Способ узнать простое число

Проверка числа на простоту

Простых чисел бесконечное множество. В интернете в свободном доступе можно найти таблицы простых чисел до 21 000 000. Существующие методы проверки чисел на простоту очень сложны, не универсальны, поэтому мной разработан еще один способ проверки числа на простоту для чисел больше 10.

Простое число – целое положительное число, которое имеет два различных натуральных делителя: единицу и самого себя, то есть, если число можно разложить на множители значит оно не простое – а составное.

Пусть А – натуральное число, тогда

где Х и Y – натуральные числа.

Мы знаем, что простые числа не четные, и все числа, заканчивающиеся на 5 и 0 кратны пяти, значит, простые числа всегда заканчиваются на 1, 3, 7, 9. Выберем из таблицы умножения примеры, в которых последняя цифра произведения равна 1 или 3 или 7 или 9 (смотрим рисунок).

Получаем, что бы последняя цифра числа А была равна 1 – последние цифры чисел Х и Y должны быть 1 и 1 (1х1=1) или 3 и 7 (3х7=21) или 9 и 9 (9х9=81).

Что бы последняя цифра числа А была равна 3 – последние цифры чисел Х и Y должны быть равны 1 и 3 (1х3=3) или 7 и 9 (7х9=63).

Что бы последняя цифра числа А была равна 7 – последние цифры чисел Х и Y должны быть равны 1 и 7 (1х7=7) или 3 и 9 (3х9=27).

Что бы последняя цифра числа А была равна 9 – последние цифры числе Х и Y должны быть равны 1 и 9 (1х9=9) или 3 и 3 (3х3=9) или 7 и 7 (7х7=49).

Рассмотрим каждую пару последних цифр для Х и Y по отдельности.

Для пары 1 и 1. Пусть Х =х1, где 1 – последняя цифра числа Х, а х – оставшаяся цифровая часть числа Х без последнего числа. Аналогично Y=y1, где 1 — последняя цифра числа Y, а y – оставшаяся цифровая часть числа Y. Тогда . Произведем умножение в столбик.

Получаем, 100*x*y+10*(x+y)+1=A , откуда

Мы получили уравнение с двумя переменными при известном А. Решений данного уравнения множество, но при условии, что х и у – натуральные, количество решений конечно, или вообще их нет в целочисленном выражении. Получается, если решений нет в натуральных числах, то А является простым числом.

Для остальных пар выполняем аналогичные действия и получаем:

Решение полученных уравнений при больших А – задача трудоемкая, поэтому была написана программа для определения простоты числа согласно нашим уравнениям.

Код написан на Visual Basic.

Данный макрос, написанный на Visual Basic, имеет ряд недостатков. Он ограничен вычислительными возможностями excel и при больших числах более 400млн для предположительно простых чисел выдает ошибку о переполнении. Но, для составных чисел, так как алгоритм после нахождения одного из возможных множителей дальше не считает, макрос считает большие числа. Время расчета в VB составляет 1-5 секунд. Так как расчетные уравнения рассчитаны для чисел больших 10, то простота чисел из первого десятка просто добавлена в макрос.

Таким образом, получен математический способ проверки числа на простоту и написан программный код в Visual Basic для его реализации. Но так как вычислительные возможности в Visual Basic ограничены, для проверки простоты больших чисел требуется написание программы на других языках программирования.

Источник

Еще раз о поиске простых чисел

В заметке обсуждаются алгоритмы решета для поиска простых чисел. Мы подробно рассмотрим классическое решето Эратосфена, особенности его реализации на популярных языках программирования, параллелизацию и оптимизацию, а затем опишем более современное и быстрое решето Аткина. Если материал о решете Эратосфена предназначен в первую очередь уберечь новичков от регулярного хождения по граблям, то алгоритм решета Аткина ранее на Хабрахабре не описывался.

На снимке — скульптура абстрактного экспрессиониста Марка Ди Суверо «Решето Эратосфена», установленная в кампусе Стэнфорского университета

Введение

Напомним, что число называется простым, если оно имеет ровно два различных делителя: единицу и самого себя. Числа, имеющие большее число делителей, называются составными. Таким образом, если мы умеем раскладывать числа на множители, то мы умеем и проверять числа на простоту. Например, как-то так:
(Здесь и далее, если не оговорено иное, приводится JavaScript-подобный псевдокод)
Время работы такого теста, очевидно, есть O(n ½ ), т. е. растет экспоненциально относительно битовой длины n. Этот тест называется проверкой перебором делителей.

