Способ вспомогательных сфер это

Способ вспомогательных сфер в начертательной геометрии с примером

Способ вспомогательных сфер:

Этот способ широко используется при решении задач на построе­ние линий пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями.

Прежде чем перейти к рассмотрению этого способа, рассмотрим частный случай пересечения поверхностей вращения, у которых оси совпадают. Такие поверхности называются соосными поверхностями вращения.

Линия пересечения соосных поверхностей — окружность, плос­кость которой перпендикулярна оси поверхностей вращения. При этом, если ось поверхностей вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой ли­нии (рис. 5.41).

Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер. При этом могут быть использованы концентрические (построенные из одного центра) и эксцентрические (проведенные из разных цен­тров) сферы. Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер — сфер с постоянным центром.

Следует отметить, что если плоскость осей поверхностей враще­ния не параллельна плоскости проекций, то окружности, по которым пересекаются поверхности, будут проецироваться в эллипсы, а это усложняет решение задачи. Поэтому способ вспомогательных сфер следует применять при следующих условиях:

• а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;
• б) оси этих поверхностей должны пересекаться, точку пересечения принимают за центр вспомогательных сфер;
• в) плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость сим­метрии), должна быть параллельна одной из плоскостей проекций.

Используя этот способ, можно построить линию пересечения по­верхностей на одной проекции.

Рассмотрим пример построения линии пересечения цилиндра и конуса вращения (рис. 5.42).

Точки 1, 2, 3, 4 определяются как точки пересечения контурных образующих поверхностей, принадлежащие плоскости пересечения осей (плоскости симметрии

Из точки пересечения осей данных поверхностей (точки О’) построим вспомогательную сферу произвольного радиуса. Эта сфера будет одновременно соосна конусу и цилиндру и пересечет их по окруж­ностям. Плоскости этих окружностей перпендикулярны соответствующим осям вращения. Фронтальные проекции этих окружностей — отрез­ки прямых. Проведенная сфера пересекает конус по окружности диаметра а цилиндр — по окружностям В пересечении окружности АВ с окружностями CD и EF получаем соответственно точки 9-10 и 1 1-12, принадлежащие линии пересечения.

Таким образом, можно построить достаточное количество точек искомой линии пересечения. При этом нужно иметь ввиду, что не все сферы могут быть использованы для решения задачи. Рассмотрим предельные границы вспомогательных сфер.

Радиус максимальной секущей сферы будет равен расстоянию от центра о’ до самой удаленной точки пересечения контурных образующих (от точки о’ до точек 2′ и 4′)- Минимальной секущей сферой долж­на быть такая сфера, которая касалась бы одной поверхности (большей) и пересекала вторую (меньшую). В данном примере минимальная сфера касается поверхности конуса по окружности и пересекает ци­линдр по окружностям Пересекаясь между собой, ок­ружности MN и KL дают точки линии пересечения 5 (5′) и 6 (6′), а окружности MN и ST — точки Это самые глубокие точки линии пересечения.

Для точности решения между максимальной и минимальной сфе­рами необходимо построить дополнительные (промежуточные) сферы:

Если дополнительная сфера пересекает только одну данную поверхность, то такая сфера для решения задачи непригодна.

Для построения второй проекции линии пересечения можно ис­пользовать окружности, полученные от сечения конуса вспомогательными сферами.

Можно также построить дополнительные сечения поверхности, Точки 13-14 и 15-16, лежащие на контурных образующих цилиндра, являются точками границы видимости линии пересечения на горизонтальной проекции.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Инженерная графика Начертательная геометрия Компас Автокад Черчение Проекционное черчение Аксонометрическое черчение Строительное черчение Техническое черчение Геометрическое черчение

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Выполнение и оформление чертежей по ГОСТ и ЕСКД
• Виды в инженерной графике
• Разрезы в инженерной графике
• Сечения в инженерной графике
• Развертка поверхности конуса
• Шаровая поверхность
• Винтовые поверхности
• Способ вспомогательных секущих плоскостей

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Способ вспомогательных сфер

Во втором задании требуется построить линию пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих сфер.

Способ вспомогательных сфер можно применять при построении линии пересечения таких поверхностей, которые имеют общую плоскость симметрии. При этом каждая из поверхностей должна содержать семейство окружностей , по которым ее могут пересекать вспомогательные сферы, общие для поверхностей. Плоскость симметрии должна быть параллельна одной из плоскостей проекций. Если это условие не выполнено, то следует, используя замену плоскостей проекций, добиться его выполнения.

При построении линии пересечения способом вспомогательных сфер возможны два случая: сферы проводятся из одного центра (способ концентрических сфер) и сферы проводятся из разных центров (способ эксцентрических сфер).

