Способ вариации постоянных второго порядка

Примеры решений дифференциальных уравнений второго порядка методом Лагранжа

Здесь мы применим метод вариации постоянных Лагранжа для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка. Подробное описание этого метода для решения уравнений произвольного порядка изложено на странице
Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом Лагранжа >>> .

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных Лагранжа:
(1)

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Вначале мы решаем однородное дифференциальное уравнение:
(2)
Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение:

Это уравнение второго порядка.

Решаем квадратное уравнение:
.
Корни кратные: . Фундаментальная система решений уравнения (2) имеет вид:
(3) .
Отсюда получаем общее решение однородного уравнения (2):
(4) .

Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями

Варьируем постоянные C ₁ и C ₂ . То есть заменим в (4) постоянные и на функции:
.
Ищем решение исходного уравнения (1) в виде:
(5) .

Находим вторую производную:
.
Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;

.
Поскольку и удовлетворяют однородному уравнению (2), то сумма членов в каждом столбце последних трех строк дает нуль и предыдущее уравнение приобретает вид:
(7) .
Здесь .

Вместе с уравнением (6) мы получаем систему уравнений для определения функций и :
(6) :
(7) .

Решение системы уравнений

Решаем систему уравнений (6-7). Выпишем выражения для функций и :
.
Находим их производные:
;
.

Решаем систему уравнений (6-7) методом Крамера. Вычисляем определитель матрицы системы:

.
По формулам Крамера находим:
;
.

Итак, мы нашли производные функций:
;
.
Интегрируем (см. Методы интегрирования корней). Делаем подстановку
; ; ; .

Общее решение исходного уравнения:

;
.

Пример 2

Решить дифференциальное уравнение методом вариации постоянных Лагранжа:
(8)

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Решаем однородное дифференциальное уравнение:

(9)
Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение:

Это уравнение имеет комплексные корни:
.
Фундаментальная система решений, соответствующая этим корням, имеет вид:
(10) .
Общее решение однородного уравнения (9):
(11) .

Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями

Теперь варьируем постоянные C ₁ и C ₂ . То есть заменим в (11) постоянные на функции:
.
Ищем решение исходного уравнения (8) в виде:
(12) .

Далее ход решения получается таким же, как в примере 1. Мы приходим к следующей системе уравнений для определения функций и :
(13) :
(14) .
Здесь .

Решение системы уравнений

Решаем эту систему. Выпишем выражения функций и :
.
Из таблицы производных находим:
;
.

Решаем систему уравнений (13-14) методом Крамера. Определитель матрицы системы:

.
По формулам Крамера находим:
;
.

Первый интеграл немного сложней (см. Интегрирование тригонометрических рациональных функций). Делаем подстановку :

.
Поскольку , то знак модуля под знаком логарифма можно опустить. Умножим числитель и знаменатель на :
.
Тогда
.

Общее решение исходного уравнения:

.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 05-08-2013 Изменено: 19-06-2017

Источник

Метод вариации произвольной постоянной решения линейных неоднородных уравнений

Пример №1 . Найдём общее решение уравнения y» + 4y’ + 3y = 9e -3 x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y» + 4y’ + 3y = 0. Корни его характеристического уравнения r 2 + 4r + 3 = 0 равны -1 и -3. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций y₁ = e — x и y₂ = e -3 x . Решение неоднородного уравнения ищем в виде y = C₁(x)e — x + C₂(x)e -3 x . Для нахождения производных C’₁, C’₂ составляем систему уравнений (8)
C′₁·e -x +C′₂·e -3x =0
-C′₁·e -x -3C′₂·e -3x =9e -3x
решая которую, находим , Интегрируя полученные функции, имеем
Окончательно получим

Пример №2 . Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Решение:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 — 4·1·8 = 4

Корни характеристического уравнения: r₁ = 4, r₂ = 2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y₁=e 4x , y₂=e 2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C₁·e 4x +C₂·e 2x
Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’_i составляем систему уравнений:
C′₁·e 4x +C′₂·e 2x =0
C′₁(4e 4x ) + C′₂(2e 2x ) = 4/(2+e -2x )
Выразим C’₁ из первого уравнения:
C’₁ = -c₂e -2x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’₁ = 2/(e 2x +2e 4x )
C’₂ = -2e 2x /(e 2x +2e 4x )
Интегрируем полученные функции C’_i:
C₁ = 2ln(e -2x +2) — e -2x + C * ₁
C₂ = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * ₂