Довольно неожиданно, что существует ряд способов проверить простоту числа, не находя его делителей. Если полиномиальный алгоритм разложения на множители пока остается недостижимой мечтой (на чем и основана стойкость шифрования RSA), то разработанный в 2004 году тест на простоту AKS [1] отрабатывает за полиномиальное время. С различными эффективными тестами на простоту можно ознакомиться по [2].

Если теперь нам нужно найти все простые на достаточно широком интервале, то первым побуждением, наверное, будет протестировать каждое число из интервала индивидуально. К счастью, если у нас достаточно памяти, можно использовать более быстрые (и простые) алгоритмы решета. В этой статье мы обсудим два из них: классическое решето Эратосфена, известное еще древним грекам, и решето Аткина, наиболее совершенный современный алгоритм этого семейства.

Решето Эратосфена

Древнегреческий математик Эратосфен предложил следующий алгоритм для нахождения всех простых, не превосходящих данного числа n. Возьмем массив S длины n и заполним его единицами (пометим как невычеркнутые). Теперь будем последовательно просматривать элементы S[k], начиная с k = 2. Если S[k] = 1, то заполним нулями (вычеркнем или высеем) все последующие ячейки, номера которых кратны k. В результате получим массив, в котором ячейки содержат 1 тогда и только тогда, когда номер ячейки — простое число.

Много времени можно сэкономить, если заметить, что, поскольку у составного числа, меньшего n, по крайней мере один из делителей не превосходит , процесс высевания достаточно закончить на . Вот анимация решета Эратосфена, взятая с Википедии:

Еще немного операций можно сэкономить, если — по той же причине — начинать вычеркивать кратные k, начиная не с 2k, а с номера k 2 .

Реализация примет следующий вид:

Эффективность решета Эратосфена вызвана крайней простотой внутреннего цикла: он не содержит условных переходов, а также «тяжелых» операций вроде деления и умножения.

Оценим сложность алгоритма. Первое вычеркивание требует n/2 действий, второе — n/3, третье — n/5 и т. д. По формуле Мертенса

так что для решета Эратосфена потребуется O(n log log n) операций. Потребление памяти же составит O(n).

Оптимизация и параллелизация

Первую оптимизацию решета предложил сам Эратосфен: раз из всех четных чисел простым является только 2, то давайте сэкономим половину памяти и времени и будем выписывать и высеивать только нечетные числа. Реализация такой модификации алгоритма потребует лишь косметических изменений (код).

Более развитая оптимизация (т. н. wheel factorization) опирается на то, что все простые, кроме 2, 3 и 5, лежат в одной из восьми следующих арифметических прогрессий: 30k+1, 30k+7, 30k+11, 30k+13, 30k+17, 30k+19, 30k+23 и 30k+29. Чтобы найти все простые числа до n, вычислим предварительно (опять же при помощи решета) все простые до . Теперь составим восемь решет, в каждое из которых будут входить элементы соответствующей арифметической прогрессии, меньшие n, и высеем каждое из них в отдельном потоке. Все, можно пожинать плоды: мы не только понизили потребление памяти и нагрузку на процессор (в четыре раза по сравнению с базовым алгоритмом), но и распараллелили работу алгоритма.

Наращивая шаг прогрессии и количество решет (например, при шаге прогрессии 210 нам понадобится 48 решет, что сэкономит еще 4% ресурсов) параллельно росту n, удается увеличить скорость алгоритма в log log n раз.

Сегментация

Что же делать, если, несмотря на все наши ухищрения, оперативной памяти не хватает и алгоритм безбожно «свопится»? Можно заменить одно большое решето на последовательность маленьких ситечек и высевать каждое в отдельности. Как и выше, нам придется предварительно подготовить список простых до , что займет O(n ½-ε ) дополнительной памяти. Простые же, найденные в процессе высевание ситечек, нам хранить не нужно — будем сразу отдавать их в выходной поток.

Не надо делать ситечки слишком маленькими, меньше тех же O(n ½-ε ) элементов. Так вы ничего не выиграете в асимптотике потребления памяти, но из-за накладных расходов начнете все сильнее терять в производительности.

Решето Эратосфена и однострочники

На Хабрахабре ранее публиковалась большая подборка алгоритмов Эратосфена в одну строчку на разных языках программирования (однострочники №10). Интересно, что все они на самом деле решетом Эратосфена не являются и реализуют намного более медленные алгоритмы.

