Способ сложения чисел с разными знаками

Урок 34 Бесплатно Сложение чисел с разными знаками

В одном из прошлых уроков мы научились складывать и вычитать числа с помощью координатной прямой.

Сегодня же мы разберемся как складывать числа с разными знаками, не прибегая к координатной прямой. Также проанализируем, чему может оказаться равна сумма чисел с разными знаками.

Сложение чисел с разными знаками

Допустим, у Василия есть 30 тысяч рублей на счету в банке, но при этом у него есть долг в размере 13 тысяч рублей.

Первая величина положительная, вторая — отрицательная по своей сути.

Сложив 30 и -13, мы получим ту сумму, которой Василий может свободно распоряжаться.

Это можно сделать с помощью координатной прямой. Но с большими числами работать по такому алгоритму некомфортно, поэтому есть более простой способ.

Чтобы сложить два числа с разными знаками, необходимо:

1) посчитать их модули

2) из большего модуля вычесть меньший модуль

3) поставить перед полученным числом знак слагаемого с наибольшим модулем

Пример:

1) Модуль 30 равен 30, модуль -13 равен 13

2) \(\mathbf<30>13>\), следовательно вычитаем из 30-ти 13, \(\mathbf<30-13=17>\)

3) Число с наибольшим модулем в данном случае 30, оно положительное, значит, и перед ответом поставим знак «+», но можем просто не ставить ничего.

17 тысячами рублей может распоряжаться Василий.

Также покажем на примере, как может получиться отрицательное число:

Есть другой клиент банка Олег, у него на счету 5500 рублей, а должен он 9300.

Тогда, чтобы понять, сколько у Олега свободных денег, мы должен сложить 5500 и -9300.

1) Считаем модули:

2) Вычитаем из наибольшего модуля наименьший:

3) \(\mathbf<9300>5500>\), значит, ответ та кже, как и число -9300, будет числом отрицательным.

Если убрать промежуточные действия, то получится: \(\mathbf<5500+(-9300)=-3800>\)

То, что у Олега получилось отрицательное количество свободных денег показывает, что даже если он отдаст все деньги со счета на погашение долга, он останется должен банку еще 3800 рублей.

Нельзя не упомянуть случай, когда результатом сложения двух чисел с разными знаками является нуль.

Сложим 5 и -5.

1) Точно также считаем модули:

2) Считаем разность модуле -, они равны, поэтому нам неважно, что из чего вычитать.

3) У нас получился нуль в прошлом действии, поэтому можно даже не думать о знаке, ибо нуль это и есть нуль.

Тогда получаем: \(\mathbf<5+(-5)=0>\)

Заметим: чтобы получился нуль, у чисел должны быть равные модули. И чтобы это был случай со сложением чисел с разными знаками, одно должно быть отрицательным, а другое положительным.

Тогда получаем, что сумма двух чисел с разными знаками равна нулю тогда и только тогда, когда это противоположные числа.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Аналитика суммы двух чисел с разными знаками

Сейчас мы потренируемся отдельно делать некоторые заключения про сумму двух чисел, не считая ее.

Мы уже сказали, что если сумма двух чисел с разными знаками равна нулю, то эти числа являются взаимно обратными.

Это же верно и в обратную сторону. В самом деле, если взять два противоположных числа а и -а, то их модули будут равны а и а соответственно, а значит, их разность будет равна нулю.

Получается, что, если нас просят сложить два числа с разными знаками, мы можем сразу посмотреть, что они противоположны, то есть вдобавок к тому, что у них разные знаки, у них еще и равны модули, и сделать вывод, что их сумма будет равна нулю.

Примеры:

Мы можем использовать это в промежуточных действиях, чтобы не считать сложные части выражения, если они все равно равны нулю:

Да, конечно, посчитать тоже несложно, особенно используя калькулятор, но не считать еще проще и быстрее!

В случаях с числами, которые не являются противоположными, мы, может быть, не сможем так красиво угадать ответ, как это нам только что удавалось выше.

Посмотрев на числа, а если быть точным, только сравнив их модули, можно сказать про знак результата.

В самом деле, в правиле подсчета суммы чисел с разными знаками мы приписываем к разности модулей знак слагаемого с наибольшим модулем.

Значит, если сравним модули чисел, то уже будем знать, какой знак будет у ответа.

Например, какой будет знак у суммы 3-х и \(\mathbf<-68458456>\)-ти?

Очевидно, модуль второго числа будет больше модуля первого числа, потому что у второго числа больше значащих разрядов.

Значит, у результата будет знак второго слагаемого.