Известно, что если центр сферы расположен на оси поверхности вращения, то сфера пересекает ее по окружностям, плоскости которых перпендикулярны к оси вращения. В том случае, когда ось поверхности вращения параллельна плоскости проекций, окружности проецируются отрезками прямых, перпендикулярных к изображению оси поверхности вращения. Это положение лежит в основе способа вспомогательных сфер.

Способ концентрических сфер следует применять при построении линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются.

Рассмотрим применение данного способа на примере решения задачи на построение линии пересечения поверхностей цилиндра и конуса (рис. 8).

Точка пересечения крайних (очерковых) образующих конуса и цилиндра (точки 1′, 2′, 3′, 4′) на фронтальной плоскости проекций находим при помощи вспомогательной фронтальной плоскости Т ( Т Н ), совпадающей с плоскостью симметрии обеих поверхностей. Горизонтальные проекции этих точек будут лежать на горизонтальном следе плоскости Т – Т Н .

Остальные точки линии пересечения находим способом концентрических сфер. За центр сфер примем точку пересечения осей цилиндра и конуса – точку О ′. Проводим сферу 1. Эта сфера пересекает цилиндр по двум окружностям, которые проецируются на фронтальную плоскость проекций в виде отрезков a ′ b ′ и c ′ d ′. Конус сфера пересекает также по двум окружностям, которые проециру-

ются в отрезки m ′ p ′ и k ′ n ′. На пересечении этих окружностей (на фронтальной плоскости проекций – на пересечении отмеченных выше отрезков) получим точки 5′, 6′, 7′, 8′. Проведя несколько сфер находят необходимое количество точек.

Секущие сферы проводят в определенных пределах. Радиус максимальной сферы будет равен расстоянию от точки О ′ до самых удаленных точек пересечения контурных образующих – точек 3′ и 4′. Минимальной сферой будет такая, которая вписывается (касается) большей поверхности и пересекает вторую. В нашем случае сфера будет вписываться в цилиндрическую поверхность

и пересекать коническую. Следовательно, коническая поверхность (меньшая) проницает цилиндрическую. С помощью минимальной сферы найдены точки

Для построения горизонтальных проекций точек линии пересечения можно использовать окружности, полученные при пересечении конуса вспомогательными сферами. Например, точки 12′ и 13′ найдены с помощью сф еры 2.

Эта сфера пересекает конус по окружности радиуса R 1 . строим горизонтальную проекцию окружности и на пересечении линий связи, проведенных из точек 12′

и 13′, с этой окружностью отмечаем точки 12 и 13.

В рассмотренном примере имеет место первый случай взаимного пересечения поверхностей – проницание. Линия пересечения распадается на две замкнутые кривые линии. Так как поверхности конуса и цилиндра− поверхн о- сти второго порядка и в нашем случае они имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций, то линия их пересечения проецируется на фронтальную плоскость в виде кривой второго порядка (гиперболы).

Способ эксцентрических сфер следует применять при построении линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых скрещиваются.

Рассмотрим применение этого способа на примере решения задачи по построению линии пересечения поверхностей конуса и тора (рис. 9).

Точки пересечения крайних (очерковых) образующих (точки′ 1и 2′) на фронтальной плоскости проекций находим при помощи вспомогательной фронтальной плоскости Т ( Т Н ), совпадающей с плоскостью симметрии обеих поверхностей. Горизонтальные проекции этих точек будут лежать на горизонтальном следе плоскости Т – Т Н .

Для определения положения центра сферы 1 проведем фронтальнопроецирующую плоскость Р ( Р V ). Эту плоскость проводим через ось вращения тора, которая на фронтальную плоскость проекций спроецировалась в точку О ′. Плоскость Р пересекает тор по окружности с центром в точке С ( с ′). На фронтальную плоскость проекций окружность спроецировалась в отрезок a ′ b ′. Из точки с ′ проводим перпендикуляр к следу плоскости Р V до пересечения его с осью конуса в точке О 1 ′. Точку О 1 ′ принимаем за центр вспомогательной сферы 1. Эту сферу проводим таких размеров, чтобы она пересекала тор по окружности, полученной от пересечения его плоскостью Р .

Источник

Способ вспомогательных сфер

Способ вспомогательных сфер

• Метод вспомогательного мяча 1. Существует два случая создания линии пересечения между двумя поверхностями с использованием метода вспомогательной сферы. Один из них использует сферу, взятую из одного центра, которая является общей для всех сфер в центре, а другой использует сферу, нарисованную из другого центра.

