Правило умножения при решении комбинаторных задач
учебно-методический материал по математике (6 класс) на тему
Умножение пр решении комбинаторных задач
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| m-6_reshenie_kombinatornyh_zadach.docx | 38.52 КБ |
Предварительный просмотр:
Решение комбинаторных задач.
Задача 1. Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трех горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов – белого, синего, красного. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны – свой флаг?
В 5-м классе для решения такой задачи использовали построение «дерева» возможных вариантов.
Построим «дерево» вариантов и ответим на вопрос задачи.
Используя дерево возможных вариантов, мы можем подсчитать, сколько стран могут использовать такую символику.
Таким образом, получилось 6 комбинаций. Значит, указанную символику при выборе государственного флага могут использовать 6 стран.
Вопрос на который вы должны знать ответ: какой из представленных на рисунке флагов является Государственным флагом России?
Белый цвет означает мир, чистоту, совершенство; синий – цвет веры и верности; красный – энергию, силу, кровь, пролитую за Отечество.
- Задача 2: Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4?
«Дерево» вариантов имеет много «веток». Так как вариантов много, то можно легко допустить ошибку в подсчете всевозможных способов.
Подсчитаем количество данных двузначных чисел, используя логические рассуждения и здравый смысл.
- У интересующих нас двузначных чисел на первом месте (цифра десятков) может находиться любая из заданных цифр кроме цифры 0. Не существует двузначного числа, начинающегося с цифры 0.
Значит, цифрой десятков может служить одна из цифр 1, 2, 3 или 4. Поэтому в первой группе только 4 «ветви».
- Для цифры единиц для каждого из этих случаев возможны пять вариантов – 0, 1, 2, 3, 4.
Всего получаем 4•5 = 20 вариантов.
Про такой способ рассуждений обычно говорят так: мы использовали правило умножения.
Если первый элемент в комбинации можно выбрать a способами, после чего второй элемент – b способами, то общее число комбинаций из двух элементов можно будет выбрать a •b способами.
Устные задачи на применение правила умножения.
- У Насти 3 брюк и 5 блузок, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды она может составить? (3∙5=15)
- В 6-м классе в пятницу 6 уроков: математика, русский язык, информатика, физкультура, биология и музыка. Сколько можно составить вариантов расписания в субботу? (6∙5∙4∙3∙2∙1=720).
3. Выполнение заданий.
В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать: а) при условии, что пару дежурных обязательно должны составить мальчик и девочка, б) без указанного условия?
А) Для выбора девочки в качестве дежурного есть 15 вариантов. Если девочка дежурной назначена, то имеется 13 вариантов выбора мальчика в качестве второго дежурного.
Всего: 15*13= 195 способов.
Ответ : 195 способов.
Б) Для выбора первого дежурного имеется 28 способов. Для каждого из них существует 27 способов выбора второго дежурного.
Всего 28*27 = 756 способов.
Но среди этих 756 пар есть одинаковые пары. Для простоты рассуждений перенумеруем учеников (в списке каждому ученику присваивается номер). Тогда ясно, что например, пара «ученик №1, ученик №2» и пара «ученик №2 , ученик №1» это одна и та же пара. Таким образом, мы каждую пару посчитали дважды. Значит, полученный результат надо уменьшить вдвое: 756:2= 378
Ответ : 378 способов.
В данной задаче использовали правило деления: если при подсчете искомых комбинаций каждую из них подсчитали т раз, то нужно поделить найденное количество комбинаций на m.
Сравнение способов решения комбинаторных задач.
«Дерево» возможных вариантов
Можно увидеть все варианты
Громоздкий способ, если много вариантов
Правило умножения, правило деления
Быстрота решения, компактность
Невозможно увидеть все варианты, можно только подсчитать их количество
Для каждой конкретной задачи выбираете удобный способ решения!
В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить группу из трех человек для посещения заболевшего ученика этого класса. Сколькими способами это можно сделать, если
а) все члены этой группы – девочки
б) все члены этой группы – мальчики;
в) в группе 1 девочка и 2 мальчика;
г) в группе 2 девочки и 1 мальчик?
а) 455 способов;
б) 220 способов;
в) 990 способов;
г) 1260 способов.
В списке 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить группу из трех человек для посещения заболевшей ученицы этого класса. Сколькими способами это можно сделать, если:
а) все члены группы – девочки;
б) все члены группы – мальчики;
в) в группе 1 девочка и 2 мальчика;
г) в группе 2 девочки и 1 мальчик?
а) 14∙13∙12=2184, 2184 : 6=364.
Ответ: 364 способа.
б) 13∙12∙11=1716, 1716:6=286.
Ответ: 286 способов.
в) (13∙12):2=78, 78∙14=1092.
Ответ: 1092способа.
г) ((14∙13):2) ∙13=1183.
Ответ: 1183 способа.
В двух урнах имеется по семь шаров, в каждой – семи различных цветов: красного, оранжевого, желтого, зеленого, голубого, синего, фиолетового. Из каждой урны одновременно вынимается по одному шару.
а) Сколько существует комбинаций, при которых вынутые шары одного цвета?
Ответ : 7.
