметр ромба

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.
Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Источник

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Ромб – это геометрическая фигура; параллелограмм, имеющие 4 равные стороны.

Формула вычисления площади

По длине стороны и высоте

Площадь ромба (S) равняется произведению длины его стороны и высоты, проведенной к ней:

S = a ⋅ h

По длине стороны и углу

Площадь ромба равняется произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами:

S = a 2 ⋅ sin α

По длинам диагоналей

Площадь ромба равна одной второй произведения его диагоналей.

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь ромба, если длина его стороны равна 10 см, а высота, проведенная к ней – 8 см.

Решение:
Используем первую формулу, рассмотренную выше: S = 10 см ⋅ 8 см = 80 см 2 .

Задание 2
Найдите площадь ромба, сторона которого равняется 6 см, а острый угол – 30°.

Решение:
Применим вторую формулу, в которой используются известные по условиям задания величины: S = (6 см) 2 ⋅ sin 30° = 36 см 2 ⋅ 1/2 = 18 см 2 .

Задание 3
Найдите площадь ромба, если его диагоналей равны 4 и 8 см, соответственно.

Решение:
Воспользуемся третьей формулой, в которой используются длины диагоналей: S = 1/2 ⋅ 4 см ⋅ 8 см = 16 см 2 .

Источник

Площади фигур. Площадь ромба.

Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, полностью принадлежащей

одной плоскости. Если фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, то площадь

будет равна числу этих квадратов.

Ромб — это параллелограмм с равными сторонами. Ромб с прямыми углами называется квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Воспользуйтесь нашим калькулятором для расчета площади ромба.

Для расчета площади других фигур воспользуйтесь этим калькулятором: площади фигур.

Формулы для вычисления площади ромба.

1. Формула площади ромба по длине стороны и его высоте.

Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

1. Формула площади ромба по длине стороны и углу.

Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

1. Формула площади ромба по длинам его диагоналей.

Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

где S — Площадь ромба,

a — длина стороны ромба,

h — длина высоты ромба,

α — угол между сторонами ромба,

d₁, d₂ — длины диагоналей.

Еще некоторые формулы для определения площади ромба:

Источник

Площадь ромба онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти площадь ромба по известным элементам. Для нахождения площади ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

1. Площадь ромба через сторону и угол

Пусть задан ромб ABCD (Рис.1). Выведем формулу вычисления площади ромба через сторону и угол.

Проведем диагональ AC. Тогда ромб делится на два треугольника ABC и ADC. Противолежащие углы ромба равны (свойство 1 статя Ромб). Поэтому треугольники ABC и ADC равны по двум сторонам и углу между ними. Площадь треугольника ABC по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:

\(\small S=AB \cdot BC \cdot \sin \alpha \)

или, учитывая, что AB=BC=a:

\(\small S_=\frac <\large 1><\large 2>a^2 \cdot \sin \alpha .\)

Аналогично, площадь треугольника ADC вычисляется по формуле

\(\small S_= \frac <\large 1><\large 2>a^2 \cdot \sin \alpha .\)

Поэтому площадь ромба равна:

2. Площадь ромба через диагонали

Пусть известны диагонали d₁ и d₂ ромба ABCD (Рис.2). Выведем формулу вычисления площади ромба через диагонали.

Поскольку диагонали ромба перепендикулярны и точкой пересечения делятся пополам (свойства 6 и 5 ромба), то они разделяют ромб на четыре прямоугольных треугольника. Тогда эти прямоугольные треугольники равны по двум катетам: \( \small \frac <2>\) и \( \small \frac <2>\).

\(\small S_=\frac<\large 1> <\large 2>\cdot \frac<\large d_1> <\large 2>\cdot \frac<\large d_2><\large 2>\) \(\small =\frac<\large d_1 \cdot d_2> <\large 8>.\)

Тогда площадь ромба равна:

3. Площадь ромба через сторону и высоту

Пусть известны сторона a и высота h ромба (Рис.3). Так как ромб является параллелограммом, то площадь ромба вычисляется по формуле площади параллелограмма:

4. Площадь ромба через угол и противолежащую диагональ

Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и противолежащий диагональ d=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления площади ромба.

Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено в параграфе 2, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Найдем площадь одного из них:

\(\small S_= \frac<\large 1 > <\large 2>\cdot AO \cdot OB .\)

(3)

\(\small \frac<\large OB > <\large AO>= \mathrm \ \angle ABO \) \(\small = \mathrm \ \frac<\large \alpha> <\large 2>\)

\(\small OB= AO \cdot \mathrm \ \frac<\large \alpha> <\large 2>.\)

(4)

Подставим (4) в (3):

\(\small S_= \frac<\large 1 > <\large 2>\cdot AO \cdot AO \cdot \mathrm \ \frac<\large \alpha><\large 2>.\)

или, учитывая что \( \small AO=\frac<\large d><\large 2>,\) получим:

\(\small S_= \frac<\large d^2 > <\large 8>\cdot \mathrm \ \frac<\large \alpha><\large 2>.\)

(5)

Тогда площадь ромба равна:

\(\small S= 4 \cdot S_=\frac<\large d^2 > <\large 2>\cdot \mathrm \ \frac<\large \alpha><\large 2>.\)

(6)

5. Площадь ромба через угол и диагональ из данного угла

Пусть известны один из углов α=∠BAD ромба и диагональ из данного угла d=AC (Рис.5). Выведем формулу вычисления площади ромба.

Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено в параграфе 2, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Найдем площадь одного из них:

\(\small S_= \frac<\large 1 > <\large 2>\cdot AO \cdot OB .\)

(7)

\(\small \frac<\large OB > <\large AO>= \mathrm \ \angle BAO \) \(\small = \mathrm \ \frac<\large \alpha> <\large 2>\)

\(\small OB= AO \cdot \mathrm \ \frac<\large \alpha> <\large 2>.\)

(8)

Подставим (8) в (7):

\(\small S_= \frac<\large 1 > <\large 2>\cdot AO \cdot AO \cdot \mathrm \ \frac<\large \alpha><\large 2>.\)

или, учитывая что \( \small AO=\frac<\large d><\large 2>,\) получим:

\(\small S_= \frac<\large d^2 > <\large 8>\cdot \mathrm \ \frac<\large \alpha><\large 2>.\)

(9)

Тогда площадь ромба равна:

\(\small S= 4 \cdot S_=\frac<\large d^2 > <\large 2>\cdot \mathrm \ \frac<\large \alpha><\large 2>.\)

(10)

6. Площадь ромба через угол и радиус вписанной в ромб окружности

Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и радиус r вписанной в ромб окружности (Рис.6). Выведем формулу вычисления площади ромба.

Как мы отметили выше, диагонали разделяют ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. В частности

Тогда \( \small \angle BAO=\angle BCO=90°-\frac< \large \alpha > <\large 2>\). Треугольники AKO и CLO также прямоугольные. Следовательно

\( \small \angle 1=90°- \angle BAO \) \( \small =90°- (90°-\frac< \large \alpha ><\large 2>) \) \( \small =\frac< \large \alpha ><\large 2>, \)

(12)

\( \small \angle 2=90°- \angle BCO \) \( \small =90°- (90°-\frac< \large \alpha ><\large 2>) \) \( \small =\frac< \large \alpha ><\large 2>. \)

(13)

Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника AOB:

\( \small \frac<\large AO><\large \sin \frac< \alpha ><2>>= \frac<\large OB><\large \sin \left( 90°-\frac< \alpha > < 2>\right) >\) \( \small =\frac<\large OB><\large \cos \frac< \alpha > < 2>> \)

Для прямоугольного треугольника AKO имеем:

или, учитывая (12) и KO=r:

Подставляя (15) в (14), получим:

Найдем площадь треугольника AOB:

\( \small S_=\frac<\large 1 > <\large 2>\cdot AO \cdot OB\)

(17)

Подставляя (15) и (16) в (17), получим:

\( \small S_=\frac<\large 1 > <\large 2>\cdot \frac<\large r><\large \cos \frac< \alpha ><2>> \cdot \frac<\large r ><\large \sin \frac< \alpha ><2>>\) \( \small =\frac<\large r^2><\large \sin \alpha>.\)

Тогда площадь ромба равна:

7. Площадь ромба через сторону и радиус вписанной в ромб окружности

Пусть известны сторона a=AB ромба и радиус r вписанной в ромб окружности (Рис.7). Найдем площадь ромба.

Прямая AB является касательной к окружности вписанной в ромб. Тогда \( \small OK ⊥ AB \). Прямая CD является касательной к окружности вписанной в ромб. Тогда \( \small OL ⊥ CD \). Поэтому треугольники BKO и DLO прямоугольные. Эти треугольники равны по гипотенузе и катету (BO=OD, KO=OL). Тогда \( \small \angle BOK=\angle DOL \). Углы BOK и KOD смежные. Следовательно \( \small \angle KOD=180°-\angle BOK. \) \( \small \angle KOD+\angle DOL \) \( \small =180°-\angle BOK+\angle DOL=180°. \) Получили, что отрезки KO и OL находятся на одной прямой. То есть KL=KO+OL=2r. Поскольку \( \small KL ⊥ AB, \) то является высотой ромба. Площадь ромба по стороне и высоте вычисляется из формулы (3). Тогда имеем:

Источник