Способ введения вспомогательного угла

Метод введения вспомогательного угла

Преобразование выражения a sin х + b cos х путем введения вспомогательного угла

Лемма . Если сумма квадратов двух действительных чисел равна единице, то одно из этих чисел можно рассматривать как косинус, а другое как синус некоторого угла.

Другими словами, если а 2 + b 2 = 1, то существует угол φ, такой, что

Прежде чем доказывать эту лемму, поясним ее на следующем примере:

Поэтому существует угол φ, такой, что \( \frac<\sqrt3> <2>\) = cos φ; 1 /₂ = sin φ.

В качестве φ в данном случае можно выбрать любой из углов 30°, 30° ± 360°, 30° ± 2 • 360° и т. д.

Рассмотрим вектор \(\vec<0А>\) с координатами (а, b). Поскольку а 2 + b 2 = 1, длина этого вектора равна 1. Но в таком случае его координаты должны быть равны cos φ и sin φ, где φ — угол, который образует данный вектор с осью абсцисс.

Итак, а = cos φ; b =sin φ, что и требовалось доказать.

Доказанная лемма позволяет преобразовать выражение a sin х + b cos х к более удобному для изучения виду.

Прежде всего вынесем за скобки выражение \(\sqrt\)

Но в таком случае

a sin х + b cos х = \(\sqrt\)(cos φ sin х + sin φ cos х) = \(\sqrt\) sin ( x + φ )

a sin х + b cos х = \(\sqrt\) sin (x + φ) , где угол φ определяется из условий

1) \( sin x + cos x = \sqrt2 (\frac<1> <\sqrt2>sin x + \frac<1><\sqrt2>cos x) = \sqrt2 (cos\frac<\pi><4>sin x + sin\frac<\pi><4>cos x ) =\\= \sqrt2(sinx + \frac<\pi><4>) \)

Полученную формулу sin x + cos x = \(\sqrt2(sinx + \frac<\pi><4>)\)полезно запомнить.

2) Если одно из чисел а и b положительно, а другое отрицательно, то выражение
a sin х + b cos х удобнее преобразовывать не к синусу суммы, а к синусу разности двух углов. Так,

$$ 3sinx — 4cosx = \sqrt<9+16>(\frac<3><\sqrt<9+16>>sinx — \frac<4><\sqrt<9+16>>cosx) =\\= 5(sinx\cdot\frac<3> <5>— cosx\cdot\frac<4><5>) = 5sin(x — \phi), $$

где под φ можно подразумевать любой угол, удовлетворяющий условиям:

В частности, можно положить φ = arctg 4 /₃. Тогда получим:

3 sin х — 4 cos x = 5 sin (x — arctg 4 /₃).

Источник

Метод вспомогательного угла в тригонометрических уравнениях

23 октября 2015

На уроках алгебры учителя рассказывают, что существует небольшой (на самом деле — очень даже большой) класс тригонометрических уравнений, которые не решаются стандартными способами — ни через разложение на множители, ни через замену переменной, ни даже через однородные слагаемые. В этом случае в дело вступает принципиально другой подход — метод вспомогательного угла.

Что это за метод и как его применять? Для начала вспомним формулы синуса суммы/разности и косинуса суммы/разности:

\[\begin& \sin \left( \alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left( \alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\end\]

Думаю, эти формулы хорошо знакомы вам — из них выводятся формулы двойного аргумента, без которых в тригонометрии вообще никуда. Но давайте теперь рассмотрим простое уравнение:

Разделим обе части на 5:

Заметим, что $<<\left( \frac<3> <5>\right)>^<2>>+<<\left( \frac<4> <5>\right)>^<2>>=1$, а это значит, что обязательно найдётся такой угол $\alpha $, для которого эти числа являются соответственно косинусом и синусом. Поэтому наше уравнение перепишется следующим образом:

\[\begin& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \left( \alpha +x \right)=1 \\\end\]

А это уже легко решается, после чего останется лишь выяснить, чему равен угол $\alpha $. Как это выяснить, а также как правильно подбирать число для деления обеих частей уравнения (в данном простом примере мы делили на 5) — об этом в сегодняшнем видеоуроке:

Сегодня мы будем разбирать решение тригонометрических уравнений, а, точнее, один-единственный прием, который называется «метод вспомогательного угла». Почему именно этот метод? Просто потому, что за последние два-три дня, когда я занимался с учениками, которым рассказывал о решении тригонометрических уравнений, и мы разбирали, в том числе, метод вспомогательного угла, и все ученики как один допускают одну и ту же ошибку. А ведь метод вообщем-то несложный и, более того, это один из основных приемов в тригонометрии. Поэтому многие тригонометрические задачи иначе как методом вспомогательного угла вообще не решаются.

Поэтому сейчас для начала мы рассмотрим пару простеньких задач, а потом перейдем к задачам посерьезней. Однако все эти они так или иначе потребуют от нас применение метода вспомогательного угла, суть которого я расскажу уже в первой конструкции.

