Способ вращения осей для треугольника

Способ вращения

Вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекции, является частным случаем параллельного перемещения. Отличие от параллельного перемещения состоит лишь в том, что за траекторию перемещения точки берется не произвольная линия, а дуга окружности, центр которой находится на оси вращения, а радиус равен расстоянию между точкой и осью вращения.

Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекции, применим для перемещения отрезка прямой общего положения в частное.

Перевод прямой общего положения k в положение перпендикулярное горизонтальной плоскости проекции H.

Здесь необходимо дважды применить способ вращения вокруг осей, перпендикулярных к плоскостям проекции. Первым вращением отрезок переводится в положение, параллельное плоскости проекции V, и лишь после этого вращением вокруг оси перпендикулярной плоскости проекции V, перемещают отрезок в положение, перпендикулярное плоскости H .

Перевод плоскости общего положения в частное фронтально проецирующее положение.

Прямую, принадлежащую плоскости произвольно расположенной в пространстве, используя способ вращения переводим в положение перпендикулярное плоскости V. Используем для этого горизонталь плоскости, заданную точками 1 и 2 на рисунке.

Используем способ вращения напоследок, для придания плоскости положения параллельного плоскости проекции H, то есть положения плоскости уровня. Используем для этого ось вращения i₁.

Источник

СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ

Рассматриваемый способ вращения заключается в том, что положение геометриче­ских элементов относительно плоскостей про­екций изменяют вращением вокруг оси, которая проводится перпендикулярно к какой-нибудь плоскости проекций; положение плоскостей проекций при этом остается неизменным. На эпюре строят новые проекции повернутых гео­метрических элементов.

На рис. 231 показано вращение точки В во­круг оси I, перпендикулярной плоскости Н. Точку В вращают вокруг оси I (рис. 231, а) по окружности, радиус O₁В которой является перпендикуляром, опущенным из точки В на ось вращения I. Точка O₁ — центр вращения точки В. Точка В при вращении опишет дугу окружности, которая располагается в плоско­сти T, перпендикулярной оси вращения. А так как ось I перпендикулярна плоскости H, плос­кость Т будет горизонтальной плоскостью. Ось вращения — проецирующая прямая, перпен­дикулярная плоскости H. Траектория поворота точки В проецируется на плоскость Н окруж­ностью, а на плоскость V — отрезком прямой линии. Переместив горизонтальную проекцию точки В в новое положение b₁, т. е. повернув ее на заданный угол α, строят фронтальную проекцию, точки b׳₁ с помощью линии проекци­онной связи. Так как вращение происходит в плоскости Т, перпендикулярной плоскости V, фронтальная проекция b׳₁ точки В будет нахо­диться на следе T_v плоскости Т. Плоскость вращения на эпюре обычно не проводят.

Траектория вращения точки проецируется в дугу окружности на плоскость проекций, кото­рой перпендикулярна ось вращения. На плос­кость, которой ось вращения параллельна, траектория вращения точки проецируется в от­резок, параллельный оси проекций.

При определении натуральной длины отрез­ка для упрощения построений ось вращения проводят через конец отрезка.

На рис. 232, а ось вращения I проведена через точку А перпендикулярно плоскости Н. При вращении точка В отрезка АВ описала дугу окружности с центром в точке, которая проецируется на плоскость Н в точку а, в эту же точку проеци­руется ось I(i).

Траектория точки В на плос­кость Н спроецировалась без искажения, а ее фронтальная проекция совпала с осью Ох. так как точка В лежит в плоскости Н.

Движение точки В остановлено в тот момент, когда го­ризонтальная проекция ab отрезка АВ стала параллельной оси Ох. Отрезок расположился параллельно плоскости V и проецируется на нее в натуральную величину.

На рис. 232, б ось вращения проведена пер­пендикулярно плоскости V через точку С. Ее фронтальная проекция совпала с фронтальной проекцией с’ точки С и проекцией оси враще­ния I (i‘) точки D. Фронтальная проекция c’d׳ отрезка CD повернута до положения, параллельного оси Ох. Отрезок стал парал­лельным плоскости Н и спроецировался на нее в натуральную величину. Траектория точки D при вращении проецируется на плоскость И отрезком dd\_y параллельным оси Ох.