Дело в том, что фильтрация множества по условию (например, на Ruby) или использование генераторных списков aka list comprehensions (например, на Haskell) вызывают как раз то, избежать чего призван алгоритм решета, а именно поэлементную проверку делимости. В результате сложность алгоритма возрастает по крайней мере до (это число фильтраций), умноженного на (минимальное число элементов фильтруемого множества), где — число простых, не превосходящих n, т. е. до O(n 3/2-ε ) действий.

Однострочник на Scala ближе к алгоритму Эратосфена тем, что избегает проверки на делимость. Однако сложность построения разности множеств пропорциональна размеру большего из них, так что в результате получаются те же O(n 3/2-ε ) операций.

Вообще решето Эратосфена тяжело эффективно реализовать в рамках функциональной парадигмы неизменяемых переменных. В случае, если функциональный язык (например, OСaml) позволяет, стоит нарушить нормы и завести изменяемый массив. В [3] обсуждается, как грамотно реализовать решето Эратосфена на Haskell при помощи техники ленивых вычеркиваний.

Решето Эратосфена и PHP

Запишем алгоритм Эратосфена на PHP. Получится примерно следующее:

Вторая проблема: массивы в PHP ужасны по накладным расходам памяти. У меня на 64-битной системе каждый элемент $S из кода выше съедает по 128 байт. Как обсуждалось выше, необязательно держать сразу все решето в памяти, можно обрабатывать его порционно, но все равно такие расходы дóлжно признать недопустимыми.

Для решения этих проблем достаточно выбрать более подходящий тип данных — строку!

Теперь каждый элемент занимает ровно 1 байт, а время работы уменьшилось примерно втрое. Скрипт для измерения скорости.

Решето Аткина

В 1999 году Аткин и Бернштейн предложили новый метод высеивания составных чисел, получивший название решета Аткина. Он основан на следующей теореме.

Теорема. Пусть n — натуральное число, которое не делится ни на какой полный квадрат. Тогда

1. если n представимо в виде 4k+1, то оно просто тогда и только тогда, когда число натуральных решений уравнения 4x 2 +y 2 = n нечетно.
2. если n представимо в виде 6k+1, то оно просто тогда и только тогда, когда число натуральных решений уравнения 3x 2 +y 2 = n нечетно.
3. если n представимо в виде 12k-1, то оно просто тогда и только тогда, когда число натуральных решений уравнения 3x 2 −y 2 = n, для которых x >y, нечетно.

C доказательством можно ознакомиться в [4].

Из элементарной теории чисел следует, что все простые, большие 3, имеют вид 12k+1 (случай 1), 12k+5 (снова 1), 12k+7 (случай 2) или 12k+11 (случай 3).

Для инициализации алгоритма заполним решето S нулями. Теперь для каждой пары (x, y), где , инкрементируем значения в ячейках S[4x 2 +y 2 ], S[3x 2 +y 2 ], а также, если x > y, то и в S[3x 2 −y 2 ]. В конце вычислений номера ячеек вида 6k±1, содержащие нечетные числа, — это или простые, или делятся на квадраты простых.

В качестве заключительного этапа пройдемся по предположительно простым номерам последовательно и вычеркнем кратные их квадратам.

Из описания видно, что сложность решета Аткина пропорциональна n, а не n log log n как у алгоритма Эратосфена.

Авторская, оптимизированная реализация на Си представлена в виде primegen, упрощенная версия — в Википедии. На Хабрахабре публиковалось решето Аткина на C#.

Как и в решете Эратосфена, при помощи wheel factorization и сегментации, можно снизить асимптотическую сложность в log log n раз, а потребление памяти — до O(n ½+o(1) ).

О логарифме логарифма

На самом деле множитель log log n растет крайне. медленно. Например, log log 10 10000 ≈ 10. Поэтому с практической точки зрения его можно полагать константой, а сложность алгоритма Эратосфена — линейной. Если только поиск простых не является ключевой функцией в вашем проекте, можно использовать базовый вариант решета Эратосфена (разве что сэкономьте на четных числах) и не комплексовать по этому поводу. Однако при поиске простых на больших интервалах (от 2 32 ) игра стоит свеч, оптимизации и решето Аткина могут ощутимо повысить производительность.

P. S. В комментариях напомнили про решето Сундарама. К сожалению, оно является лишь математической диковинкой и всегда уступает либо решетам Эратосфена и Аткина, либо проверке перебором делителей.

Источник