Решение простых тригонометрических задач

Пример № 1

\[\cos 2x=\sqrt<3>\sin 2x-1\]

Немного преобразуем наше выражение:

\[\cos 2x-\sqrt<3>\sin 2x=-1\left| \left( -1 \right) \right.\]

\[\sqrt<3>\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]

Как мы будем решать его? Стандартный прием состоит в том, чтобы раскрыть $\sin 2x$ и $\cos 2x$ по формулам двойного угла, а затем переписать единицу как $<<\sin >^<2>>x<<\cos >^<2>>x$, получить однородное уравнение, привести его к тангенсам и решить. Однако это долгий и нудный путь, который требует большого объема вычислений.

Предлагаю задуматься вот на чем. У нас есть $\sin $ и $\cos $. Вспомним формулу косинуса и синуса суммы и разности:

\[\sin \left( \alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left( \alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left( \alpha -\beta \right)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]

Вернемся к нашему примеру. Все сведем к синусу разности. Но для начала уравнение необходимо немного преобразовать. Найдем коэффициент:

$\sqrt$ — это тот самый коэффициент, на который необходимо разделить обе части уравнения, чтобы перед синусом и косинусом появились числа, которые сами по себе являются синусами и косинусами. Давайте разделим:

Посмотрим на то, что у нас получилось слева: существует ли такой $\sin $ и $\cos $, чтобы $\cos \alpha =\frac<\sqrt<3>><2>$, а $\sin \alpha =\frac<1><2>$? Очевидно существует: $\alpha =\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><6>$. Поэтому мы можем переписать наше выражение следующим образом:

Теперь перед нами формула синуса разности. Мы можем написать так:

Перед нами простейшая классическая тригонометрическая конструкция. Напомню:

Это и запишем для нашего конкретного выражения:

Нюансы решения

Итак, что нужно делать, если вам попалось подобный пример:

1. Преобразовать конструкцию, если нужно.
2. Найти поправочный коэффициент, взять из него корень и разделить обе части примера на него.
3. Смотрим, какие значения синуса и косинуса получаются у чисел.
4. Раскладываем уравнение по формулам синуса или косинуса разности или суммы.
5. Решаем простейшее тригонометрическое уравнение.

В связи с этим у внимательных учеников наверняка возникнет два вопроса.

Что нам мешает на этапе нахождения поправочного коэффициента записать $\sin $ и $\cos $? — Нам мешает основное тригонометрическое тождество. Дело в том, что полученные $\sin $ и $\cos $, как любые другие при одном и том же аргументе, должны при возведении в квадрат в сумме давать ровно «единицу». В процессе решения нужно быть очень внимательным и не потерять «двойку» перед «иксами».

Метод вспомогательного угла — это инструмент, который помогает свести «некрасивое» уравнение к вполне адекватному и «красивому».

Пример № 2

Мы видим, что у нас есть $<<\sin >^<2>>x$, поэтому давайте воспользуемся выкладками понижения степеней. Однако прежде чем ними воспользоваться, давайте их выведем. Для этого вспомним, как найти косинус двойного угла:

Если мы запишем $\cos 2x$ в третьем варианте, то получим:

Я выпишу отдельно:

То же самое можно сделать и для $<<\cos >^<2>>x$:

Нам потребуется только первые выкладки. Давайте приступим к работе над задачей:

\[\sqrt<3>\cdot \sin 2x+2\cdot \frac<1-\cos 2x><2>-1=2\cos x\]

\[\sqrt<3>\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]

\[\sqrt<3>\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]

Теперь воспользуемся выкладками косинуса разности. Но для начала посчитаем поправку $l$:

Перепишем с учетом этого факта:

\[\frac<\sqrt<3>><2>\cdot \sin 2x-\frac<1><2>\cdot \cos 2x=\cos x\]

В этом случае мы можем записать, что $\frac<\sqrt<3>><2>=\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><3>$, а $\frac<1><2>=\cos \frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><3>$. Перепишем:

Внесем «минус» в скобку хитрым способом. Для этого заметим следующее:

Возвращаемся к нашему выражению и вспоминаем, что в роли $\varphi $ у нас выражение $-\frac<2\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><3>+2x$. Поэтому запишем:

Чтобы решить подобною задачу, нужно вспомнить такое:

\[\cos \alpha =\cos \beta \]

\[\left[ \begin& \alpha =\beta +2\text< >\!\!\pi\!\!\text< >n \\& \alpha =-\beta +2\text< >\!\!\pi\!\!\text< >n \\\end \right.\]

Разберемся с нашим примером:

Давайте посчитаем каждое из этих уравнений:

Запишем окончательный ответ:

Нюансы решения

На самом деле, это выражение решается множеством различных способов, однако именно метод вспомогательного угла является в данном случае оптимальным. Кроме того, на примере данной конструкции хотелось бы обратить ваше внимание еще на несколько интересных приемов и фактов:

• Формулы понижения степеней. Эти формулы не нужно запоминать, однако нужно знать, как их выводить, о чем я вам сегодня и рассказал.
• Решение уравнений вида $\cos \alpha =\cos \beta $.
• Добавление «нуля».

