Способ вычисления интегралов мора способом верещагина

Способ вычисления интегралов мора способом верещагина

В общем случае (стержень переменного сечения, сложная система нагрузок) интеграл Мора определяется путем численного интегрирования. Во многих практически важных случаях, когда жесткость сечения постоянна по длине стержня, интеграл Мора может быть вычислен по правилу Верещагина. Рассмотрим определение интеграла Мора на участке от а до 6 (рис. 9.18).

Рис. 9.18. Правило Верещагина для вычисления интеграла Мора

Эпюры момента от единичного силового фактора состоят из отрезков прямых. Не нарушая общности, предположим, что в пределах участка

где А и В — параметры прямой:

Интеграл Мора на рассматриваемом участке постоянного сечения имеет вид

где F — площадь под кривой (площадь эпюры изгибающих моментов от внешних сил на участке z).

Далее следует учесть, что статический момент площади эпюры моментов равен

где — абсцисса центра тяжести площади .

Равенство (109) справедливо, когда в пределах участка не изменяет знак и может рассматриваться как элемент площади эпюры. Теперь из соотношений (107) —(109) получаем

— момент от единичной нагрузки в сечении

Вспомогательная таблица для использования правила Верещагина дана на рис. 9.19.

Замечания. 1. Если эпюра от действия внешних сил на участке линейна (например, при действии сосредоточенных сил и моментов), то правило можно применять в обращенном виде: площадь эпюры от единичного силового фактора умножить на ординату эпюры соответствующую центру тяжести площади . Это вытекает из приведенного доказательства.

2. Правило Верещагина может быть распространено на интеграл Мора в общем виде (уравнение (103)).

Рис. 9.19. Площади и положение центров тяжести эпюр моментов

Рис. 9.20. Примеры определения прогиба и углов поворота по правилу Верещагина

Основное требование при этом состоит в следующем: в пределах участка внутренние силовые факторы от единичной нагрузки должны быть линейными функциями вдоль оси стержня (линейность эпюр!).

Примеры. 1. Определить прогиб в точке А консольного стержня при действии сосредоточенного момента М (рис. 9.20, а).

Прогиб в точке А определяем по формуле (для краткости индекс опускается)

Знак минус связан с тем, что имеют разные знаки.

2. Определить прогиб в точке А в консольном стержне под действием распределенной нагрузки.

Прогиб определяем по формуле

Эпюры изгибающего момента М и перерезывающей силы Q от внешней нагрузки показаны на рис. 9.20, б, ниже на этом рисунке приведены эпюры при действии единичной силы. Далее находим

3. Определить прогиб в точке А и угол поворота в точке В для двухопорной балки, загруженной сосредоточенным моментом (рис. 9.20.).

Прогиб определяем по формуле (деформацией сдвига пренебрегаем)

Так как эпюра момента от единичной силы не изображается одной линией; то интеграл разбиваем на два участка:

Угол поворота в точке В равен

Замечание. Из приведенных примеров видно, что способ Верещагина в простых случаях позволяет быстро определить прогибы и углы поворота. Важно только применять единое правило знаков для Если условиться при изгибе стержня строить эпюры изгибающих моментов на «растянутом волокне» (см. рис. 9.20), то сразу легко видеть положительные и отрицательные значения моментов.

Особое преимущество правила Верещагина состоит в том, что оно может быть исполъвовано не только для стержней, но и для рам (разд. 17).

Ограничения для применения правила Верещагина.

Эти ограничения вытекают из вывода формулы (110), но обратим на них внимание еще раз.

1. Эпюра изгибающего момента от единичной нагрузки должна быть в виде одной прямой линии. На рис. 9.21, а показан случай, когда это условие не соблюдается. Интеграл Мора необходимо вычислять отдельно для участков I и II.

2. Изгибающий момент от внешней нагрузки в пределах участка должен иметь один знак. На рис. 9.21, б показан случай, когда правило Верещагина следует применять для каждого участка в отдельности. Это ограничение не относится к моменту от единичной нагрузки.

Рис. 9.21. Ограничения при использовании правила Верещагина: а — эпюра шсеет излом; б — эпюра имеет разные знаки; в — стержень имеет разные сечения

3. Жесткость стержня в пределах участка должна быть постоянна, иначе интегрирование следует распространять отдельно на участки с постоянной жесткостью. Ограничения по постоянной жесткости можно избежать, если строить эпюры .