б) Сколько возможно комбинаций, при которых вытянутые шары разных цветов?
Ответ : 21 комбинация.
в) Сколько всего существует различных комбинаций вынутых шаров (комбинации типа «белый – красный» и «красный – белый» считаются одинаковыми?
Ответ : 28 комбинаций.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Данную презентацию составил ученик 9 класса для проверки домашнего задания по изучаемой теме. Тексты задач взяты из сборника для подготовки к ГИА «Математика 9 класс» под редакцией Ф.Ф.Лысенко и С.Ю. .
Данная презентация содержит задачи на применение знаний по теории вероятности. Будет полезна для работы с учащимися 9 классов.
Электронный образовательный ресурс «Решение комбинаторных задач с помощью графов» предназначен для обучающихся 5 — 6 классов. Он может быть использован как пособие для дистанционного обучения по этой .
Подборка задач для уроков по комбинаторике.
В примерной программе основного общего образования отмечено, что блок «Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей» становится обязательным компонентом школьного образования, усил.
Данная презентация может использоваться учителем при изложении нового материала по теме «Решение комбинаторных задач».
Тема «Решение комбинаторных задач с помощью правила умножения» лежит в разделе «Вероятность и статистика» — обязательный компонент школьного образования, усиливающий его прикладное и практическое знач.
Источник
Урок по теме «Правило умножения для комбинаторных задач». 6-й класс
Разделы: Математика
Класс: 6
- создать условия для формирования умения решать простейшие комбинаторные задачи, используя правило умножения для комбинаторных задач;
- создать условия для формирования коммуникативных умений через включение учащихся в групповую работу;
- создание условий для привития интереса к математике как элементу общечеловеческой культуры;
- создание условий для формирования творческой активности учащихся;
Образовательные: К концу урока учащиеся должны:
- Иметь представление о переборе всех возможных вариантов, о простейших комбинаторных задачах, о дереве возможных вариантов, о правиле умножения;
- Уметь решать простейшие комбинаторные задачи, используя правило умножения и правило деления для комбинаторных задач;
- Знать о переборе всех возможных вариантов, о комбинаторных задачах, о дереве возможных вариантов, о правиле умножения.
- формированию познавательного интереса к предмету;
- воспитанию чувства патриотизма.
- развитию речи; творческого мышления;
- развитию умения излагать информацию, интерпретируя факты, разъясняя значение и смысл теории.
I. Актуализация знаний
Слово учителя: В нашей повседневной жизни мы часто встречаемся с ситуациями, когда нам приходится подсчитывать возможные варианты тех или иных событий.
В пятом классе мы с вами уже познакомились с достоверными, невозможными и случайными событиями. Познакомились с простейшими комбинаторными задачами, т.е. задачами в которых приходилось осуществлять перебор всех возможных вариантов, или как говорят в таких случаях, всех возможных комбинаций. Слово «комбинаторика» происходит от латинского combino – соединяю. Давайте вспомним основные теоретические положения:
- Какие задачи называются комбинаторными? (задачи в которых осуществляют перебор всех возможных вариантов);
- Как называется раздел математики, занимающийся поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую? (комбинаторика);
- Может ли комбинаторика помочь в реальной жизни?
- Как часто вы комбинируете в реальной жизни?
- Каким способом вы умеете решать комбинаторные задачи?
(«дерево» вариантов); - В чем заключается метод решения задач по «дереву » вариантов?
II. Изучение нового материала
Давайте вспомним один из способов решения комбинаторных задач.
Задача. Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трех горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов – белого, синего, красного. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны – свой флаг?
Какой способ вы использовали в 5-м классе для решения такой задачи?
(построение «дерева» возможных вариантов).
Построим «дерево» вариантов и ответим на вопрос задачи. (Учащиеся работают в группах, затем правильность выполнения работы проверяется на слайде 1)
Используя дерево возможных вариантов, мы можем подсчитать, сколько стран могут использовать такую символику.
Таким образом, получилось 6 комбинаций. Значит, указанную символику при выборе государственного флага могут использовать 6 стран.
Вопрос на который вы должны знать ответ: какой из представленных на рисунке флагов является Государственным флагом России? (Российский флаг «триколор» выделен на этой схеме).
Что означает каждый цвет флага? Белый цвет означает мир, чистоту, совершенство; синий – цвет веры и верности; красный – энергию, силу, кровь, пролитую за Отечество.
«Дерево» вариантов можно считать геометрической моделью рассматриваемой ситуации.
Рассмотрим вторую задачу: Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4?
(Учащиеся работают в группах несколько минут).
Слово учителя: С какой проблемой вы столкнулись?
Предполагаемый ответ учащихся. «Дерево» вариантов имеет много «веток». Так как вариантов много, то можно легко допустить ошибку в подсчете всевозможных способов.
Слово учителя: Давайте ребята попробуем обойтись без «дерева» вариантов, и, используя логические рассуждения и здравый смысл подсчитать количество данных двузначных чисел.
- Какая цифра у интересующих нас двузначных чисел на первом месте (цифра десятков) может находиться?
Ответ: Любая из заданных цифр кроме цифры 0. Не существует двузначного числа, начинающегося с цифры 0.
