Быстрая сортировка
Быстрая сортировка представляет собой усовершенствованный метод сортировки, основанный на принципе обмена. Пузырьковая сортировка является самой неэффективной из всех алгоритмов прямой сортировки. Однако усовершенствованный алгоритм является лучшим из известных методом сортировки массивов. Он обладает столь блестящими характеристиками, что его изобретатель Ч. Хоар назвал его быстрой сортировкой.
Для достижения наибольшей эффективности желательно производить обмен элементов на больших расстояниях. В массиве выбирается некоторый элемент, называемый разрешающим . Затем он помещается в то место массива, где ему полагается быть после упорядочивания всех элементов. В процессе отыскания подходящего места для разрешающего элемента производятся перестановки элементов так, что слева от них находятся элементы, меньшие разрешающего, и справа — большие (предполагается, что массив сортируется по возрастанию).
Тем самым массив разбивается на две части:
- не отсортированные элементы слева от разрешающего элемента;
- не отсортированные элементы справа от разрешающего элемента.
Чтобы отсортировать эти два меньших подмассива, алгоритм рекурсивно вызывает сам себя.
Если требуется сортировать больше одного элемента, то нужно
- выбрать в массиве разрешающий элемент;
- переупорядочить массив, помещая элемент на его окончательное место;
- отсортировать рекурсивно элементы слева от разрешающего;
- отсортировать рекурсивно элементы справа от разрешающего.
Ключевым элементом быстрой сортировки является алгоритм переупорядочения .
Рассмотрим сортировку на примере массива:
10, 4, 2, 14, 67, 2, 11, 33, 1, 15.
Для реализации алгоритма переупорядочения используем указатель left на крайний левый элемент массива. Указатель движется вправо, пока элементы, на которые он показывает, остаются меньше разрешающего. Указатель right поставим на крайний правый элемент массива, и он движется влево, пока элементы, на которые он показывает, остаются больше разрешающего.
Пусть крайний левый элемент — разрешающий pivot . Установим указатель left на следующий за ним элемент; right — на последний. Алгоритм должен определить правильное положение элемента 10 и по ходу дела поменять местами неправильно расположенные элементы. 
Движение указателей останавливается, как только встречаются элементы, порядок расположения которых относительно разрешающего элемента неправильный.
Указатель left перемещается до тех пор, пока не покажет элемент больше 10; right движется, пока не покажет элемент меньше 10.
Эти элементы меняются местами и движение указателей возобновляется.
Процесс продолжается до тех пор, пока right не окажется слева от left .
Тем самым будет определено правильное место разрешающего элемента.
Осуществляется перестановка разрешающего элемента с элементом, на который указывает right . 
Разрешающий элемент находится в нужном месте: элементы слева от него имеют меньшие значения; справа — большие. Алгоритм рекурсивно вызывается для сортировки подмассивов слева от разрешающего и справа от него.
Реализация алгоритма быстрой сортировки на Си
Результат выполнения 
Источник
Быстрая сортировка.
Выбирая алгоритм сортировки для практических целей, программист, вполне вероятно, остановиться на методе, называемом «Быстрая сортировка» (также «qsort» от англ. quick sort). Его разработал в 1960 году английский ученый Чарльз Хоар, занимавшийся тогда в МГУ машинным переводом. Алгоритм, по принципу функционирования, входит в класс обменных сортировок (сортировка перемешиванием, пузырьковая сортировка и др.), выделяясь при этом высокой скоростью работы.
Отличительной особенностью быстрой сортировки является операция разбиения массива на две части относительно опорного элемента. Например, если последовательность требуется упорядочить по возрастанию, то в левую часть будут помещены все элементы, значения которых меньше значения опорного элемента, а в правую элементы, чьи значения больше или равны опорному.
Вне зависимости от того, какой элемент выбран в качестве опорного, массив будет отсортирован, но все же наиболее удачным считается ситуация, когда по обеим сторонам от опорного элемента оказывается примерно равное количество элементов. Если длина какой-то из получившихся в результате разбиения частей превышает один элемент, то для нее нужно рекурсивно выполнить упорядочивание, т. е. повторно запустить алгоритм на каждом из отрезков.
Таким образом, алгоритм быстрой сортировки включает в себя два основных этапа:
- разбиение массива относительно опорного элемента;
- рекурсивная сортировка каждой части массива.
Разбиение массива.
Еще раз об опорном элементе. Его выбор не влияет на результат, и поэтому может пасть на произвольный элемент. Тем не менее, как было замечено выше, наибольшая эффективность алгоритма достигается при выборе опорного элемента, делящего последовательность на равные или примерно равные части. Но, как правило, из-за нехватки информации не представляется возможности наверняка определить такой элемент, поэтому зачастую приходиться выбирать опорный элемент случайным образом.