Поскольку y =C₁·e 4x +C₂·e 2x , то записываем полученные выражения в виде:
C₁ = (2ln(e -2x +2) — e -2x + C * ₁) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + C * ₁ e 4x
C₂ = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * ₂)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * ₂ e 2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + C * ₁ e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * ₂ e 2x
или
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * ₁ e 4x + C * ₂ e 2x

Найдем частное решение при условии:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Подставляя x = 0, в найденное уравнение, получим:
y(0) = 2 ln(3) — 1 + ln(3) + C * ₁ + C * ₂ = 3 ln(3) — 1 + C * ₁ + C * ₂ = 1 + 3ln3
Находим первую производную от полученного общего решения:
y’ = 2e 2x (2C₁ e 2x + C₂ -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Подставляя x = 0, получим:
y’(0) = 2(2C₁ + C₂ +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C₁ + 2C₂ +10 ln(3) -4 = 10ln3

Получаем систему из двух уравнений:
3 ln(3) — 1 + C * ₁ + C * ₂ = 1 + 3ln3
4C₁ + 2C₂ +10 ln(3) -4 = 10ln3
или
C * ₁ + C * ₂ = 2
4C₁ + 2C₂ = 4
или
C * ₁ + C * ₂ = 2
2C₁ + C₂ = 2
Откуда: C₁ = 0, C * ₂ = 2
Частное решение запишется как:
y = 2e 4x ·ln(e -2x +2) — e 2x + e 2x ·ln(2e 2x +1) – 2x·e 2x + 2·e 2x

Источник

Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом Лагранжа

Метод Лагранжа (вариация постоянных)

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами произвольного n-го порядка:
(1) .
Метод вариации постоянной, рассмотренный нами для уравнения первого порядка, также применим и для уравнений более высоких порядков.

Решение выполняется в два этапа. На первом этапе мы отбрасываем правую часть и решаем однородное уравнение. В результате получаем решение, содержащее n произвольных постоянных. На втором этапе мы варьируем постоянные. То есть мы считаем, что эти постоянные являются функциями от независимой переменной x и находим вид этих функций.

Хотя мы здесь рассматриваем уравнения с постоянными коэффициентами, но метод Лагранжа также применим и для решения любых линейных неоднородных уравнений. Для этого, однако, должна быть известна фундаментальная система решений однородного уравнения.

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Как и в случае уравнений первого порядка, вначале мы ищем общее решение однородного уравнения, приравнивая правую неоднородную часть к нулю:
(2) .
Общее решение такого уравнения имеет вид:
(3) .
Здесь – произвольные постоянные; – n линейно независимых решений однородного уравнения (2), которые образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.

Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями

На втором этапе мы займемся вариацией постоянных. Другими словами, мы заменим постоянные на функции от независимой переменной x :
.
То есть мы ищем решение исходного уравнения (1) в следующем виде:
(4) .

Если мы подставим (4) в (1), то получим одно дифференциальное уравнение для n функций . При этом мы можем связать эти функции дополнительными уравнениями. Тогда получится n уравнений, из которых можно определить n функций . Дополнительные уравнения можно составить различными способами. Но мы это сделаем так, чтобы решение имело наиболее простой вид. Для этого, при дифференцировании, нужно приравнивать к нулю члены, содержащие производные от функций . Продемонстрируем это.

Чтобы подставить предполагаемое решение (4) в исходное уравнение (1), нам нужно найти производные первых n порядков от функции, записанной в виде (4). Дифференцируем (4), применяя правила дифференцирования суммы и произведения:
.
Сгруппируем члены. Сначала выпишем члены с производными от , а затем – члены с производными от :

.
Наложим на функции первое условие:
(5.1) .
Тогда выражение для первой производной по будет иметь более простой вид:
(6.1) .

Тем же способом находим вторую производную:

.
Наложим на функции второе условие:
(5.2) .
Тогда
(6.2) .
И так далее. В дополнительных условиях, мы приравниваем члены, содержащие производные функций , к нулю.

Таким образом, если выбрать следующие дополнительные уравнения для функций :
(5.k) ,
то первые производных по будут иметь наиболее простой вид:
(6.k) .
Здесь .

Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;

.
Учтем, что все функции удовлетворяют уравнению (2):
.
Тогда сумма членов, содержащих дают нуль. В итоге получаем:
(7) .