Слово учителя: Значит, цифрой десятков может служить одна из цифр 1, 2, 3 или 4. Поэтому в первой группе только 4 «ветви».
- Сколько вариантов для цифры единиц возможно для каждого из этих случаев?
Ответ: Возможны пять вариантов – 0, 1, 2, 3, 4.
Всего получаем 4•5 = 20 вариантов.
Про такой способ рассуждений обычно говорят так: мы использовали правило умножения.
Слово учителя: Сформулируем правило умножения.
Если первый элемент в комбинации можно выбрать a способами, после чего второй элемент – b способами, то общее число комбинаций из двух элементов будет a •b.
Слово учителя: Рассмотрим несколько устных задач на применение правила умножения.
У Насти 3 брюк и 5 блузок, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды она может составить? (3*5=15)
В 5-м классе в субботу 4 урока: математика, русский язык, информатика и музыка. Сколько можно составить вариантов расписания в субботу? (4*3*2*1=24).
III. Выполнение упражнений
В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать: а) при условии, что пару дежурных обязательно должны составить мальчик и девочка, б) без указанного условия?
А) Для выбора девочки в качестве дежурного есть 15 вариантов. Если девочка дежурной назначена, то имеется 13 вариантов выбора мальчика в качестве второго дежурного.
Всего: 15*13= 195 способов.
Ответ: 195 способов.
Б) Для выбора первого дежурного имеется 28 способов. Для каждого из них существует 27 способов выбора второго дежурного.
Всего 28*27 = 756 способов.
Но среди этих 756 пар есть одинаковые пары. Для простоты рассуждений перенумеруем учеников (в списке каждому ученику присваивается номер). Тогда ясно, что например, пара «ученик №1, ученик №2» и пара «ученик №2 , ученик №1» это одна и та же пара. Таким образом, мы каждую пару посчитали дважды. Значит, полученный результат надо уменьшить вдвое: 756:2= 378
Ответ: 378 способов.
В данной задаче мы использовали с вами правило деления. Давайте его сформулируем: если при подсчете искомых комбинаций мы каждую из них подсчитали т раз, то нужно поделить найденное количество комбинаций на m.
Слово учителя: итак, сегодня, вы познакомились еще с одним способом решения комбинаторных задач: использование правила умножения и правила деления для подсчета возможных вариантов.
Давайте сравним известные вам способы решения комбинаторных задач.
| Способ решения | «плюсы» | «минусы» |
| «дерево» возможных вариантов | Можно увидеть все варианты | Громоздкий способ, если много вариантов |
| Правило умножения, правило деления | Быстрота решения, компактность | Невозможно увидеть все варианты, можно только подсчитать их количество |
Поэтому для каждой конкретной задачи вы выбираете удобный способ решения.
№ 499 (работа в группах)
В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить группу из трех человек для посещения заболевшего ученика этого класса. Сколькими способами это можно сделать, если
а) все члены этой группы – девочки;
б) все члены этой группы – мальчики;
в) в группе 1 девочка и 2 мальчика;
г) в группе 2 девочки и 1 мальчик?
1 группа (а) – (455 способов);
2 группа (б) – (220 способов);
3 группа (в) – (990 способов);
4 группа (г) – (1260 способов).
Отчет групп о выполнение решения задач. Фронтальное обсуждение.
IV. Домашнее задание.
§16. правило умножения, правило деления для комбинаторных задач.
В списке 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить группу из трех человек для посещения заболевшей ученицы этого класса. Сколькими способами это можно сделать, если:
а) все члены группы – девочки;
б) все члены группы – мальчики;
в) в группе 1 девочка и 2 мальчика;
г) в группе 2 девочки и 1 мальчик?
а) 14*13*12=2184, 2184:6=364.
Ответ: 364 способа.
б) 13*12*11=1716, 1716:6=286.
Ответ: 286 способов.
в) (13*12):2=78, 78*14=1092.
Ответ: 1092способа.
г) ((14*13):2)*13=1183.
Ответ: 1183 способа.
В двух урнах имеется по семь шаров , в каждой – семи различных цветов: красного, оранжевого, желтого, зеленого, голубого, синего, фиолетового. Из каждой урны одновременно вынимается по одному шару.
а) Сколько существует комбинаций, при которых вынутые шары одного цвета?
Ответ: 7.
б) Сколько возможно комбинаций, при которых вытянутые шары разных цветов?
Ответ: 21 комбинация.
в) Сколько всего существует различных комбинаций вынутых шаров (комбинации типа «белый – красный» и «красный – белый» считаются одинаковыми?
Ответ: 28 комбинаций.
- Математика, 6 кл.: Учеб. Для общеобразоват. учреждений/ И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович. – 5-е изд. – М.: Мнемозина, 2008.– 264 с.: ил.
- Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы: лекции 1-4. Е.А.Бунимович, В.А. Булычев. – М.: Педагогический университет « Первое сентября», 2006. – 128с.
- Летний тематический номер./ Статистика, Вероятность, Комбинаторика. Математика, приложение к газете «Первое сентября», №14, 2009.
Источник