Перед ним стоит минус, значит, оно отрицательное, а это значит, что и результат будет числом отрицательным.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Решение задач с помощью суммы чисел с разными знаками

Теперь, когда мы знаем, как складывать числа с разными знаками, то можем подумать о том, как применить наши знания для решения задач.

Главным образом, отрицательные числа очень удобны, когда мы говорим о долгах.

Суммируя, сколько в месяц приходит денег (зарплата, деньги за аренду квартиры, доход по процентам с денег, лежащих в банке), а также, сколько мы должны заплатить кому-либо (налоги, коммунальные услуги, подписки на интернет-сервисы), мы можем посчитать, сколько свободных денег у нас останется на прочие нужды.

Для этого мы должны считать любой наш доход со знаком «плюс», а любой расход или долг со знаком «минус».

Пример:

Александр работает на заводе и получает 40 тысяч рублей в месяц зарплатой, также он сдает одну из своих квартир за 20 тысяч рублей, при этом он должен платить 5 тысяч рублей за коммунальные услуги в своей квартире и 169 рублей за подписку на музыкальный сервис.

Сколько денег у Александра остается после уплаты обязательных платежей?

Решение:

Для начала нам нужно понять, с каким знаком суммировать те или иные пункты.

Зарплата и доход от сдачи квартиры являются статьями дохода. Они увеличивают количество денег у Александра, следовательно, должны считаться со знаком «+».

При записи мы не будем писать излишний знак «+», так как он и так подразумевается, если другого знака не стоит.

Коммунальные услуги и оплата за интернет-подписку являются статьями расхода и должны считаться со знаком «-».

Также необходимо привести все единицы измерения к одному виду.

Цена на интернет-подписку в этой задаче измеряется в рублях, а остальные величины — в тысячах рублей.

Значит, мы должны либо домножить зарплату, аренду и коммунальные платежи на тысячу, либо же на тысячу разделить плату за интернет-подписку.

Для примера выберем первый путь и приводим к одним единицам величины:

\(\mathbf<40\cdot1000=40000>\) (рублей)- зарплата Александра

\(\mathbf<20\cdot1000=20000>\) (рублей)- Александр получает от сдачи квартиры в аренду

\(\mathbf<5\cdot1000=5000>\) (рублей)- плата за коммунальные услуги

Тогда у нас получается такое выражение для количества оставшихся денег:

\(\mathbf<40000+20000-5000-169=54831>\) (рубль) у Александра остается на прочие расходы.

Ответ: 54831 рубль

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Дополнительная информация

В этом уроке мы затронули тему долгов и кредитов. Давайте узнаем историю этого явления в мире.

Свое начало кредитование берет еще в Древнем Египте, Вавилоне, Ассирии.

Тогда все было довольно строго, и, если человек не мог вернуть долг, он становился рабом кредитора.

В то время одалживать могли даже не деньги, а, например, зерно, чтобы вырастить больше урожая.

В Древней Греции кредиторами являлись в основном храмы, так как они накапливали в себе богатства и могли помогать в случае неурожая.

Тогда появилось понятие долговая яма: должник помещался в яму до оплаты кредита или, опять же, до перехода в рабство.

В Средние века кредитной системе было несколько сложно, так как церковь, имевшая тогда значительную власть, запретила зарабатывать на процентах, что лишило дохода ростовщиков и банкиров того времени.

Но, к счастью, для прогресса, люди нашли обход и одалживали через ценные бумаги — векселя. Заемщик покупал их у банкира по одной цене, а продавал по другой, естественно, в убыток себе, но этот убыток служил доходом банкира.

Затем в XVI веке запрет на заработок от процентов отменяется и появляются профессиональные банки. Однако власть продолжала их регулировать, не давая сделать процент по кредиту слишком высоким.

Современный вид кредиты начали принимать во время промышленной революции. У банков начала появляться широкая сеть отделений, и кредиты стали доступны обычным людям, а не только высшим слоям общества, как это могло быть раньше.

Несмотря на доступность кредитов в современном мире, нужно всегда просчитывать экономические решения, а в этом деле как раз помогает математика.

Заключительный тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Основные сведения о сложении чисел с разными знаками

Определение основных понятий

Число — абстрактное понятие, единица счета, которая отображает количество.

Цифра — символ, то, из чего состоят числа.

В математике различают положительные и отрицательные числа. Их располагают на координатной прямой. На ней располагаются целые и дробные числа, все множество чисел.

Координатная прямая — это прямая, которая имеет:

• направление;
• начало отсчета;
• единичный отрезок.

Направление координатной прямой обозначают стрелкой вправо, т. е. координатная прямая имеет положительной направление слева направо.

Начало отсчета — это точка ноль.

Единичный отрезок — расстояние, которое приняли за единицу.