В результате мы получили систему линейных уравнений для производных :
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Решая эту систему, находим выражения для производных как функции от x . Интегрируя, получим:
.
Здесь – уже не зависящие от x постоянные. Подставляя в (4), получаем общее решение исходного уравнения.

Заметим, что для определения величин производных мы нигде не использовали тот факт, что коэффициенты a_i являются постоянными. Поэтому метод Лагранжа применим для решения любых линейных неоднородных уравнений, если известна фундаментальная система решений однородного уравнения (2).

Далее рассмотрены примеры решения уравнений методом Лагранжа.

Примеры

Решить уравнения методом вариации постоянных (Лагранжа).

Решение примеров > > >

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 05-08-2013 Изменено: 22-06-2017

Источник

Способ вариации постоянных второго порядка

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами имеет вид \[y» + \left( x \right)y’ + \left( x \right)y = f\left( x \right),\] где \(\left( x \right),\) \(\left( x \right)\) и \(f\left( x \right)\) − непрерывные функции на отрезке \(\left[ \right].\)

Соответствующее однородное уравнение записывается в виде \[y» + \left( x \right)y’ + \left( x \right)y = 0.\] Общее решение неоднородного уравнения представляет собой сумму общего решения \(\left( x \right)\) ассоциированного однородного уравнения и частного решения \(Y\left( x \right)\) неоднородного уравнения: \[y\left( x \right) = \left( x \right) + Y\left( x \right).\] Для построения общего решения неоднородного уравнения чаще всего используют следующий подход:

Сначала путем подбора находят частное решение однородного уравнения.

Затем по формуле Лиувилля-Остроградского получают общее решение однородного уравнения.

Далее методом вариации постоянных (методом Лагранжа) определяют общее решение неоднородного уравнения.

Первые два пункта описанной схемы рассмотрены на странице Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами . Ниже мы рассмотрим подробнее третий шаг, то есть метод вариации постоянных .

Метод вариации постоянных (или метод Лагранжа) используется для построения общего решения неоднородного уравнения, когда известно общее решение ассоциированного с ним однородного уравнения.

Пусть общее решение однородного уравнения \(2\)-го порядка выражается через фундаментальную систему решений \(\left( x \right)\) и \(\left( x \right):\) \[\left( x \right) = \left( x \right) + \left( x \right),\] где \(,\) − произвольные постоянные. Идея данного метода состоит в том, что вместо постоянных \(\) и \(\) рассматриваются функции \(\left( x \right)\) и \(\left( x \right),\) которые подбираются таким образом, чтобы решение удовлетворяло неоднородному уравнению.

Производные неизвестных функций \(\left( x \right)\) и \(\left( x \right)\) можно определить из системы уравнений \[\left\< \begin \left( x \right)\left( x \right) + \left( x \right)\left( x \right) = 0\\ \left( x \right)\left( x \right) + \left( x \right)\left( x \right) = f\left( x \right) \end \right..\] Главным определителем этой системы является вронскиан функций \(\) и \(,\) который не равен нулю в силу линейной независимости решений \(\) и \(.\) Поэтому данная система уравнений всегда имеет однозначное решение. Окончательные формулы для \(\left( x \right)\) и \(\left( x \right)\) имеют вид \[ <\left( x \right) = — \frac<<\left( x \right)f\left( x \right)>><<,>>\left( x \right)>>,>\;\; <\left( x \right) = \frac<<\left( x \right)f\left( x \right)>><<,>>\left( x \right)>>.> \] Применяя метод вариации параметров, важно помнить, что функция \(f\left( x \right)\) должна соответствовать дифференциальному уравнению, приведенному к стандартному виду, т.е. коэффициент \(\left( x \right)\) перед старшей производной должен быть равен \(1.\)

Далее, зная производные \(\left( x \right)\) и \(\left( x \right),\) можно найти и сами функции \(\left( x \right)\) и \(\left( x \right):\) \[ <\left( x \right) = — \int <\frac<<\left( x \right)f\left( x \right)>><<,>>\left( x \right)>>dx> + ,>\;\; <\left( x \right) = \int <\frac<<\left( x \right)f\left( x \right)>><<,>>\left( x \right)>>dx> + ,> \] где \(,\) \(\) − постоянные интегрирования.