Источник

Вычисление интегралов мора по способу верещагина

Вычисление интегралов мора по способу верещагина

• Расчет Интеграла по методу Мора Верещагина Если один из графиков (фактические состояния или единицы измерения) является прямой линией, вычисление интеграла моля значительно упрощается. Это условие, поскольку участок от одной нагрузки (концентрации или пары) всегда ограничен прямой линией, всегда выполняется для

системы, состоящей из прямых стержней. Вычислите Интеграл^M (A4pdx), если график от заданной нагрузки имеет произвольную форму и от единиц измерения — 380-прямая (рис. 377). Представляет площадь участка M g\s-его центроид, MS-вертикальная ось участка от единичной нагрузки под центроидом участка Mr Mpdx=dQ-дифференциальная область участка Mr, L4 Людмила Фирмаль

(13.59)представляет собой статический момент площади участка Mr для оси o-o: XdQ Дж. =х^г, / Где УГ-это абсцисса центра тяжести МР сюжет. В этом случае MtM Pdx = tg ahgy= = YL4G, (13.60) j Я Потому что… Таким образом, Интеграл Мора является свойством участка от внешней нагрузки в ординате линейного участка от единичной нагрузки, расположенной ниже центроида участка от заданной

внешней нагрузки. Общая формула перемещения для системы линейных элементов (13.46) имеет вид (13.61) Описывается графоаналитический метод вычисления интеграла Mora. II. It предложен Верещагиным и называется методом Верещагина. Расчет по этой формуле проводится на каждом участке, где участок от единичной загрузки должен быть линейным(рис. 378). Если оба участка прямые, вы можете умножить любую область на ординату

• другой под первым центроидом. Если участок M R имеет сложную форму, то его следует разбить на простые фигуры(рис. 379), ибо легче определить площадь и расположение центра тяжести. В этом случае каждая область умножается на ординату единичного участка, которая находится ниже центроида соответствующей области. В этом случае удобно указать вместо символа MEK G)L, k-1;2;… 3s1 следующим образом* (13.62) Рассматривая крутящий момент в общем случае нагрузки, знаменатель уравнения соответствующего члена (13.61) содержит жесткость на кручение GJ Если участок Mr противоположе

н знаку, то результат умножения участка имеет знак минус. Метод умножения участка Верещагина широко используется при расчете каркасной конструкции (угол на границе раздела отдельных стержней, жесткость до деформации, затем остается жесткой). В данной работе рассматривается применение метода Верещагина для определения перемещений в различных стержневых системах. Определите отклонение точки D и угол поворота сечения в консоли (рис. 380, а). Соответствующее вспомогательное (единичное) состояние показано на рисунке. 380, Б, В. Изгибающий момент в точке D по Верещагину строит диаграмму прогиба m pH m s Площадь участка равна(2=qa3.

Центр тяжести этой области окружен вторичной параболой вида (рис. 380, а) находится Людмила Фирмаль

на расстоянии — ^ — от точки в, в чем легко убедиться, применив формулу (2.3). Вертикальная ось вспомогательного участка L4c1=a. BD Q=0 на сайте. Итак, qa *

EG Для определения угла поворота вспомогательная система загружается одной парой. Очевидно, MS2-1. Следовательно, угол поворота секции л У1 2P-EJ

SEJ • Триста восемьдесят один рис Определим полное перемещение точек из кадра, показанного на рисунке. 381, и, предполагая EJ=const. A = вычислить вертикальное и горизонтальное смещения данной точки для определения полного смещения ПЗС. Для определения вертикального перемещения точки с Рама во вспомогательном состоянии нагружается силой x=1, направленной вертикально(рис. 381, б). Основной сюжет Mr показан на рисунке. 381, g, aux Mi-на фиг. 381, д.,

Расчет производится на сайте: SV site Й, = Т; ; Для управления АВ О2 = МХ\й=/. И так оно и есть., Для определения горизонтального перемещения вспомогательной системы горизонтальная сила x2=1(Рис. 381, в). Участок м2 показан на рисунке. 381, е. 383evidentally SV vertical on the site=0, а AV на сайте Vertical t) 2= » gr., Но __Mh2^2Р»

2е Г’ Идеальное смещение пятна от рамки A=D(R+DGR Попробуем определить изменение расстояния между точками кадров, показанных на рисунке. 382, a. график изгиба a и B на мгновение из Данная нагрузка M P показана на рисунке. 382, b.

In вспомогательное состояние, нагружающее систему обобщенной нагрузкой, соответствующей требуемому перемещению (фиг. 382, Б) 1. Такие нагрузки бывают Это единственные силы концентрации, которые действуют в этих точках. Участки Mr и Mi были построены на сжатом волокне. Иметь

8′ _________MS=а. Чтобы уменьшить число фигур 1, в некоторых будущих примерах участок строится непосредственно на оси стержня. 384 противоречия, Но L/R QMC RRA EJ8EJ — Определим падение сломанного консольного свободного конца круглого сечения, нагруженного в сечение АВ вертикальной равномерной распределенной нагрузкой(рис. 383, а).

Диаграммы изгиба и крутящего момента основного и вспомогательного состояний показаны на рисунке. 383, Б, г. График крутящего момента размещен на горизонтальной плоскости, его координаты представлены пунктирной линией.: Лл / ρ=>1Т^3Т г+,-Y1T1?Л г/2; Т2(т+

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник