Способ решения задачи с помощью составления уравнения называется

Как решать задачи на составление уравнений

Решение задач с помощью уравнений

В школьном курсе математики многие задачи можно решить с помощью универсального способа, который предполагает составление уравнения, то есть математической модели, построенной согласно условиям задания.

Уравнение является равенством, содержащим неизвестное, значение которого требуется вычислить.

Решить уравнение — значит определить все его корни.

Корень уравнения — число, которое можно подставить в уравнение на место неизвестного, чтобы получить в результате верное числовое равенство.

Таким образом, множество разных примеров можно решить путем составления линейного уравнения. Для этого условие задания переводят на язык арифметики. Полученное в результате уравнение или формула являются следствием такой трансформации.

Под условием задачи может пониматься реальная ситуация, объяснение определенного процесса или какое-либо событие. Получение ответа возможно при решении уравнения, то есть определении корня. Далее ответ следует проверить, чтобы исключить его противоречивость по отношению к условию.

Общий порядок, описание алгоритма

Известно, что уравнение является равенством с неизвестной величиной, обозначенной буквой, значение которой требуется вычислить. С помощью составления уравнения упрощается отработка многих задач. Перед тем как приступить к арифметическим действиям, необходимо внимательно прочитать условия задания. В результате получится определить начальные параметры и обнаружить связь между известными и неизвестными величинами.

1. Обозначить с помощью буквы величину, которая является неизвестной по условию задачи.
2. Составить уравнение, руководствуясь информацией из задания.
3. Решить уравнение, то есть найти его корни.
4. Записать ответ.

Существует несколько полезных приемов, которые пригодятся в процессе решения задачи:

• допустимо переносить числа из одной части уравнения в другую, изменяя их знак на противоположный;
• можно разделить или умножить обе части уравнения на одинаковое число, не равное нулю.

В качестве наглядного примера приведем решение пары задач.

Мальчик задумал какое-то число. Затем он увеличил его в 2 раза, суммировал с 8 и в результате получил 10. Нужно определить, какое число задумал мальчик.

Пусть искомое число будет равно х.

По условиям задачи х требуется умножить на 2. Получим 2х.

Затем нужно сложить результат с 8:

Согласно условию, данное выражение равно 10. Можно записать уравнение:

2x\div 2 = 2\div 2

Ответ: число, которое задумал мальчик, является 1.

Задумано число, три пятых от которого составляет 15. Нужно найти это число.

Предположим, что искомое число равно х.

В таком случае три пятых от этого числа можно записать, как:

Согласно условию задания:

Ответ: задуманное число равно 25.

Примеры решения задач для 6 класса

Кто-то однажды задал учителю вопрос: «Сколько имеешь учеников у себя в учении, ибо хочу отдать тебе в учение своего сына?». Ответ учителя был следующим: «Если придет ко мне еще столько, сколько имею, да еще половина и еще четверть и еще твой сын, то будет у меня 100 учеников». Необходимо определить количество учеников, которые обучались у учителя.

Представим, что х — это искомое количество учеников. В таком случае половина от этого количества составит 1 2 x , четверть будет равна 1 4 x . Общее количество учеников составляет 100 человек. Исходя из условий задачи, можно записать уравнение:

х + х + 1 2 x + 1 4 x + 1 = 100

После сложения всех элементов в левой части уравнения получим:

2 3 4 x + 1 = 100

Единицу можно перенести в правую часть уравнения. При этом следует изменить знак на «-»:

2 3 4 x = 100 – 1

Далее следует разделить обе части уравнения на 2 3 4 x и л и 11 4 x :

Ответ: изначально у учителя было 36 учеников.

Необходимо вычислить, какое число было задумано, если при сложении его с 10 сумма станет равна 15.

Предположим, что х является задуманным числом. К нему необходимо прибавить 10, чтобы получить 15. Исходя из данных условий, запишем уравнение, которое требуется решить:

Допустимо перенести 10 в правую часть уравнения, меняя при этом его знак:

Ответ: задуманное число — это 5.

Цена рубашки составляет 1200 рублей. Если приобрести эту вещь в выходной день, то можно получить скидку в 30%. Необходимо вычислить стоимость рубашки с учетом скидки.

Представим, что х является стоимостью рубашки за минусом предложенной продавцом скидки. В первую очередь следует определить цену рубашки со скидкой в процентном выражении:

1200 x = 100 % 70 %

После преобразования пропорция примет вид:

x = 1200 × 70 100

Ответ: рубашка с учетом скидки стоит 840 рублей.