Числа, которые расположены справа от нуля на координатной прямой, называют положительными.

Например, положительными будут числа 234; 1; 0,27.

Числа, которые находятся слева от нуля на координатной прямой — отрицательные.

Для того чтобы отличить положительные числа от отрицательных, перед отрицательными числами принято ставить знак минус.

Например, к отрицательным числам относят: -24; -0,264; -455.

Ноль не относят ни к положительным, ни к отрицательным числам.

Основное правило сложения положительных и отрицательных чисел

При сложении положительных и отрицательных чисел используют понятие модуля.

Модуль — расстояние на координатной прямой от начала отсчета до заданного значения.

Обозначается двумя вертикальными чертами: | |. Первая черта открывает модуль, вторая — закрывает.

Модуль всегда положительный, потому что расстояние не является отрицательной величиной.

Например, модуль числа 5 равен 5. Пишут: 5 = 5 . Значит, координата числа пять находится в 5 единицах от начала отсчета — от нуля.

Модуль числа -5 равен 5. Пишут: — 5 = 5 . Число -5 также находится на расстоянии 5 единичных отрезков от нуля на координатной прямой.

Выделяют правила сложения чисел с одинаковыми знаками:

При сложении положительных чисел просто складывают их модули.

Выполните сложение: 56+34.

Нужно сложить два числа. Они положительные, значит, складываем их модули: 56 + 34 = 56 + 34 = 56 + 34 = 90 .

При сложении отрицательных чисел вначале ставят знак минус, потом складывают их модули.

Выполните сложение: -56+(-34).

Даны два отрицательных числа. По правилу вначале после знака равенства ставим знак минус, открываем скобку и складываем модули чисел, закрываем скобку:

— 56 + ( — 34 ) = — — 56 + — 34 = — ( 56 + 34 ) = — 90 .

Потом упрощаем выражение в скобках, раскрывая модули:

— — 56 + — 34 = — ( 56 + 34 ) .

И остается только сложить числа в скобках: -(56+34)=-90.

Вся цепочка решения: — 56 + ( — 34 ) = — — 56 + — 34 = — ( 56 + 34 ) = — 90 .

Чтобы решать подобные примеры, вначале переводят выражение в явную сумму двух чисел с одинаковыми знаками: -78-76=(-78)+(-76). Теперь действуют по правилу: ставят знак минус и складывают модули чисел.

( — 78 ) + ( — 76 ) = — ( — 78 + — 76 ) = — ( 78 + 76 ) = — 154 .

Когда нужно сложить два числа с разными знаками прибегают к правилу:

Правило сложения чисел с разными знаками

Чтобы сложить два числа с разными знаками, действуют по алгоритму:

1. Находят число, которое по модулю больше.
2. После знака равенства ставят знак числа, которое больше по модулю.
3. Находят разницу модулей слагаемых — из большего модуля вычитают меньший модуль.

1. Находят модули чисел, входящих в сумму: — 45 = 45 ; 56 = 56 .
2. Сравнивают полученные числа: 45 56 , — 45 56 .
3. Ставят после знака равенства знак большего модуля: модуль числа -45 меньше модуля числа 56, значит, нужно поставить знак плюс: -45+56=+.
4. В скобках записывают разницу модулей: от большего модуля числа отнимают меньший модуль.

Знак плюс в конечном ответе нужно опустить.

Примеры сложения и вычитания чисел с разными знаками

Тренажер для шестого класса. Даны карточки с различными выражениями. Необходимо выполнить сложение:

36 + ( — 25 ) ; — 17 + 20 ; 56 + ( — 45 ) ; — 465 + 3544 ; 35 + ( — 56 ) ; — 543 + 354 .

Решим первое выражение: 36+(-25).

Ищем число, большее по модулю. Модуль первого числа равен 36, модуль второго числа равен 25. Тогда первое число по модулю больше второго. Значит, после знака равенства ставим плюс и находим разницу модулей: от большего по модулю числа отнимаем меньшее по модулю число.

36 + ( — 25 ) = + ( 36 — 25 ) = + 11 = 11 .

Решим второе выражение: -17+20.

Нужно найти сумму чисел с разными знаками, значит, ищем число большее по модулю и после знака равенства ставим его знак. В этом примере большее по модулю — число 20. Тогда после знака равенства ставим плюс и находим разность чисел — от большего по модулю отнимаем меньшее по модулю.

-17+20=+(20-17)=3. Знак плюс в конце опускаем.

Решим третье выражение: 56+(-44).

Решаем по правилу нахождения суммы чисел с разными знаками:

56 + ( — 44 ) = + 56 — — 44 = + ( 56 — 44 ) = + 12 = 12 .