На рис. 233 показан поворот треугольника ABC (плоскость треугольника ABC перпендику­лярна плоскости V) в положение, параллельное плоскости H. Для этого через одну из вершин треугольника (А) проводят ось вращения перпендикулярно плоскости V. Отрезок а’b’ — про­екцию треугольника ABC на плоскость V — поворачивают в положение, параллельное оси Ох. Траектории поворота вершин треуголь­ника спроецировались на плоскость V в дуги окружностей, а на плоскость H — в отрезки прямых, параллельных оси Ох. Проведя линии проекционной связи из точек с׳₁ и b׳₁ до пересече­ния с этими отрезками, получают проекцию ab₁c₁ треугольника после поворота. Точка А своего положения не изменила, так как она находится на оси вращения. На плоскость H треугольник спроецировался в натуральную величину, так как его плоскость параллельна плоскости H.

Способ вращения без указания осей или способ плоскопараллельного пе­ремещения может быть применен в тех же случаях, что и рассмотренный выше способ вращения. Если на плоскости V на свободном месте чертежа изобразить фронтальную проек­цию c’d’ прямой CD (рис. 234, а) в новом по­ложении, где проекция c׳₁d׳₁ будет параллельна оси Ох, то, очевидно, существует такая ось вращения, поворот вокруг которой привел пря­мую CD именно в такое положение. Ось вра­щения можно не указывать, так как все пост­роения могут быть проделаны без нее. На го­ризонтальной плоскости проекций траектории перемещения совпадут с прямыми, параллель­ными оси Ох. Опустив из точек с׳₁ и d׳₁ линии связи до пересечения с этими прямыми, полу­чим проекцию с₁d₁ прямой CD, которая в но­вом положении проецируется на плоскость Н в натуральную величину.

На рис. 234, б без указания оси вращения по­казан поворот треугольника ABC в положение, параллельное плоскости Н. Его фронтальная проекция а׳₁b’₁с׳₁ изображена на произвольном месте плоскости V параллельно оси Ох.

Из сказанного следует, что проекции гео­метрических элементов при вращении не изме­няют своей величины на той плоскости проек­ций, которой перпендикулярна ось вращения. Это происходит потому, что угол наклона пря­мой или плоскости к плоскости проекций, к которой перпендикулярна ось, не изменяется при перемещении этих геометрических элемен­тов. Взаимное расположение точек при поворо­те, а значит, форма и величина проекции вращаемого объекта на этой плоскости проек­ций остаются без изменений. Меняется лишь ее положение.

На этом и основан способ вращения без ука­зания осей. Одну из проекций вычерчивают в новом положении по отношению к оси проек­ций Qx, а на другой плоскости проекций про­водят прямые, параллельные оси Ох, изобра­жающие на плоскости проекций путь переме­щения точек. В пересечении линий проекцион­ной связи, проведенных от проекций точек после поворота, и линий, параллельных оси Ох, получают точки, определяющие положение второй проекции после поворота.

Источник

Метод вращения вокруг оси

Одним из наиболее эффективных методов определения метрических характеристик плоских фигур является вращение вокруг оси, в качестве которой обычно используют линию уровня или проецирующую прямую.

Способ вращения вокруг проецирующей прямой

Перемещение точки при её вращении вокруг проецирующей прямой является частным случаем параллельного перемещения и подчиняется следующим правилам.

1. Траектория движения точки – дуга окружности с центром, расположенным на оси вращения. Радиус окружности равен расстоянию между точкой и осью вращения.
2. При вращении точки вокруг прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости проекции, фронтальная проекция точки перемещается по дуге окружности, а горизонтальная – параллельно оси X.
3. При вращении точки вокруг прямой, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекции, горизонтальная проекция точки перемещается по дуге окружности, а фронтальная – параллельно оси X.

Руководствуясь рассмотренными правилами, повернем отрезок CD в положение, параллельное фронтальной плоскости проекции. В качестве оси вращения i будем использовать горизонтально проецирующую прямую, проведенную через точку D.

