Способ средство устранения статистической погрешности

Погрешности измерений и способы их устранения

Погрешность измерений или погрешность результата измерения Δ — это отклонение результата измерения X_i от истинного значения величины X_ист:

За истинное значение, которое точно неизвестно, принимается номинальный размер, среднее арифметическое ряда многократных измерений или величина, полученная более точными СИ.

Точность измерений характеризуется погрешностью измерений, которая должна стремиться к нулю.

По форме представления (нормирования) погрешности разделяются на абсолютные, относительные и приведенные.

По характеру изменения результата при повторных измерениях погрешности разделяются на систематические, случайные и промахи (грубые).

По причине возникновения погрешности разделяются на объективные и субъективные. Используя комплект измерительный К540 удается избежать больших погрешностей при измерении тока.

Основные составляющие суммарной систематической погрешности измерений:
— погрешности средств измерения (инструментальные);
— методические погрешности, обусловленные несовершенством метода измерения и построения математических зависимостей;
— погрешности установочных мер;
— погрешности, зависящие от измерительного усилия;
— температурные погрешности;
— субъективные погрешности;
— погрешность базирования.

Применяются четыре способа исключения систематических погрешностей:
1. Ликвидация источников погрешностей до начала измерения (профилактика измерений).
2. В процессе измерений (экспериментальное исключение).
3. По окончанию измерений путем добавления поправок (вычислением).
4. Перевод не исключенных систематических погрешностей в разряд случайных и выполнение многократных измерений.

После выполнения измерений в результат может быть введена поправка, равная известной систематической погрешности по величине, но обратная ей по знаку:

где X_д — действительное значение измеряемой величины, X_i — результат измерения, q — поправка.

Источник

Способы обнаружения и устранения систематических погрешностей

Лекция 7 СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ

Систематические погрешности и их классификация

Систематическая погрешность счи­тается специфической, «вырожденной» случайной величиной, об­ладающей некоторыми, но не всеми свойствами случайной величины, изучаемой в теории вероятностей и математической статистике. Свой­ства систематической погрешности, которые необходимо учитывать при объединении составляющих погрешности, отражаются такими же характеристиками, что и свойства «настоящих» случайных ве­личин – дисперсией (СКО) и коэффициентом взаимной корреля­ции.

Систематическая погрешность представляет собой определенную функцию влияющих факторов, состав которых зависит от физиче­ских, конструктивных и технологических особенностей СИ, усло­вий их применения, а также индивидуальных качеств наблюдате­ля. В метрологической практике при оценке систематических погрешностей должно учитываться влияние следующих основных факторов:

1. Объект измерения. Перед измерением он должен быть доста­точно хорошо изучен с целью корректного выбора его модели. Чем полнее модель соответствует исследуемому объекту, тем точнее мо­гут быть получены результаты измерения. Например, кривизна зем­ной поверхности может не учитываться при измерении площади сельскохозяйственных угодий, так как она не вносит ощутимой погрешности, однако при измерении площади океанов ею пренеб­регать уже нельзя.

2. Субъект измерения. Его вклад в погрешность измерения не­обходимо уменьшать путем подбора операторов высокой квалифи­кации и соблюдения требований эргономики при разработке СИ.

3. Метод и средство измерений. Чрезвычайно важен их правиль­ный выбор, который производится на основе априорной информации об объекте измерения. Чем больше априорной информации, тем точ­нее может быть проведено измерение. Основной вклад в систематиче­скую погрешность вносит, как правило, методическая погрешность.

4. Условия измерения. Обеспечение и стабилизация нормаль­ных условий являются необходимыми требованиями для миними­зации дополнительной погрешности, которая по своей природе, как правило, является систематической.

Систематические погрешности принято классифицировать по двум признакам. По характеру изменения во времениони делятся на постоянные и переменные.

Постоянныминазываются такие по­грешности измерения, которые остаются неизменными в течение всей серии измерений. Например, погрешность от того, что непра­вильно установлен ноль стрелочного электроизмерительного при­бора, погрешность от постоянного дополнительного веса на чашке весов и т.д.

Переменныминазываются погрешности, изменяющие­ся в процессе измерения. Они делятся на монотонно изменяющие­ся, периодические и изменяющиеся по сложному закону.