Решим четвертое выражение: -465+3544.

Ищем число, большее по модулю. Это 3544. Знак этого числа плюс, значит, после знака равенства ставим плюс и от большего по модулю числа отнимаем меньшее:

Решим пятый пример: 35+(-56).

Ищем число, большее по модулю. Модуль 35 равен 35. Модуль -56 равен 56. Значит, второе число по модулю больше первого. После знака равенства ставим минус и находим разницу модулей чисел: от числа, большего по модулю, отнимаем меньшее по модулю.

Решим шестой пример: -543+354.

Ищем число, большее по модулю. Это число -543. У числа знак минус, значит, минус пишем после знака равенства и находим разницу модулей чисел — от большего отнимаем меньшее.

— 543 + 354 = — ( — 543 — 354 ) = — ( 543 — 354 ) = — 189 .

Найдите значение выражения: 567,89-674,67.

Представим разность чисел в виде суммы:

Воспользуемся алгоритмом нахождения суммы чисел с разными знаками.

Нужно восстановить последовательность шагов алгоритма.

1 шаг — определяем число, большее по модулю.

Находим модуль каждого числа:

567 , 89 = 567 , 89 — 674 , 67 = 674 , 67 .

Модуль второго слагаемого больше, значит, ставим его знак минус после знака равенства. И считаем разницу модулей:

567 , 89 + ( — 674 , 67 ) = — — 674 , 67 — 567 , 89 = — ( 674 , 67 — 567 , 89 ) = — 106 , 78 .

Вся цепочка решения:

567 , 89 — 674 , 67 = 567 , 89 + ( — 674 , 67 ) = — — 674 , 67 — 567 , 89 = — ( 674 , 67 — 567 , 89 ) = — 106 , 78 .

Вычислите: 2 5 — 4 9 .

Перепишем выражение в виде суммы двух слагаемых с разными знаками:

2 5 — 4 9 = 2 5 + — 4 9 .

Определим число, которое по модулю больше.

2 5 = 2 5 — 4 9 = 4 9 .

Получили две обыкновенные дроби с разными знаменателями.

Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, нужно:

1. Привести дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель — такое число, на которое делится каждый из знаменателей дробей. Или найти общее кратное двух знаменателей.

1. Сравнить числители полученных дробей с одинаковыми знаменателями. Большей будет та дробь, у которой числитель больше.

Для знаменателей 5 и 9 полученных дробей общим кратным будет число 45. Тогда, чтобы первую дробь привести к знаменателю 45, нужно числитель и знаменатель умножить на 9. Во второй дроби числитель и знаменатель умножить на 5.

2 5 = 2 · 9 5 · 9 = 18 45 4 9 = 4 · 5 9 · 5 = 20 45 .

Сравниваем дроби: числитель первой дроби меньше числителя второй дроби, следовательно, 18 45 20 45 .

Тогда после знака равенства в выражении нужно поставить знак минус и найти разность чисел:

2 5 + — 4 9 = — 20 45 — 18 45 = — 2 45 .

В ответе получилась несократимая дробь, значит, вычисление закончено.

Вся цепочка решения: 2 5 + — 4 9 = 2 · 9 5 · 9 + — 4 · 5 9 · 5 = 18 45 + — 20 45 = — 20 45 — 18 45 = — 2 45 .

Задания для самостоятельной работы

Найдите значение выражения самостоятельно: -56,67-46,567.

Переписываем пример как сумму двух чисел:

Действуем по правилу: чтобы сложить два отрицательных числа, нужно после знака равенства поставить минус и сложить модули чисел.

— 56 , 67 + ( — 46 , 567 ) = — — 56 , 67 + — 46 , 567 .

Модули раскрываем и получаем:

Вся цепочка решения:

— 56 , 67 — 46 , 567 = — 56 , 67 + ( — 46 , 567 ) = — — 56 , 67 + — 46 , 567 = — ( 56 , 67 + 46 , 567 ) = — 103 , 237 .

Упростите выражение: -1,2+45,6+(-4,7+(-8,9)).

Решим пример по частям.

Вначале упростим: -1,2+45,6=+(45,6-1,2)=44,4.

Найдем значения суммы в скобках: -4,7+(-8,9)=-(8,9+4,7)=-13,6.

И завершаем решение прибавлением первого числа ко второму: 44,4+(-13,6)=+(44,4-13,6)=30,8.

Вся цепочка решения ученика: -1,2+45,6+(-4,7+(-8,9))=(45,6-1,2)+(-(4,7+8,9))=44,4+(-13,6)=+(44,4-13,6)=+30,8=30,8.

Источник