Источник

Решение задач на основе составления уравнения

Обучение младших школьников решению задач с помощью уравнений является дискуссионным вопросом, многократно обсуждаемым за последние 40 лет. В 1960-е годы курс математики для начальных классов включал знакомство детей с этим способом решения задач, в последующих изданиях этого учебника данный раздел был исключен, а в последней редакции этого учебника (М., 2001) знакомство с этим способом решения задач вновь включено в содержание 4 класса. Следует отметить, что решение задач с помощью составления уравнений практикуется в большинстве альтернативных учебников математики (И.И. Аргинская, Н.Б. Истомина, Л.Г. Петерсон).

Охарактеризуем суть этого метода:

«Для решения задачи с помощью составления уравнения искомое число (неизвестное) обозначают буквой, выделяют в условии задачи связи, которые позволяют составить равенство, содержащее неизвестное (уравнение), записывают соответствующие выраже­ния и составляют равенство. Полученное уравнение решают. При этом решение полученного уравнения не связывается с содержанием задачи. Решение любой задачи можно выполнить путем составления уравнения, руководствуясь указанным планом. В этом заключается универсальность способа решения задач с помощью уравнений, что определяет его преимущества. Кроме того, решение задач способом составления уравнений способствует овладению понятием уравнения»[4 с, 116].

Методика рекомендует обучать детей решению задач с помощью уравнений в несколько этапов.

На подготовительном этапе ребенка обучают составлению выражений, содержащих неизвестное, в соответствии с текстом задания.

Упражнения такого вида содержатся в учебнике 4 класса (М., 2001).

1. Запиши уравнения и реши их:

а) Если неизвестное число умножить на 35, то получится 1505;

б) Если вычесть из ЗОЮ неизвестное число, то получится 973.

а) Обозначим неизвестное число буквой х. Составим равенство: х • 35 — 1505.

Неизвестен множитель. Для нахождения неизвестного множителя разделим произведение на известный множитель: х- 1505:35; х = 43. Проверим решение: 35 • 43 = 1505.

б) Обозначим неизвестное число буквой х. Составим равенство: 3010-д: = 973.

Неизвестно вычитаемое. Для нахождения неизвестного вычитаемого отнимем от уменьшаемого разность: х =3010 – 973; х = 2037 Проверим решение: 3010 — 2037 = 973.

2. К какому числу надо прибавить частное чисел 240 и 3, чтобы получить 500?

Обозначим неизвестное число буквой а. Составим равенство:

Определим порядок действий:

Составим новое уравнение: а + 80 = 500.

Неизвестно слагаемое. Для нахождения неизвестного слагаемого вычтем из суммы известное слагаемое: 500 — 80 = 420, значит, а = 420.

3. Объясни, что обозначают выражения: Ь • 3 — а • 4; (6-3): (о-4).

Выражение Ь • 3 — а • 4 читают так: разность двух произведений, из которых первое — произведение чисел Ь и 3, а второе — произведение чисел а и 4.

Выражение (Ь • 3) : (а • 4) читают так: частное двух произведений, из которых первое — произведение чисел Ь и 3, а второе — произведение чисел о и 4.

4. В универмаге за день продали 52 одинаковых детских пальто и 38 костюмов по той же цене, что и пальто. За пальто получили на /г рублей больше, чем за костюмы. Запиши выра­жения, которые обозначают, сколько денег получили за пальто и костюмы в отдельности.

Выполнение: Найдем разницу в количестве проданных пальто и костюмов:

52 — 38 = 14 (шт.) — на столько штук пальто продали больше, чем костюмов.

Все пальто одинаковые, значит и цена у них одинаковая. Разница в стоимости по условию равна k рублей, значит можно выразить цену одного пальто:

k : 14 — цена одного пальто, такая же цена одного костюма.

Составим выражение, которое обозначает, сколько денег получили за все пальто:

(k: 14) • 52 рублей получили за все пальто;

(k: 147) • 38 рублей получили за все костюмы.

5. Мальчик купил 6 тетрадей в клетку и 5 — в линейку по одинаковой цене. Всего он уплатил с! рублей. Объясни, что обозначают выражения:

6 + 5 d: (6 + 5) d: (6 + 5) • 6

Выражение 6 + 5 — обозначает количество купленных тетрадей;

выражение d: (6 + 5) — обозначает цену одной тетради, поскольку все затраченные деньги ((I) делятся на все купленные тетради;

выражение d: (6 + 5) • 6 — обозначает стоимость 6 тетрадей в клетку, поскольку цену одной тетради умножают на количество купленных тетрадей.

На втором этапе с помощью уравнений решаются простые задачи.

Традиционный учебник не содержит прямых указаний на необходимость использовать именно этот метод при решении задачи. Данный выбор оставляется на усмотрение учителя.

В классе 17 мальчиков и еще девочки. Всего в классе 28 человек. Сколько девочек в классе?

Обозначим количество девочек в классе буквой х. Мы знаем, что всего детей в классе 28 человек. Составим равенство: х + 17 = 28.