Если в процессе измерения систематическая погрешность монотонно воз­растает или убывает, ее называют монотонно изменяющейся. На­пример, она имеет место при постепенном разряде батареи, питаю­щей средство измерений. Периодическойназывается погрешность, значение которой является периодической функцией времени. При­мером может служить погрешность, обусловленная суточными ко­лебаниями напряжения силовой питающей сети, температуры ок­ружающей среды и др. Систематические погрешности могут изменяться и по более сложному закону, обусловленному какими-либо внешними причинами.

По причинам возникновенияпогрешности делятся на методиче­ские, инструментальные и личные (субъективные).

Способы обнаружения и устранения систематических погрешностей

Результаты наблюдений, полученные при наличии системати­ческой погрешности, называются неисправленными.При проведении измерений стараются в максимальной степени исключить или учесть влияние систематических погрешностей. Это может быть дос­тигнуто следующими путями:

• устранением источников погрешностей до начала измерений. В большинстве областей измерений известны главные источники систематических погрешностей и разработаны методы, исключаю­щие их возникновение или устраняющие их влияние на результат измерения. В связи с этим в практике измерений стараются устра­нить систематические погрешности не путем обработки экспери­ментальных данных, а применением СИ, реализующих соответст­вующие методы измерений;

• определением поправок и внесением их в результат измерения;

• оценкой границ неисключенных систематических погрешностей.

Постоянная систематическая погрешность не может быть най­дена методами совместной обработки результатов измерений. Од­нако она не искажает ни показатели точности измерений, характе­ризующие случайную погрешность, ни результат нахождения переменной составляющей систематической погрешности.

Дейст­вительно, результат одного измерения

где х_и – истинное значение измеряемой величины; Δ_i – i-я случай­ная погрешность; θ_i – i-я систематическая погрешность. После ус­реднения результатов многократных измерений получаем среднее арифметическое значение измеряемой величины

Если систематическая погрешность постоянна во всех измере­ниях, т.е. θ_i=θ , то

Таким образом, постоянная систематическая погрешность не уст­раняется при многократных измерениях.

Постоянные систематические погрешности могут быть обнару­жены лишь путем сравнения результатов измерений с другими, по­лученными с помощью более высокоточных методов и средств. Ино­гда эти погрешности могут быть устранены специальными приемами проведения процесса измерений. Эти методы рассмотрены ниже.

Наличие существенной переменной систематической погрешно­сти искажает оценки характеристик случайной погрешности и ап­проксимацию ее распределения. Поэтому она должна обязательно выявляться и исключаться из результатов измерений.

Для устранения постоянных систематических погрешностей при­меняют следующие методы:

• Метод замещения,представляющий собой разновидность ме­тода сравнения, когда сравнение осуществляется заменой измеряе­мой величины известной величиной, причем так, что при этом в состоянии и действии всех используемых средств измерений не про­исходит никаких изменений. Этот метод дает наиболее полное ре­шение задачи. Для его реализации необходимо иметь регулируе­мую меру, величина которой однородна измеряемой.

• Метод противопоставления, являющийся разновидностью метода сравнения, при котором измерение выполняется дважды и проводится так, чтобы в обоих случаях причина постоянной по­грешности оказывала разные, но известные по закономерности воздействия на результаты наблюдений. Например, способ взве­шивания Гаусса [3].

Пример 7.1. Измерить сопротивление с помощью одинарного моста ме­тодом противопоставления.

Сначала измеряемое сопротивление R_x уравновешивают известным со­противлением R₁ включенным в плечо сравнения моста. При этом R_х = R₁·R₃ /R₄, где R₃, R₄ – сопротивления плеч моста. Затем резисторы R_x и R₁ меняют местами и вновь уравновешивают мост, регулируя сопро­тивление резистора R₁. В этом случае R_x = R΄₁·R₃/R₄.

Из двух последних уравнений исключается отношение R₃/R₄. Тогда

• Метод компенсации погрешности по знаку (метод изменения знака систематической погрешности), предусматривающий измерение с двумя наблюдениями, выполняемыми так, чтобы постоян­ная систематическая погрешность входила в результат каждого из них с разными знаками.

Пример 7.2. Измерить ЭДС потенциометром постоянного тока, имею­щим паразитную термо–ЭДС.

При выполнении одного измерения получаем ЭДС Е₁ Затем меняем полярность измеряемой ЭДС и направление тока в потенциометре. Вновь проводим его уравновешивание – получаем значение Е₂. Если термо–ЭДС дает погрешность ΔЕ и Е₁=Е_x+ΔЕ, то Е₂=Е_x–ΔЕ. Отсюда Е_x = (Е ₁+ Е₂)/2. Сле­довательно, систематическая погрешность, обусловленная действием термо–ЭДС, устранена.