В следующих пяти пунктах описана общая схема разбиения массива (сортировка по возрастанию):
- вводятся указатели first и last для обозначения начального и конечного элементов последовательности, а также опорный элемент mid;
- вычисляется значение опорного элемента (first+last)/2, и заноситься в переменную mid;
- указатель first смещается с шагом в 1 элемент к концу массива до тех пор, пока Mas[first]>mid. А указатель last смещается от конца массива к его началу, пока Mas[last] mid, следовательно firstостается равным 1. Далее, элементы правой части сравниваются с mid. Проверяется элемент с индексом 8 и значением 8. Mas[8]>mid, следовательно last смещается на одну позицию влево. Mas[7] mid, следовательно first остается равным 2. Далее, элементы правой части сравниваются с mid. Проверяется элемент с индексом 6 и значением 1: Mas[6] mid, следовательно last смещается на одну позицию влево. Теперь first=last=4, а значит, условие first 1», нужно действовать примерно по следующей схеме:
Имеется массив Mas[L..R], где L и R – индексы крайних элементов этого массива. По окончанию разбиения, указатели first и last оказались примерно в середине последовательности, тем самым образуя два отрезка: левый от L до last и правый от first до R. Выполнить рекурсивное упорядочивание левой части нужно в том случае, если выполняется условие L
Источник
Быстрая сортировка
Введение
Постановка задачи
Традиционно стоит начать изложение решений задачи с ее постановки. Обычно задача сортировки предполагает упорядочивание некоторого массива целых чисел по возрастанию. Но на самом деле, это является некоторым упрощением. Излагаемые в этом разделе алгоритмы можно применять для упорядочивания массива любых объектов, между которыми установлено отношение порядка (то есть про любые два элемента можно сказать: первый больше второго, второй больше первого или они равны). Упорядочивать можно как по возрастанию, так и по убыванию. Мы же воспользуемся стандартным упрощением.
Быстрая сортировка
В прошлый раз мы поговорили о чуть более сложной сортировке — сортировке вставками. Сегодня речь пойдет о существенно более сложном алгоритме — быстрой сортировке (еще ее называют сортировкой Хоара).
Описание алгоритма
Алгоритм быстрой сортировки является рекурсивным, поэтому для простоты процедура на вход будет принимать границы участка массива от l включительно и до r не включительно. Понятно, что для того, чтобы отсортировать весь массив, в качестве параметра l надо передать 0, а в качестве r — n, где по традиции n обозначает длину массива.
В основе алгоритма быстрой сортировке лежит процедура partition. Partition выбирает некоторый элемент массива и переставляет элементы участка массива таким образом, чтобы массив разбился на 2 части: левая часть содержит элементы, которые меньше этого элемента, а правая часть содержит элементы, которые больше или равны этого элемента. Такой разделяющий элемент называется пивотом.
Пивот в нашем случае выбирается случайным образом. Такой алгоритм называется рандомизированным. На самом деле пивот можно выбирать самым разным образом: либо брать случайный элемент, либо брать первый / последний элемент учаcтка, либо выбирать его каким-то «умным» образом. Выбор пивота является очень важным для итоговой сложности алгоритма сортировки, но об этом несколько позже. Сложность же процедуры partition — O(n), где n = r — l — длина участка.
Теперь используем partition для реализации сортировки:
Крайний случай — массив из одного элемента обладает свойством упорядоченности. Если массив длинный, то применяем partition и вызываем процедуру рекурсивно для двух половин массива.
Если прогнать написанную сортировку на примере массива 1 2 2, то можно заметить, что она никогда не закончится. Почему так получилось?
При написании partition мы сделали допущение — все элементы массива должны быть уникальны. В противном случае возвращаемое значение m будет равно l и рекурсия никогда не закончится, потому как sort(l, m) будет вызывать sort(l, l) и sort(l, m). Для решения данной проблемы надо массив разделять не на 2 части ( = pivot), а на 3 части ( pivot) и вызывать рекурсивно сортировку для 1-ой и 3-ей частей.
Анализ
Предлагаю проанализировать данный алгоритм.
Временная сложность алгоритма выражается через нее же по формуле: T(n) = n + T(a * n) + T((1 — a) * n). Таким образом, когда мы вызываем сортировку массива из n элементов, тратится порядка n операций на выполнение partition’а и на выполнения себя же 2 раза с параметрами a * n и (1 — a) * n, потому что пивот разделил элемент на доли.
В лучшем случае a = 1 / 2, то есть пивот каждый раз делит участок на две равные части. В таком случае: T(n) = n + 2 * T(n / 2) = n + 2 * (n / 2 + 2 * T(n / 4)) = n + n + 4 * T(n / 4) = n + n + 4 * (n / 4 + 2 * T(n / 8)) = n + n + n + 8 * T(n / 8) =…. Итого будет log(n) слагаемых, потому как слагаемые появляются до тех пор, пока аргумент не уменьшится до 1. В результате T(n) = O(n * log(n)).