В данном уравнении неизвестно слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Значит, х = 28 — 17;* =11.

Проверим решение: 11 + 17 = 28.

Буквой х мы обозначили девочек, значит, в классе 11 девочек.

На третьем этапе уравнения используются при решении составных задач.

Традиционный учебник не содержит прямых указаний на необходимость использовать именно этот метод при решении задачи. Данный выбор оставляется на усмотрение учителя.

В книге 48 страниц. Даша читала книгу в течение трех дней, по 9 страниц ежедневно. Сколько страниц ей осталось прочитать?

Обозначим количество оставшихся страниц буквой х.

За три дня Даша прочитала 9 • 3 страниц. Всего в книге 48 страниц. Составим уравнение: х + 9 • 3 = 48.

Упростим уравнение: 9 • 3 = 27, значит, х + 27 = 48.

Неизвестно слагаемое. Найдем его: д: = 48-27;л: = 21.

Буквой х мы обозначили количество оставшихся страниц, значит, осталось прочитать 21 страницу.

Решение задач с помощью уравнений является перспективным с точки зрения преемственности курсом математики средней школы.

Источник

Урок математики «Алгебраический и арифметический способы решения задач»

Цели:

• познакомить с разными способами решения задач;
• дать представления об алгебраическом способе решения,
• научить детей выбирать разные способы решения, составлять обратные задачи.

Задачи:

• развивать логическое мышление,
• развитие мыслительных операций, таких как анализ, синтез.

Ход урока

1. Разминка

(Учащиеся стоят у своих мест, учитель задаёт вопрос, если ученик ответил верно, то присаживается).

• Что такое уравнение?
• Что значит найти корень уравнения
• Как найти неизвестный множитель? Делитель? Уменьшаемое?
• Продолжи определения: Скорость – это.
  Чтобы найти расстояние, нужно…
  Чтобы найти время, надо…

2. Проверка домашнего задания

(Дома дети в справочниках искали определения: алгебра, арифметика, геометрия).

Что изучает алгебра? арифметика? геометрия?

• Алгебра– наука, которая изучает вопросы уравнений и неравенств.
• Геометрия – одна из древнейших частей математики, изучающая пространственные отношения и формы тел.
• Арифметика –наука о числах и операциях над ними.

(Эти термины понадобятся нам позднее на уроке).

3. Послушайте задачу

В каждой из четырех клеток находится 1 животное. На каждой клетке указаны надписи, но ни одна из них не соответствует действительности. Укажите, кто находится в каждой клетке. Разместите животных по их клеткам (у каждого ребёнка наборное полотно и карточки с изображением животных).

• Покажите, что у вас получилось. Как вы рассуждали? (На доске выполнить проверку).
• Каким образом вы решили эту задачу? (Рассуждая, мысля логически).
• Какая это задача? (Логическая).

Но в основном на уроках математики мы решаем задачи, в которых необходимо выполнять математические преобразования.

4. Прочитайте задачи

1. С двух верблюдов настригли 12 кг шерсти. Со второго настригли в 3 раза больше, чем с первого. Сколько килограммов шерсти настригли с каждого верблюда?
2. Леопард весит 340 кг, жираф в 3 раза тяжелее леопарда, а лев на 790 кг легче, чем жираф. На сколько килограммов леопард тяжелее льва?
3. Два жирафа бежали навстречу друг другу. Один бежал со скоростью 12 м/с, скорость другого 15 м/с. Через сколько секунд они встретятся, если расстояние между ними было 135 метров?

Сравните задачи. Что общего? В чем их отличия?

• Прочитайте задачу, которую нужно решить, составив уравнение.
• Прочитайте задачу, которую нужно решить по действиям?
• Какую задачу можно решить двумя способами?
• Сформулируйте тему нашего урока.

Разные способы решения задач

5. Решите любую задачу, составив краткую запись (в виде таблицы, чертежа)

Двое работают у доски.

Проверка

• Как решали первую задачу? (Уравнением).
• Как называется раздел математики изучающий уравнения? (Алгебра).
• Как будет называться этот способ решения? (Алгебраический).
• Какими способами решались вторая и третья задачи? (По действиям).
• Какой раздел математики изучает это? (Арифметика).
• Как будет называться этот способ решения? (Арифметический).

(Вывешиваем на доске):

6. Составить обратные задачи данным и решить их алгебраическим и арифметическим способами

7. Продуктивные задания на воспроизведение новых знаний

Задайте вопросы классу по изученной теме.

• Какой способ решения задач называется алгебраическим?
• Какой арифметическим?
• Как называется способ решения задач с помощью уравнений?

8. Домашнее задание

Составить задачу о животном, которую можно решить алгебраическим способом.

Источник