• Метод рандомизации– наиболее универсальный способ ис­ключения неизвестных постоянных систематических погрешностей. Суть его состоит в том, что одна и та же величина измеряется раз­личными методами (приборами). Систематические погрешности ка­ждого из них для всей совокупности являются разными случайны­ми величинами. Вследствие этого при увеличении числа используемых методов (приборов) систематические погрешности вза­имно компенсируются.

Для устранения переменных и монотонно изменяющихся сис­тематических погрешностей применяют следующие приемы и ме­тоды.

• Анализ знаков неисправленных случайных погрешностей. Ес­ли знаки неисправленных случайных погрешностей чередуются с какой-либо закономерностью, то наблюдается переменная система­тическая погрешность. Если последовательность знаков «+» у слу­чайных погрешностей сменяется последовательностью знаков «–» или наоборот, то присутствует монотонно изменяющаяся система­тическая погрешность. Если группы знаков «»+ и «–» у случайных погрешностей чередуются, то присутствует периодическая система­тическая погрешность.

• Графический метод. Он является одним из наиболее простых способов обнаружения переменной систематической погрешности в ряду результатов наблюдений и заключается в построении графика последовательности неисправленных значений результатов наблю­дений. На графике через построенные точки проводят плавную кри­вую, которая выражает тенденцию результата измерения, если она существует. Если тенденция не прослеживается, то переменную сис­тематическую погрешность считают практически отсутствующей.

• Метод симметричных наблюдений. Рассмотрим сущность этого метода на примере измерительного преобразователя, передаточная функция которого имеет вид у = kх + у₀, где х, у – входная и выходная величины преобразователя; k – коэффициент, погреш­ность которого изменяется во времени по линейному закону; у₀ – постоянная.

Для устранения систематической погрешности трижды измеря­ется выходная величина у через равные промежутки времени Δt. При первом и третьем измерениях на вход преобразователя подает­ся сигнал х₀ от образцовой меры. В результате измерений получа­ется система уравнений:

; ;

Ее решение позволяет получить значение х, свободное от пере­менной систематической погрешности, обусловленной изменением коэффициента k:

Специальные статистические методы. К ним относятся спо­соб последовательных разностей, дисперсионный анализ, и др. Рас­смотрим подробнее некоторые из них.

Способ последовательных разностей (критерий Аббе). При­меняется для обнаружения изменяющейся во времени системати­ческой погрешности и состоит в следующем. Дисперсию результа­тов наблюдений можно оценить двумя способами: обычным

и вычислением суммы квадратов последовательных (в порядке про­ведения измерений) разностей (х_i–1 – х_i) 2

Если в процессе измерений происходило смещение центра груп­пирования результатов наблюдений, т.е. имела место переменная систематическая погрешность, то σ 2 [x] дает преувеличенную оцен­ку дисперсии результатов наблюдений. Это объясняется тем, что на σ 2 [x] влияют вариации . В то же время изменения центра груп­пирования весьма мало сказываются на значениях последова­тельных разностей d_i = х_i+1 – х_i поэтому смещения почти не отра­зятся на значении Q 2 [x].

Отношение является критерием для обнаруже­ния систематических смещений центра группирования результа­тов наблюдений. Критическая область для этого критерия (крите­рия Аббе) определяется как Р(v 2 v_i 2 13,4 – – –0,6 0,36 13,3 –0,1 0,01 –0,7 0,49 14,5 +1,2 1,44 +0,5 0,25 13,8 –0,7 0,49 –0,2 0,04 14,5 +0,7 0,49 +0,5 0,25 14,6 +0,1 0,01 +0,6 0,36 14,1 –0,5 0,25 +0,1 0,01 14,3 +0,2 0,04 +0,3 0,09 14,0 +0,3 0,09 0,0 0,0 14,3 +0,3 0,09 +0,3 0,09 14,2 –1,1 1,21 –0,8 0,64 Σ154,0 –0,2 4,12 0,0 2,58

Для приведенного ряда результатов вычисляем: среднее арифмети­ческое = 154,0/11 = 14; оценку дисперсии σ 2 [х] = 2,58/10 = 0,258; зна­чение Q 2 [х] = 4,12/(2·10) = 0,206; критерий Аббе v = 0,206/0,258 = 0,8.

Как видно из табл. 7.1, для всех уровней значимости (q = 0,001; 0,01 и 0,05) при n = 11 имеем v >v_q, т.е. подтверждается нулевая гипотеза о постоянстве центра группирования. Следовательно, условия измерений для приведенного ряда оставались неизменными и систематических расхожде­ний между результатами наблюдений нет.