При повороте отрезка положение точки D не изменится, поскольку она лежит на оси i. Точку C’ переместим по дуге окружности радиусом C’D’ в положение C’₁ так, чтобы выполнялось условие C’₁D’₁ || X. Для нахождения точки C»₁ из C» проведем прямую, параллельную оси X, до пересечения её с линией связи, восстановленной из т. C’₁.

На следующем рисунке показан способ перевода отрезка в горизонтально проецирующее положение. Построения выполнены в два этапа и описаны ниже.

Сначала вращением вокруг оси i₁ CD перемещают в положение C₁D₁, параллельное фронтальной плоскости проекции. После этого вращением вокруг оси i₂ отрезок переводится в искомое положение C₂D₂, где он перпендикулярен горизонтальной плоскости проекции.

Расположение осей вращения выбирают исходя из удобства дальнейших построений. В нашей задаче горизонтально проецирующая прямая i₁ проходит через точку D, а проекция i»₂ фронтально проецирующей прямой i₂ лежит на продолжении отрезка C»₁D»₁.

Способ вращения вокруг линии уровня

Действенным и наиболее рациональным приемом решения задач, в которых требуется определить натуральную величину угла, является способ вращения вокруг линии уровня.

Основные правила построения

1. Радиус вращения точки равен расстоянию между точкой и линией уровня, выполняющей роль оси. Натуральную величину радиуса определяют методом прямоугольного треугольника.
2. При вращении вокруг горизонтали h точка перемещается по окружности, которая проецируется на горизонтальную плоскость в отрезок прямой, перпендикулярный горизонтальной проекции горизонтали h’. На фронтальную плоскость окружность, по которой движется точка, проецируется в эллипс. Строить его нет необходимости.
3. При вращении вокруг фронтали f точка перемещается по окружности, которая проецируется на фронтальную плоскость в отрезок прямой, перпендикулярный фронтальной проекции фронтали f». Вместе с тем горизонтальная проекция линии перемещения представляет собой эллипс, строить который не обязательно.

Рассмотрим, как определить действительную величину угла между прямыми a и b, пересекающимися в точке A. Построения представлены на рисунке и выполнены согласно алгоритму, который описан ниже.

1. Проводим фронтальную проекцию h» горизонтали h. Она пересекает прямые a» и b» в точках 1» и 2». Определяем горизонтальные проекции 1′ и 2′ и через них проводим h’.
2. Находим центр вращения O. Его горизонтальная проекция O’ лежит на пересечении прямой h’ с перпендикуляром, проведенным из A’ к h’.
3. Определяем натуральную величину радиуса вращения R = O’A’₀. Для этого строим прямоугольный треугольник O’A’A’₀, катет которого A’A’₀ равен расстоянию от A» до h».
4. Проводим дугу окружности радиусом R до пересечения её с прямой O’A’ в точке A’₁. Соединяем A’₁ с точками 1′ и 2′. Искомый угол ϕ построен.

Источник

Лекция 4. Способы преобразования ортогонального чертежа

4.1. Способ перемены плоскостей проекций

Чаще всего геометрические объекты расположены относительно плоскостей проекций в общем положении, и при решении задач для достижения поставленной цели необходимо выполнять много построений.

Количество построений можно значительно сократить, если геометрические элементы будут расположены в частном положении относительно плоскостей проекций.

Существуют два основных способа преобразования чертежа, при которых:

1. Объект остаётся неподвижным, при этом меняется аппарат проецирования;
2. Условия проецирования не меняются, но изменяется положение объекта в пространстве.

К первому способу относится способ перемены плоскостей проекций.

Ко второму – способ вращения (вращение вокруг линии уровня и вращение вокруг проецирующей прямой); способ плоскопараллельного перемещения.

Рассмотрим наиболее часто используемые способы при решении задач.

Способ перемены плоскостей проекций или способ введения дополнительных плоскостей проекций (ДПП) позволяет перейти от заданной системы плоскостей проекций к новой системе, более удобной для решения той или иной задачи.

