Главная » Разное

Способ сложения векторов по правилу треугольника

Содержание
  1. Сложение векторов
  2. Президентский ФМЛ №239
  3. Инструменты пользователя
  4. Инструменты сайта
  5. Содержание
  6. Линейные операции с векторами
  7. Правило треугольника
  8. Определение
  9. Теорема
  10. Доказательство
  11. Правило параллелограмма
  12. Доказательство
  13. Свойства сложения векторов
  14. Доказательство
  15. Правило цепочки
  16. Определение
  17. Сложение векторов
  18. Сложение и вычитание векторов
  19. Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника
  20. Разность векторов. Вычитание векторов
  21. Умножение вектора на число

Сложение векторов

Часть математических и физических задач содержит необходимость математических действий с векторами (сложение и вычитание).

Проиллюстрируем сложение. Пусть даны вектора и , попытаемся найти вектор .

Способ 1. Метод сложения треугольником

Возьмём необходимые вектора и параллельным переносом совместим конец первого вектора ( ) и начало второго ( ) (рис. 1)

Рис. 1. Сложение векторов (правило треугольника)

Тогда вектор, соединяющий начальную точку первого вектора ( ) и конец второго ( ), является вектором ( ).

Способ 2. Метод сложения параллелограммом

Возьмём необходимые вектора и параллельным переносом совместим начало первого вектора ( ) и начало второго ( ) (рис. 2). Параллельным переносом совместим конец каждого вектора с началом другого.

Рис. 2. Сложение векторов (правило параллелограмма)

Тогда вектор, соединяющий общую начальную точку первого ( ) и второго ( ) векторов и общий конец данных векторов, является вектором суммы ( ).

Вывод: в ряде задач, где присутствуют несколько однородных векторных физических величин, часто необходимо найти общий вектор (общую скорость, равнодействующую силу, полный вектор магнитной индукции или электрической напряжённости поля). Тогда необходимо сначала сложить вектора, а потом найти модуль получившегося вектора.Чаще всего первый метод используется в кинематике (сложение скоростей). Второй метод часто используют в динамике.

Источник

Президентский ФМЛ №239

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Содержание

Линейные операции с векторами

Правило треугольника

Вектор $\overrightarrow$ называется суммой векторов $\vec$ и $\vec$.

Определение

Суммой двух векторов называется вектор, полученный по правилу треугольника.

Теорема

Определение суммы векторов корректно, то есть сумма векторов не зависит от выбора точки $A$.

Читайте также:  Какие есть способы нарезки овощей

Доказательство

Так как $\overrightarrow=\overrightarrow$, то по теореме \ref <133>имеем $\overrightarrow=\overrightarrow$.

Аналогично из равенства $\overrightarrow=\overrightarrow$ следует, что $\overrightarrow=\overrightarrow$.

Но из этого равенства по той же теореме \ref <133>следует, что $\overrightarrow=\overrightarrow$.

Правило параллелограмма

Если $ABCD$ – параллелограмм, то $\overrightarrow+\overrightarrow=\overrightarrow$

Доказательство

Так как $ABCD$ – параллелограмм, то $\overrightarrow=\overrightarrow$. Следовательно, $\overrightarrow+\overrightarrow=\overrightarrow+\overrightarrow=\overrightarrow$.

Свойства сложения векторов

Доказательство

Первой свойство очевидно.

Докажем второе свойство.

Рассмотрим первый случай.

Отложим их от точки $A$: $\overrightarrow=a$ и $\overrightarrow=b$ – и построим на этих векторах параллелограмм $ABCD$ (рис. \ref a).

Рассмотрим второй случай.

Докажем, что $\overrightarrow=\overrightarrow$.

Вектора $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$ очевидно сонаправлены, кроме того их модули равны $|\vec|+|\vec|$.

Следовательно, эти вектора равны.

Пусть кроме того $|\vec|>|\vec|$.

Таким образом модули векторов $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$ равны, кроме того они сонаправлены, следовательно, $\overrightarrow=\overrightarrow$.

Докажем третий пункт теоремы.