Дисперсионный анализ (критерий Фишера). В практике из­мерений часто бывает необходимо выяснить наличие систематиче­ской погрешности результатов наблюдений, обусловленной влияни­ем какого-либо постоянно действующего фактора, или определить, вызывают ли изменения этого фактора систематическое смещение результатов измерений. В данном случае проводят многократные измерения, состоящие из достаточного числа серий, каждая из кото­рых соответствует определенным (пусть неизвестным, но различным) значениям влияющего фактора. Влияющими факторами, по кото­рым производится объединение результатов наблюдений по сериям, могут быть внешние условия (температура, давление и т.д.), временная последовательность проведения измерений и т.п.

После проведения N измерений их разбивают на s серий (s>3) по n_j результатов наблюдений (sn_j = N) в каждой серии и затем уста­навливают, имеется или отсутствует систематическое расхождение между результатами наблюдений в различных сериях. При этом долж­но быть установлено, что результаты в сериях распределены нор­мально. Рассеяние результатов наблюдений в пределах каждой се­рии отражает только случайные влияния, характеризует лишь случайные погрешности измерений в пределах этой серии.

Характеристикой совокупности случайных внутрисерийных по­грешностей будет средняя сумма дисперсий результатов наблюде­ний, вычисленных раздельно для каждой серии, т.е.

,

где , x _ji – результат i-го измерения в j-й серии.

Внутрисерийная дисперсия , характеризует случайные по­грешности измерений, так как только случайные влияния обуслов­ливают те различия (отклонения результатов наблюдений), на ко­торых она основана. В то же время рассеяние различных серий обусловливается не только случайными погрешностями измерений, но и систематическими различиями (если они существуют) между результатами наблюдений, сгруппированными по сериям. Следова­тельно, усредненная межсерийная дисперсия

где – выражает силу действия фактора, вызывающего систематические различия между сериями.

Таким образом, характеризует долю дисперсии всех результатов наблюдений, обусловленную наличием случайных погрешностей измерений, а – долю дисперсии, обу­словленную межсерийными различиями результатов наблюдений.

Первую из них называют коэффициентом ошибки, вторую – пока­зателем дифференциации. Чем больше отношение показателя диф­ференциации к коэффициенту ошибки, тем сильнее действие фак­тора, по которому группировались серии, и тем больше систематическое различие между ними.

Критерием оценки наличия систематических погрешностей в данном случае является дисперсионный критерий Фишера . Критическая область для критерия Фишера соответ­ствует Р(F> F_q) = q.

Значения F_q для различных уровней значимости q, числа изме­рений N и числа серий s приведены в таблице в конце лекции, где k₂= N – s, k₁ = s – 1. Если полученное значение критерия Фишера больше F_q (при заданных q, N и s), то гипотеза об отсутствии систематических смещения результатов наблюдений по сериям отвергается, т.е. обна­руживается систематическая погрешность, вызываемая тем факто­ром, по которому группировались результаты наблюдений,

Пример 7.4. Было сделано 38 измерений диаметра детали восемью различ­ными штангенциркулями. Каждым из них проводились по пять измерений. Внутрисерийная дисперсия равна 0,054 мм 2 , межсерийная — 0,2052 мм 2 . Оп­ределить наличие систематической погрешности измерения диаметра детали.

Читайте также:  Простой способ пельменного теста

Расчетное значение критерия Фишера F = 0,2052/0,054 = 3,8. Для s –1 = 7, N – s = 30 по табл. П1.3 приложения 1 имеем при q = 0,05 F_0,05 = 2,3 и при q = 0,01 F_0,01 = 3,3. Полученное значение F больше, чем 2,2 и 2,9. Следовательно, в результатах наблюдений обнаруживается наличие систе­матических погрешностей.

Из всех рассмотренных способов обнаружения систематических погрешностей дисперсионный анализ является наиболее эффектив­ным и достоверным, так как позволяет не только установить факт наличия погрешности, но и дает возможность проанализировать источники ее возникновения.

Критерий Вилкоксона. Если закон распределения результатов измерений неизвестен, то для обнаружения систематической по­грешности применяют статистический критерий Вилкоксона.