• В первом случае существует концентрический метод, а во втором — эксцентрический сферический метод. По этой причине мы сначала обсудим пересечение коаксиальных поверхностей вращения (поверхностей вращения с одной осью). Легко видеть, что две коаксиальные поверхности вращения пересекаются друг с другом окружностью, и последнее число равно числу пересечений поверхностных меридианов.

Сначала рассмотрим метод концентрических сфер. Людмила Фирмаль

Фактически, если одна грань образована вращением меридиана / (/ 2), а другая грань является меридианом m (m2) с центром на общей оси i (i2) (рис. 197), общая точка меридиана A (A2)> B (B2) C (Cr) Поверхностные данные. Кроме того, если общая ось плоскости вращения параллельна плоскости проекции, эти круги проецируются на эту плоскость в виде прямых линий.

Если одна из этих граней является сферой, необходимо обратить внимание на особый случай, когда две коаксиальные вращающиеся грани пересекаются. Если центр сферы находится на оси плоскости вращения, сфера соосна с плоскостью вращения, и на пересечении получается окружность (рис. 198). Это свойство сферы с центром на оси вращения является основой метода концентрических сфер. 2. Концентрический шаровой путь.

Давайте проиллюстрируем на примере условия, при которых пересечение двух поверхностей может быть построено, как показано. Пример 1. Нарисуйте линию пересечения между цилиндром и вращающимся конусом. Оси i и / пересекаются в определенной точке O и параллельны плоскости проекции P2 (рис. 199). круг Рис. 197 Рис. 198 Нарисуйте из точки O пересечения этих осей поверхности.

Любая сфера, которая пересекает каждую из этих поверхностей от центра, выровняет эту сферу с этими поверхностями. Сфера пересекается с каждой из этих четырех поверхностей по кругу. Эти круги представлены D на плоскости проекции P2. / По сегментам Удары от параллельности оси / I \ L, [\ s ^^ h эти поверхности \ sti® отрезок перекрестка Получите ПРЯМОЕ ФОВ «^ — Я рисую круг ^^^^ rftL * \ L ^ r ^ rС». \ 1 \

Обе данные прошли \ Yk \ from ‘\ nosti, следовательно \ ^ r ^ kU ^^ W- * линия пересечения. \ X ^ 3 ^ ^ mC ^^ Во-первых, \ Некоторые точки поддержки \ 2 \ точки построены. Обе данные \ _L поверхность имеет что-то общее Плоскость симметрии, параллельная плоскости проекции P2, и их контурные генераторы относительно плоскости P2 пересекаются.

Точка A на пересечении этих генераторов B, C, D является видимой точкой линии пересечения поверхности. Далее необходимо определить соответствующий максимум и ми-N ^ Ji ^ / минимальный радиус сферы Найдите точку на линии I пересечения. Рисунок максимальный радиус сферы 199 Rmtx равно расстоянию от центра проекции сферы 02 до самого дальнего пересечения генератора контуров, в данном случае это точка 2.2.

Наименьшая сфера /? Чтобы определить радиус M1n, нам нужно нарисовать нормали к генератору контура для этих поверхностей через линию 02. Максимум этих нормальных сегментов составляет Rmln. В этом случае сфера с наименьшим радиусом касается одной из этих поверхностей, И второе — пересекаются. Если меньшее из острых ребер равно / m1n, одна из этих поверхностей не будет пересекать такую ​​сферу.

В этом примере сфера с наименьшим радиусом является сферой, которая касается цилиндрической поверхности. Эта сфера контактирует с цилиндрической поверхностью вокруг окружности 1-2 и пересекает коническую поверхность вдоль двух окружностей 3-4 и 5-6. Точки пересечения ξ, F и G% и этих окружностей являются точками искомой линии пересечения.

Чтобы создать другую точку для линии Сечение проведено несколькими концентрическими сферами с центром в точке O, радиус R этих сфер равен максимальная На фиг.199 изображена еще одна сфера радиуса R, пересекающая цилиндрические грани окружностей 7-8 и 9-10 и конические грани окружностей 11-12 и 13-14. На пересечении этих окружностей получим точки / (, L, M, N и Py Q, принадлежащие пересечению.

Чтобы создать горизонтальную проекцию точки пересечения линии, вы должны использовать круг на одной из этих поверхностей, который содержит желаемую точку. В этом примере удобнее использовать конический круг. Это потому, что эти круги не искажают на плоскости проекции. Если оси этих плоскостей вращения пересекаются, но не параллельны плоскости проекции, вы можете переместить их в положение, параллельное новой плоскости проекции, заменив плоскость проекции. Пример 2.

Нарисуйте линию пересечения сферы и любой плоскости вращения или оси Это перед центром сферы C (рис. 200). Концентрическая сфера, которая пересекает конкретную сферу с окружностью, может быть описана из любой точки пространства, кроме центра сферы C, а концентрическая сфера, которая пересекает конкретную плоскость вращения, может быть описана с помощью круга из любой точки на оси i.