Но и это еще не все. До сих пор $\sin $ и $\cos $, которые мы выводили в качестве дополнительного аргумента, мы считали, что они должны быть положительными. Поэтому сейчас мы решим более сложные задачи.

Разбор более сложных задач

Пример № 1

Преобразуем первое слагаемое:

\[\sin 3x=\sin \left( 2x+x \right)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]

\[=2\left( 1-\cos 2x \right)\cdot \sin x\]

А теперь подставим все это в нашу исходную конструкцию:

\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin 2x\cos x-\operatorname-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin \left( 2x-x \right)+2\sin x+4\cos x=5\]

Давайте введем нашу поправку:

Таких $\alpha $, для которых $\sin $ или $\cos $ был бы равен $\frac<3><5>$ и $\frac<4><5>$ в тригонометрической таблице нет. Поэтому давайте просто так и напишем и сведем выражение к синусу суммы:

\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]

\[\sin \left( x+\varphi \right)=1\]

Это частный случай, простейшая тригонометрическая конструкция:

Осталось найти, чему равен $\varphi $. Именно в этом месте многие ученики ошибаются. Дело в том, что на $\varphi $ накладываются два требования:

Начертим радар и посмотрим, где такие значения встречаются:

Возвращаясь к нашему выражению, мы напишем следующее:

Но и эту запись можно немного оптимизировать. Поскольку мы знаем следующее:

то в нашем случае можно записать так:

Пример № 2

Здесь потребуется еще более глубокое понимание методик решения стандартных задач без тригонометрии. Но для решения этого примера мы также используем метод вспомогательного угла.\[\]

\[5+2\sin 2x-5\cos x=5\sin x\]

Первое, что бросается в глаза — здесь нет степеней выше первой и поэтому ничего нельзя разложить по формулам разложения степеней. Воспользуется обратными выкладками:

\[5+4\sin x\cos x-5\cos x-5\sin x=0\]

\[3+2+4\sin x\cos x-5\left( \sin x+\cos x \right)=0\]

Зачем я разложил $5$. Вот смотрите:

\[3+2\left( 1+2\sin x\cos x \right)-5\left( \sin x\cos x \right)=0\]

Единицу по основному тригонометрическому тождеству мы можем расписать как $<<\sin >^<2>>x+<<\cos >^<2>>x$:

\[3+2\left( <<\sin >^<2>>x+2\sin x\cos x+co<^<2>>x \right)-5\left( \sin x+\cos x \right)=0\]

Что дает нам такая запись? Дело в том, что в первой скобке стоит точный квадрат. Свернем его и получим:

Предлагаю ввести новую переменную:

В этом случае мы получим выражение:

Итого мы получаем:

\[\left[ \begin& \sin x+\cos x=\frac<3> <2>\\& \sin x+\cos x=1 \\\end \right.\]

Разумеется, знающие ученики сейчас скажут, что такие конструкции легко решаются с помощью сведения к однородному. Однако мы решим каждое уравнение методом вспомогательного угла. Для этого сначала посчитаем поправку $l$:

Разделим все на $\sqrt<2>$:

Все сведем к $\cos $:

Разбираемся с каждым из этих выражений.

Первое уравнение корней не имеет, и для доказательства этого факта нам поможет иррациональность в знаменателе. Заметим следующее:

Итого мы четко доказали, что требуется, чтобы $\cos \left( x-\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >> <4>\right)$ был равен числу, которое большее «единицы» и, следовательно, у этой конструкции корней нет.

Разбираемся со вторым:

Решаем эту конструкцию:

В принципе, можно оставить ответ таким, а можно его расписать:

Важные моменты

В заключение хотел бы еще раз обратить ваше внимание на работу с «некрасивыми» аргументами, т.е. когда $\sin $ и $\cos $ не являются табличными значениями. Проблема состоит в том, что если мы утверждаем, что в нашем уравнении $\frac<3><5>$ — это $\cos $, а $\frac<4><5>$ — это $\sin $, то в итоге, после того как мы решим конструкцию, нужно учитывать оба этих требования. Мы получаем систему из двух уравнений. Если мы не будем это учитывать, то получим следующую ситуацию. В этом случае мы получим две точки и на месте $\varphi $ у нас окажется два числа: $\arcsin \frac<4><5>$ и $-\arcsin \frac<4><5>$, однако последний нас ни в коем случае не устраивает. То же самое будет и с точкой $\frac<3><5>$.

Такая проблема возникает только тогда, когда речь идет о «некрасивых» аргументах. Когда у нас табличные значения, то ничего такого нет.

Надеюсь, сегодняшний урок помог вам разобраться, что такое метод вспомогательного угла и как его применять на примерах разного уровня сложности. Но это не единственный урок, посвященный решению задач методом вспомогательного угла. Поэтому оставайтесь с нами!

Источник