Из двух групп результатов измерений x₁, х₂. х_n и у₁,у₂. у_m, где n m 5 составляется вариационный ряд, в котором все n+m значений х₁, х₂. х_n; у₁, у₂. у_m располагают в порядке их возрастания и приписывают им ранги – порядковые номера членов вариационного ряда. Различие средних значений каждого из рядов можно считать допустимым, если выполняется неравенство

где R_i – ранг (номер) члена x_i равный его номеру в вариационном ряду; и – нижнее и верхнее критические значения для вы­бранного уровня значимости q. При m 15 они рассчитываются по формулам:

где z_р – квантиль нор­мированной функции Лапласа.

Более полная табли­ца значений критиче­ских значений и приведена в реко­мендации МИ 2091-90 «ГСИ. Измерения физи­ческих величин. Общие требования».

Критические значения и при q = 0,05 и 0,01

n	m	q = 0,05	q = 0,01

7.3 Исключение систе­матических погрешно­стей путем введения по­правок.

В ряде случаев систематические погреш­ности могут быть вычис­лены и исключены из ре­зультата измерения. Для этого используются по­правки.

Поправка C_j – величина, одноименная измеряемой, которая вводится в результат измерения с целью исключе­ния составляющих систематической погрешности θ_j.

При – j-я составляющая систематической погрешности полностью уст­раняется из результата измерения.

Поправки определяются экс­периментально или в результате специальных теоретических ис­следований. Они задаются в виде таблиц, графиков или формул. Введением одной поправки устраняется влияние только одной составляющей систематической погрешности. Для устранения всех составляющих в результат измерения приходится вводить множе­ство поправок. При этом вследствие ограниченной точности опре­деления поправок случайные погрешности результата измерения накапливаются и его дисперсия увеличивается. Так как поправка известна с определенной точностью, то она характеризуется ста­тистически – средним значением поправки С и СКО S_С. При ис­правлении результата путем введения поправок С_j, где j = 1, 2. m, по формуле дисперсия исправленного результата

где S_н 2 – оценка дисперсии неисправленного результата; S 2 _cj – оценка дисперсии j-й поправки. Как видно, с одной стороны, уточ­няется результат измерения, а с другой – увеличивается разброс за счет роста дисперсии. Следовательно, необходимо найти опти­мум.

Пусть при измерении постоянной величины Q получено (рис.7.1) значение , где – оценка среднего арифме­тического неисправленного результата измерений; t_р – коэффи­циент Стьюдента.

После введения поправки С ± t_рS_с результат измерения

, где

Рисунок 7.1. Устранение систематической погрешности путем введения поправки.

Максимальные доверительные значения погрешности результа­та измерения до и после введения поправки равны соответственно

Поправку имеет смысл вводить до тех пор, пока Δ₁ 0,5 S_c 2 /S 2 • Из этого неравенства видно, что если оцен­ка среднего квадратического отклонения поправки S_c→0, то по­правку имеет смысл вводить всегда.

В практических расчетах погрешность результата обычно выра­жается не более чем двумя значащими цифрами, поэтому поправка, если она меньше пяти единиц младшего разряда, следующего за последним десятичным разрядом погрешности результата, все равно будет потеряна при округлении и вводить ее не имеет смыс­ла.

Пример 7.5. Напряжение источника ЭДС U_x с внутренним сопротивлением R_i = 60±10 Ом измерено вольтметром класса точности 0,5. Сопротив­ление вольтметра R_у = 5 кОм и известно с погрешностью ±0,5%. Показа­ние вольтметра U_v = 12,35 В. Найти поправку, которую нужно внести в показание прибора для определения действительного значения напряже­ния источника ЭДС.

Показания вольтметра соответствуют падению напряжения на нем:

Относительная систематическая методическая погрешность, обусловлен­ная ограниченным значением сопротивления R_у,

Поправка равна абсолютной погрешности, взятой с обратным знаком: Δ_c= 0,012–12,35 = 0,146В. Погрешность полученного значения поправки определяется погрешностью, с которой известно сопротивление R_j. Ее предельное значение составит 10/60 = 0,167. Погрешностью из-за неточно­сти оценки R_v, равной 0,005, можно пренебречь. Следовательно, погреш­ность определения поправки Δ = ±0,167-0,146 = 0,03 В.

Таким образом, поправка, которую необходимо ввести в показания вольтметра с учетом округления ΔU = +0,15 В. Тогда исправленное зна­чение = 12,35+0,15 = 12,50 В. Этот результат имеет определенную погрешность, в том числе не исключенный остаток систематической по­грешности Δ = ±0,03В или δ = ± 0,24% из-за потребления некоторой мощности вольтметром.

Источник