В худшем случае a = 1 / n, то есть пивот отсекает ровно один элемент. В первой части массива находится 1 элемент, а во второй n — 1. То есть: T(n) =n + T(1) + T(n — 1) = n + O(1) + T(n — 1) = n + O(1) + (n — 1 + O(1) + T(n — 2)) = O(n^2). Квадрат возникает из-за того, что он фигурирует в формуле суммы арифметической прогрессии, которая появляется в процессе расписывания формулы.
В среднем в идеале надо считать математическое ожидание различных вариантов. Можно показать, что если пивот делит массив в отношении 1:9, то итоговая асимптотика будет все равно O(n * log(n)).
Сортировка называется быстрой, потому что константа, которая скрывается под знаком O на практике оказывается достаточно небольшой, что привело к широкому распространению алгоритма на практике.
Источник
О сортировках (пузырьковой, быстрой, расческой. )
Эта статья ориентирована в первую очередь на начинающих программистов. О сортировках вообще и об упомянутых в заголовке в интернете море статей, зачем нужно еще одна? Например, есть хорошая статья здесь, на хабре: Пузырьковая сортировка и все-все-все. Во-первых, хорошего много не бывает, во-вторых в этой статье я хочу ответь на вопросы «зачем, что, как, почему».Зачем нужны сортировки? В первую очередь, для поиска и представления данных. Некоторые задачи с неотсортированными данными решить очень трудно, а некоторые просто невозможно. Пример: орфографический словарь, в нем слова отсортированы по алфавиту. Если бы это было не так, то попробуйте найти в нем нужное слово. Телефонная книга, где абоненты отсортированы по алфавиту. Даже если сортировка не обязательна и не сильно нужна, все равно бывает удобнее работать с отсортированными данными.
Время сортировки 100001 элемента
Измерим время сортировки для массива, содержащего 100001 элемент на компьютере с процессором Intel i5 (3.3Ггц).Время указано в сек, через дробь указано количество проходов (для быстрой сортировки оно неизвестно).Как и ожидалось, шейкерная сортировка на проблемном массиве (который полностью упорядочен, только первый и последний элементы переставлены) абсолютный лидер. Она идеально «заточена» под эти данные. Но на случайных данных сортировки расческой и qsort не оставляют соперницам шанса. Пузырьковая сортировка на проблемном массиве показывает двукратное увеличение скорости по сравнению с случайным просто потому, что количество операций перестановки на порядки меньше.
| Сортировка | Простая | Пузырьковая | Шейкерная | Расчёской | Быстрая (qsort) |
|---|---|---|---|---|---|
| Стабильная | + | + | + | — | — |
| Случайный | 23.1/100000 | 29.1/99585 | 19.8/50074 | 0.020/49 | 0.055 |
| Проблемный | 11.5/100000 | 12.9/100000 | 0.002/3 | 0.015/48 | 0.035 |
| Обратный | 18.3/100000 | 21.1/100000 | 21.1/100001 | 0.026/48 | 0.037 |
А теперь вернемся к истокам, к пузырьковой сортировке и воочию посмотрим на процесс сортировки. Видите, как на первом проходе тяжелый элемент (50) переносится в конец?
Сравниваемые элементы показаны в зеленых рамках, а переставленные — в красных
Дополнение после публикации
Я ни коей мере не считаю qsort плохой или медленной — она достаточно быстра, функциональна и при возможности следует пользоваться именно ею. Да, ей приходится тратить время на вызов функции сравнения и она уступила «расческе», которая сравнивает «по месту». Это отставание несущественно (сравните с отставанием пузырька от qsort, которое будет увеличиваться при росте массива). Пусть теперь надо сравнивать не числа, а какую-то сложную структуру по определенному полю и пусть эта структура состоит из 1000 байтов. Поместим 100тыс элементов в массив (100мб — это кое-что) и вызовем qsort. Функция fcomp (функция-компаратор) сравнит нужные поля и в результате получится отсортированный массив. При этом при перестановке элементов qsort придется 3 раза копировать фрагменты по 1000 байтов. А теперь «маленькая хитрость» — создадим массив из 100тыс ссылок на исходные элементы и передадим в qsort начало этого массива ссылок. Поскольку ссылка занимает 4 байта (в 64 битных 8), а не 1000, то при обмене ссылок qsort надо поменять эти 4/8 байтов. Разумеется, нужно будет изменить fcomp, поскольку в качестве параметров она теперь получит не адреса элементов, а адреса адресов элементов (но это несложное изменение). Зато теперь можно сделать несколько функций сортировки (каждая сортирует по своему полю структуры). И даже, при необходимости, можно сделать несколько массивов ссылок. Вот сколько возможностей дает qsort!
Кстати: использование ссылок на объекты вместо самих объектов может быть полезно не только при вызове qsort, но и при применении таких контейнеров как vector, set или map.
Источник