Рассмотрим положение точки А относительно известной системы плоскостей проекций π₂⊥π₁ (Рисунок 4.1, а и б).

Введём π₄⊥π₁, при этом получим новую систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Положение точки А на эпюре будет в этом случае задано проекциями А₁ и А₄.

Правила перемены плоскостей проекций:

1. Новая плоскость проекций вводится перпендикулярно, по крайней мере, одной из заданных на чертеже плоскостей проекций;
2. ДПП располагается относительно проецируемого объекта в частном положении, удобном для решения поставленной задачи;
3. Новую плоскость совмещаем вращением вокруг новой оси проекций с плоскостью, которой она перпендикулярна на свободное место так, чтобы проекции не накладывались друг на друга.

а б

Рисунок 4.1 – Способ перемены плоскостей проекций

1. На чертеже новая проекция геометрического элемента находится на линии связи, перпендикулярной новой оси проекций:

1. Расстояние от А₄ до π₁/π₄ равно расстоянию от А₂ до π₂/π₁, так как величина этих отрезков (отмечены ○) определяет расстояние от точки А до плоскости проекций π₁.

При решении задачи необходимо заранее обдумать, как расположить новую плоскость проекций относительно заданных геометрических объектов (прямой, плоскости и др.), и как на чертеже провести новую ось проекций, чтобы в новой системе плоскостей заданные объекты заняли бы частные положения по отношению к новой плоскости проекций.

Упражнение

1. Спроецировать отрезок общего положения АВ в точку.

1. Введём ДПП π₄//А₁В₁ и π₄⊥π₁ (Рисунок 4.2). В новой системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций π₁/π₄ отрезок АВспроецируется на π₄ в натуральную величину и по этой проекции можем определить угол наклона отрезка к плоскости проекций π₁

Упражнение

2. Дана плоскость общего положения – σ, заданная треугольником АВС (Рисунок 4.3).

Определить истинную величину треугольника.

1. Введём ДПП π₄⊥σ и π₄⊥π₁, для чего построим горизонталь в плоскости треугольника и проведём новую ось проекций π₁/π₄⊥g₁согласно теореме о перпендикуляре к плоскости. На π₄ плоскость σ спроецируется в прямую, что означает σ⊥πp₄.
2. Введём ДПП π₅//σ (π₄/π₅//А₄В₄С₄) и π₄⊥π₅. На π₅ проекция А₅В₅С₅ – есть истинная величина треугольника.

4.2. Способ вращения

Сущность способа вращения состоит в том, что положение системы плоскостей проекций считается неизменным в пространстве, а положение проецируемого объекта относительно неподвижных плоскостей изменяется.

Из сравнения сущности обоих способов видно, что решение задач, которые требуют применения преобразования ортогонального чертежа, может быть выполнено любым из этих способов, результат при этом должен получиться одинаковым. Основа выбора того или иного способа – рациональность решения.

Вращение заданных элементов будем осуществлять вокруг проецирующей прямой, то есть прямой, перпендикулярной какой-либо плоскости проекций, при этом все точки заданных элементов поворачиваются в одну и ту же сторону на один и тот же угол (Рисунок 4.4, а и б). Ось вращения и объект вращения составляют твёрдое тело.

А – точка в пространстве;

О – центр вращения точки А;

АО – радиус вращения

а б

Рисунок 4.4 – Способ вращения вокруг прямой, перпендикулярной π₂

Точка описывает в пространстве окружность радиусом АО. Плоскость окружности перпендикулярна оси вращения (σ⊥m).

Так как m⊥π₂ , то σ//π₂, следовательно, σ⊥π₁, ⇒ σ₁⊥m₁, и поэтому σ проецируется на π₁ в виде прямой, перпендикулярной проекции оси вращения, а на π₂ траектория вращающейся точки проецируется в виде окружности с центром О₂≡m₂.

Пусть ось вращения m⊥π₁ (Рисунок 4.5, а и б). Плоскость окружности σ⊥m.

а б
Рисунок 4.5 – Вращение вокруг прямой, перпендикулярной π₁
\left.\begin\sigma\parallel\pi_1\\\sigma\perp \pi_2\\\end\right\> npu\;m\perp\pi_1\Longrightarrow\sigma_2\perp m_2
Свойства проекций

1. На плоскость проекций, перпендикулярную оси вращения, траектория вращающейся вокруг этой оси точки проецируется без искажения, то есть в окружность с центром, совпадающим с проекцией оси вращения на эту плоскость и радиусом, равным расстоянию от вращаемой точки до оси вращения.
2. На плоскость проекций, параллельную оси вращения, траектория вращающейся точки проецируется в отрезок, перпендикулярный проекции оси вращения на эту плоскость.
3. На плоскость проекций, перпендикулярную оси вращения, проекция вращаемого объекта своих размеров и формы не меняет.

Упражнение

Дано : отрезок общего положения – АВ.

Определить : способом вращения истинную величину отрезка и углы наклона его к плоскостям проекций.

1. Выберем ось вращения m⊥π₁ и проходящую через точку В (Рисунок 4.6).

На плоскости проекций π₂ проекция траектории перемещения точки А – прямая,

A_2 \overline\perp m_2\;u\;A_2\overline\parallel\pi_2/\pi_1

На плоскости проекций π₁ проекция траектории перемещения точки А – окружность радиусом |А₁В₁|.

Повернем отрезок до положения, параллельного плоскости проекций π₂. Получим натуральную величину отрезка.

Угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций π₁ будет угол
\alpha=\angle\widehat_2> .

Для того, чтобы определить угол наклона АВ к плоскости проекций π₂, надо ввести новую ось вращения перпендикулярно π₂ и повторить построения.

4.3. Определение истинной величины треугольника способом вращения

Пусть плоскость σ задана треугольником. Необходимо определить истинную величину треугольника (Рисунок 4.7).

Одним поворотом вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, истинную форму треугольника получить нельзя (так же как и введением одной ДПП).

Вращая вокруг оси m, перпендикулярной π₁ можно расположить плоскость ΔАВС⊥π₂ (а вращая вокруг оси n⊥π₂ можно расположить плоскость ΔАВС⊥π₁).

Рисунок 4.7

1. Положим σ’ должна быть перпендикулярна π₂. Для чего построим CD – горизонталь h плоскости σ. Введём первую ось вращения m⊥π₁, например, через точку С.
2. Повернём треугольник вокруг m до положения, когда
   \overline\perp\pi_2\Rightarrow\overline_1\overline_1\perp\pi_2/\pi_1
   На основании 3-го свойства, новая горизонтальная проекция треугольника \overline по величине должна равняться A₁B₁C₁, а фронтальная проекция треугольника будет представлять отрезок.
3. Введём вторую ось вращения n⊥π₂ через точку \overline_2 . Повернём фронтальную проекцию \overline в новое положение \overline<\overline\overline\overline>\parallel\pi_2/\pi_1 . На π₁ получим треугольник \overline<\overline\overline\overline> , равный истинной величине треугольника АВС.

4.4. Задачи для самостоятельной работы

Двумя способами преобразования ортогонального чертежа:

1. Определить расстояние от точки D до отрезка АВ – общего положения (Рисунок 4.8).

Рисунок 4.8

2. Определить расстояние между двумя параллельными прямыми общего положения (АВ//CD) (Рисунок 4.9).

Рисунок 4.9

3. Определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными отрезками АВ и CD (Рисунок 4.10).

Рисунок 4.10

4. Построить недостающую проекцию точки D при условии, что задана σ=ΔАВС – общего положения и первая проекция точки D₁, Dотстоит от плоскости σ на 30 мм (Рисунок 4.11).

Рисунок 4.11

5. Дан отрезок АВ – общего положения. Ось вращения не проходит через АВ (Рисунок 4.12). Определить способом вращения истинную величину АВ.

Рисунок 4.12

6. Задана прямая общего положения m и точка А вне прямой. Построить плоскость, проходящую через точку А и перпендикулярную прямой m (Рисунок 4.13).

Рисунок 4.13

Источник