Тогда общее решение исходного неоднородного уравнения будет выражаться формулой \[ \left( x \right)\left( x \right) + \left( x \right)\left( x \right) > = <\left[ < - \int <\frac<<\left( x \right)f\left( x \right)>><<,>>\left( x \right)>>dx> + > \right]\left( x \right) > + <\left[ <\int <\frac<<\left( x \right)f\left( x \right)>><<,>>\left( x \right)>>dx> + > \right]\left( x \right) > = <\left( x \right) + \left( x \right) + Y\left( x \right),> \] в которой \[ = <\left( x \right)\int <\frac<<\left( x \right)f\left( x \right)>><<,>>\left( x \right)>>dx> > — <\left( x \right)\int <\frac<<\left( x \right)f\left( x \right)>><<,>>\left( x \right)>>dx> > \] обозначает частное решение неоднородного уравнения.

Теперь воспользуемся методом вариации постоянных и построим общее решение неоднородного уравнения. Будем рассматривать параметры \(\) и \(\) как функции от переменной \(x.\) Производные этих функций определяются из системы уравнений \[\left\< \begin + x = 0\\ <\left( <> \right)^\prime > + <\left( x \right)^\prime >= 1 + \frac<1><<>> \end \right..\] Здесь правая часть \(1 + \large\frac<1><<>>\normalsize\) во втором уравнении записана после преобразования исходного дифференциального уравнения в стандартную форму: \[ <y» — 2xy’ + 2y = + 1,>\;\; <\Rightarrow y'' - \frac<2>y’ + \frac<2><<>>y = 1 + \frac<1><<>>.> \] Решая данную систему уравнений, находим производные \(\left( x \right),\) \(\left( x \right)\) и затем сами функции \(\left( x \right)\) и \(\left( x \right).\) Имеем \[ <= \frac<1> + \frac<1><<>>,>\;\; <= — 1 — \frac<1><<>>,>\;\; <\Rightarrow = \ln x — \frac<1><<2>> + ,>\;\; <= — x + \frac<1> + ,> \] где \(,\) − постоянные интегрирования.

В результате получаем общее решение неоднородного уравнения в виде \[ \left( x \right) + \left( x \right)x > = <\left( <\ln x - \frac<1><<2>> + > \right) + \left( < - x + \frac<1> + > \right)x > = < + x + \left( <\ln x - 1>\right) + \frac<1><2>.> \]

Теперь, используя метод вариации постоянных, найдем общее решение неоднородного уравнения, которое в стандартном виде записывается как \[y» — \frac<> <\right)>> + \frac<<\left( <\ln x - 1>\right)>> = \frac<<\ln x - 1>>.\] Полагая, что \[y\left( x \right) = \left( x \right)\ln x + \left( x \right)x,\] найдем функции \(\left( x \right)\) и \(\left( x \right)\) из системы уравнений \[ <\left\< \begin \ln x + x = 0\\ <\left( <\ln x>\right)^\prime > + <\left( x \right)^\prime >= \frac<<\ln x - 1>> \end \right.,>\;\; <\Rightarrow \left\< \begin \ln x + x = 0\\ \frac<<>> + = \frac<<\ln x - 1>> \end \right..> \] Умножим второе уравнение на \(x\) и вычтем из него первое уравнение: \[ <\left\< \begin \ln x + x = 0\\ + x = \ln x — 1 \end \right.,>\;\; <\Rightarrow \left( <1 - \ln x>\right) = \ln x — 1,>\;\; <\Rightarrow = — 1.> \] Далее, подставляя \(,\) например, в первое уравнение, находим \(:\) \[ <- \ln x + x = 0,>\;\; <\Rightarrow = \frac<<\ln x>>.> \] Интегрируя, получаем: \[ <= \int <\left( < - 1>\right)dx> = — x + ,>\;\; <= \int <\frac<<\ln x>>dx> > = <\int <\ln x\,d\left( <\ln x>\right)> > = <\frac<<<<\ln >^2>x>> <2>+ ,> \] где \(,\) − постоянные интегрирования.

Итак, общее решение исходного неоднородного уравнения имеет вид: \[ \left( x \right)\ln x + \left( x \right)x > = <\left( < - x + > \right)\ln x + \left( <\frac<<<<\ln >^2>x>> <2>+ > \right)x > = <\ln x + x + \frac<2>\ln x\left( <\ln x - 2>\right).> \]

Источник