Правило цепочки

При любом расположении точек $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n$ верно равенство $\overrightarrow+\overrightarrow+\ldots+\overrightarrowA_n>=\overrightarrow$

Определение

Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположны по направлению. Ноль-вектор считается противоположным самому себе (рис. \ref).

Источник

Сложение векторов

Сумма векторов

Свойства сложения векторов:

Для любых векторов

3) свойство прибавления нулевого вектора:

4) сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:

Достаточно сравнить координаты векторов, стоящих в левой и правой частях этих равенств:

Так как соответствующие координаты равны, то эти векторы равны.

(О сложении векторов)

Каковы бы ни были точки A, B, C, имеет место векторное равенство:

Что и требовалось доказать.

Читайте также:  100 способов как стать счастливее

Правило треугольника построения суммы двух векторов

Чтобы построить сумму двух векторов по правилу треугольника, надо от конца одного вектора отложить другой вектор и провести вектор от начала первого к концу второго вектора.

Например,

(то есть это правило следует из теоремы о сложении векторов).

Правило параллелограмма построения суммы двух векторов

Чтобы построить сумму двух векторов по правилу параллелограмма, надо отложить эти векторы от общего начала. Сумма векторов есть диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах и имеющая с ними общее начало.

Например,

Правило параллелограмма построения суммы векторов применяется лишь для неколлинеарных векторов.

При любом способе построения суммы неколлинеарных векторов получим одинаковый результат.

Построить сумму векторов

1) Чтобы построить сумму векторов по правилу треугольника, отложим от конца вектора

Сумма этих векторов равна вектору, проведённому от начала первого вектора (a) к концу второго (b).

2) Чтобы построить сумму векторов по правилу параллелограмма, отложим векторы

от общего начала.

Достроим на этих векторах параллелограмм.

Сумма

равна вектору, лежащему на диагонали параллелограмма и имеющему с ними общее начало.

1) Сумма двух сонаправленных коллинеарных векторов равна вектору, сонаправленному этим векторам, длина которого равна сумме длин данных векторов.

2) Сумма двух противоположно направленных векторов равна вектору, направление которого совпадает с направлением вектора, модуль которого больше, а длина равна разности этих векторов.

Фактически в обоих случаях мы используем правило треугольника сложения векторов:

от конца первого вектора откладываем вектор, равный второму, и строим сумму как вектор в направлении от начала первого вектора к концу второго.

Из неравенства треугольника следует ещё два свойства сложения векторов:

Источник

Сложение и вычитание векторов

Теорема 1 От любой точки \( K \) можно отложить вектор единственный \( \overrightarrow \) .

Читайте также:  Международное публичное право способы разрешения споров между участниками отношений

Существование: Имеем два следующих случая:

Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором \( \overrightarrow \) .

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Суммой нескольких векторов \( \vec \) , \( \vec \) , \( \vec,\;\ldots \) называется вектор \( \vec \) , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.

Такая операция выполняется по правилу многоугольника.

Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
\( \vec + \vec = \left( <+ , + , + > \right) \)

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

Для произвольного вектора \( \overrightarrow \) выполняется равенство

Для произвольных точек \( A,\ B\ и\ C \) справедливо следующее равенство

Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

Разность векторов. Вычитание векторов

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
\( \vec — \vec = \vec <0>\)

Длина нулевого вектора равна нулю:
\( \left| \vec <0>\right| = 0 \)

Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
\( \vec — \vec = \left( <— , — , — > \right) \)

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор \( \overrightarrow \) и действительное число \( k \) .

Определение Произведением вектора \( \overrightarrow \) на действительное число \( k \) называется вектор \( \overrightarrow \) удовлетворяющий следующим условиям:

Длина вектора \( \overrightarrow \) равна \( \left|\overrightarrow\right|=\left|k\right||\overrightarrow| \) ;

Векторы \( \overrightarrow \) и \( \overrightarrow \) сонаправлены, при \( k\ge 0 \) и противоположно направлены, если \( k\le 0 \)

Обозначение: \( \ \overrightarrow=k\overrightarrow \) .

Источник

Оцените статью
Разные способы
© 2024 Разные способы.
Внимание! Информация, опубликованная на сайте, носит исключительно ознакомительный характер и не является рекомендацией к применению.