Геометрическое расположение точки в пространстве может быть концентрической сферой, которая пересекается с окружностью, данной плоскостью вращения и данной сферой в качестве оси i поверхности. Таким образом, если концентрические сферы описываются из любой точки O (02) на оси вращения i, они пересекают эти плоскости с помощью круга.

• Следовательно, вспомогательная сфера с радиусом R на рисунке 200 пересекает плоскость вращения вдоль окружности / -2, и эта сфера пересекается вдоль окружности 3-4 (эти окружности являются отрезками на плоскости проекции P2 обращается у вас есть). Точки пересечения M и N указанного круга будут точкой пересечения интересов.

Примеры рассмотрены: Используя метод концентрических сфер, вы можете построить пересечение двух поверхностей с общей плоскостью симметрии, каждая из которых содержит ряд окружностей, которые могут пересекать общую концентрическую сферу на обеих поверхностях.

Для построения горизонтальной проекции точек линии пересечения можно использовать круг с вращающейся плоскостью, которая не искажается в плоскости проекции Oj. Людмила Фирмаль

В частности, метод концентрических сфер следует использовать при построении линии пересечения двух плоскостей вращения, где пересекаются оси. 3. Эксцентричный шаровой метод. Показанный метод построения пересечения двух поверхностей заключается в использовании вспомогательных сфер с разными центрами.

Чтобы уточнить условия, при которых этот метод может быть применен, рассмотрим пример, показанный на рисунке. 201. Как выясняется, в этом примере центр вспомогательной сферы можно получить в любой точке на оси плоскости вращения. Поэтому построение линии пересечения в этом случае может быть выполнено не только методом концентрических сфер, но и методом эксцентрических сфер.

На рис. 201 показана конструкция пересечения этих поверхностей методом эксцентрической сферы. Четыре сферы нарисованы с радиусами R \ R2, R3, R4 из различных центров O1, O2, O3, O * на оси вращения i. Каждая из этих сфер пересекает эти поверхности с помощью круга, и пересечение является точкой пересечения поверхностей. Давайте рассмотрим другой пример.

Пример. Восстановить фиговую линию 201 сечения конической поверхности тора Поворотная поверхность с общей плоскостью фронтальной симметрии (рис. 202). Отметьте видимые точки A и B на пересечении контура поверхности тора и конуса конической поверхности. Здесь вы не можете строить случайные точки, используя метод концентрических сфер.

Это связано с тем, что оси I1 и i2 не пересекаются, даже если обе поверхности являются вращающимися поверхностями. Одной и той же эксцентричной сферой с разными центрами На поверхности вы можете найти любую точку линии пересечения. Фактически на поверхности тора, кроме семейства окружностей (параллельных) в плоскости, перпендикулярной оси i1, существует семейство окружностей (меридианов) в плоскости, проходящей через ось il.

Центр сферы, которая пересекает поверхность тора вдоль этих окружностей, перпендикулярен плоскости этих окружностей, проведенных через эксцентрические сферы с центрами C1, C2, C3 и точками O1, O2 и O3. Рисунок 202 Так что, если вы берете центр. Если эти перпендикуляры пересекают ось грани конуса t2, то соответствующая сфера радиуса будет пересекать обе эти грани окружностью.

Точка Сечения окружностей на обеих поверхностях, которые принадлежат одной и той же сфере, являются точками желаемой линии пересечения. На рис. 202 три эксцентрических сферы взяты из центров 0 \ O2 и O3, с помощью которых вы находите случайные точки пересечения.

Таким образом, для построения точки M mm N рисуется меридиан из 3-4 поверхностей тора, расположенных в плоскости, спроецированной спереди через ось il (i2l) t, а перпендикуляр к этой плоскости является ее центром C1 ( С2 *). В точке O1 (02x) пересечение перпендикуляра и оси / 2 (t22) является центром вспомогательной сферы.

Теперь, если вы рисуете сферу с центром в точке O1 (так, чтобы центр радиуса R принадлежал окружности 3-4), эта сфера будет пересекать коническую поверхность вдоль окружности / -2 и окружности / -2 И обязательные точки М и N определены на пересечении 3-4 Горизонтальную проекцию пересечения можно найти, используя простые графические линии (параллельные линии) на поверхности тора.

Вы можете использовать метод эксцентрической сферы, чтобы нарисовать линию пересечения между двумя поверхностями с общей плоскостью симметрии. Каждая из этих поверхностей должна содержать семейство кругов. При этом эксцентрическая сфера, общая для обеих поверхностей, может проходить вдоль нее.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник