Способ решения задачи с конца

7. Древняя легенда повествует, что некогда нежная королева обещала свою руку тому из трех рыцарей, кто первый решит следующую задачу: сколько слив в корзине, если половину всего содержимого и одну сливу она отдаст первому рыцарю, половину оставшихся и еще одну — второму и, наконец, третьему — половину оставшихся и три сливы, и после этого корзина будет пустой?

8. Три мальчика делили 120 фантиков. Сначала Петя дал Ване и Толе столько фантиков, сколько у них было.Затем Ваня дал Толе и Пете столько, сколько у них стало. И наконец, Толя дал Пете и Ване столько, сколько у них к тому моменту имелось. В результате всем досталось поровну. Сколько фантиков было у каждого в начале?

9. Летит по небу лебедь, а навстречу ему гуси. «Здравствуйте, 100 гусей», — говорит им лебедь, а они ему отвечают:»Нас не 100! А если к нам подлетит ещё столько, сколько нас, и ещё половина, и ещё четверть, и вместе с тобой нас станет 100!». Сколько гусей летело по небу?

Источник

Решение задач с конца

Это учебная статья по математике, перед началом занятий мы рекомендуем ознакомиться с вводной частью

В этом занятии собраны задачи на простую идею. Идея заключается в том, чтобы решать задачи, анализируя ситуацию, описанную в задаче, с конца. Приведём пример такой задачи.

Упражнение.

Коля спросил у Вани: «Сколько тебе лет?» Иван ответил: «Если мой возраст умножить на 2 и отнять 6, то получится 14!» Сколько же лет Ивану?

Решение.

Последним действием Иван отнял от какого-то числа(удвоенного возраста) число 6 и получил 14, значит, отнимал он от числа 14 + 6 = 20. Действительно: 20 — 6 = 14. До вычитания Иван умножил свой возраст на 2 и получил 20, поэтому для нахождения возраста Ивана осталось 20 разделить на 2 = 10. Значит, Ивану 10 лет.

Ответ:

Задача 1.

В магазине продают материю. Всего за день покупателей ситца было 5 человек. Каждый следующий покупатель ситца забирал половину того, что было до него. Сколько ситца было в начале дня, если в конце осталось полметра?

Решение.

Будем решать задачу с конца: если осталось полметра, то последний покупатель купил тоже полметра, и до него оставался один метр. Тогда четвертый покупатель купил метр, и до него было два метра, третий – два, до него было четыре, второй – четыре, до него было восемь. Первый купил восемь, а до него было шестнадцать. Значит, в начале дня было 16 метров ситца.

Ответ:

Удобно оформить решение с помощью таблицы:

Замечание.

Возможно, ваш ребёнок уже знает такое слово, как уравнения, и умеет их составлять. Постарайтесь убедить его не использовать уравнения при решении задач этой темы. Идея этого алгоритма как раз и состоит в решении задач без использования уравнений.

Задача 2.

1 мая в пруду расцвела лилия. На следующий день расцвели уже две лилии. Ещё на следующий день – четыре. И так далее. Каждый день количество лилий в пруду удваивалось, пока 31 мая пруд не оказался заполнен лилиями целиком. Какого числа пруд был заполнен лилиями только наполовину?

Решение.

Понятно, что можно попробовать решить эту задачу в лоб: посчитать количество лилий, расцвётших на пруду 31 числа, а потом посмотреть, когда же расцвела половина от этого числа. Однако числа получатся огромными – ведь уже на 11 день на пруду зацветёт аж 1024 лилии… Попробуем пойти другим путём, а именно – рассмотрим ситуацию с конца. Если 31 числа пруд был заполнен лилиями целиком, то на сколько он был заполнен лилиями 30 мая? Мы знаем, что 31 мая лилий распустилось в два раза больше, чем 30, и стало равно целому пруду. Но сколько нужно удвоить, чтобы получить целое? Половину. Значит, 30 мая пруд зацвёл наполовину. Тем самым мы нашли ответ. Стоит отметить, что мы ничего не считали! И нам было абсолютно неважно, сколько именно лилий расцвело на пруду!

Ответ:

Комментарий для родителей.

Возможно, потребуются комментарии по условию задачи. Кто-то может понять условие так, что лилии расцветают и так и остаются цвести. Новые лилии добавляются к уже имеющимся. То есть может показаться, что, например, на второй день на пруду цвели 3 лилии, а не две. Но это не так. Лилии, как все цветы, на ночь закрывают свои бутоны, и, естественно, если прийти на пруд достаточно рано, то он будет пуст – цветов не будет. Поэтому, согласно условию задачи, на второй день на пруду цвели 2 лилии, а не 3.

Замечание.

Часто ребёнок, не задумываясь, выпаливает ответ, который кажется самым естественным в этой задаче – 15 или 16 мая. Рассуждая, что половину озера закроют лилии за половину месяца. Задачи этого занятия заставят ребёнка задуматься о том, что очевидный ответ не всегда является правильным.

Испытайте свои знания!

Для самых умных и талантливых учеников мы проводим на сайте дистанционную интернет-олимпиаду. Сразу же после прохождения олимпиады показываются результаты и полный разбор задач для работы над ошибками. В зависимости от успехов олимпиадника выдаются электронные дипломы и похвальные грамоты.

Каждый участник получает электронный сертификат участника.

Источник

5-6 класс задачи решаемые с конца
учебно-методический материал по математике (5 класс)

В этой работе приведены материалы занятий, который можно использовать на математических кружках, проводимых для учащихся 5–6-х классов.

Скачать:

Предварительный просмотр:

В этой работе приведены материалы занятий математического кружка, проводимого для учащихся 5–6-х классов.

Цель проведения кружка: создание условий для развития творческой, познавательной активности учащихся при изучении математики, развитие и сохранение устойчивого и долговременного интереса к предмету.

• развивать познавательные интересы ребенка (восприятие, мышление, внимание, воображение, память и др.);
• формировать у учащихся устойчивый интерес к предмету и познавательную активность;
• формировать навыки самостоятельной работы и потребности в исследовательской деятельности;
• развивать коммуникативные качества личности.

Увлечение математикой часто начинается с размышлений над какой-то новой, интересной, нестандартной и понравившейся задачей. Она может встретиться и на школьном уроке, и на занятии математического кружка, в журнале или книге, ее можно услышать от друга или от родителей. Задачи на логику развивают в человеке сообразительность, интеллект и упорство в достижении цели. Очень часто одна решенная логическая задача пробуждает у ребенка устойчивый и долговременный интерес к изучению математики, желание искать и решать новые логические, нестандартные задачи и задачи повышенной трудности. А это, во многом, и есть главная цель учителя.

Логические задачи – это хороший способ развития умственных способностей. К классу логических задач относятся также задачи на переливания.

Тематические занятия кружка.

Занятие № 1. Задачи, решаемые с конца

1. Магия чисел. Я задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число я задумал.

2. Яблоки. Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; в свою очередь и третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было у каждого мальчика вначале?

3. Черт и бездельник. Однажды черт предложил бездельнику заработать. “Как только ты перейдешь через этот мост, – сказал он, – твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 рубля”. Бездельник согласился и … после третьего перехода остался без денег. Сколько денег у него было сначала?

4. Туристы. Группа туристов отправилась в поход. В первый день они прошли 1/3 пути, в второй – 1/3 остатка, в третий – 1/3 нового остатка. В результате им осталось пройти 32 км. Сколько километров был маршрут туристов?

5. Гуси. Над озерами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озерах. Сколько было гусей?

6. Крестьянин и царь. Крестьянин пришел к царю и попросил: “Царь, позволь мне взять одно яблоко из твоего сада”. Царь ему разрешил. Пошел крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором. Каждый забор имеет только одни ворота, и около каждых ворот стоит страж. Подошел крестьянин к первому стражу и сказал: “Царь разрешил мне взять одно яблоко из сада”. “Возьми, но при выходе должен будешь отдать мне половину яблок, что возьмешь, и еще одно”, – поставил условие страж. Это же повторили ему второй и третий, которые охраняли другие ворота. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после того, как отдаст положенные части трем стражам, у него осталось одно яблоко?

1. Магия чисел. Я задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число я задумал.

Решение.
Решаем задачу с конца:
1) 2 ∙ 7 = 14 – число до деления на 7.
2) (14 + 6) : 4 = 5 – число до умножения на 4.
3) 5 ∙ 3 = 15 – число до деления на 3.
4) 15 – 5 = 10 – искомое число.
Ответ: задумано число 10.

2. Яблоки. Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; а третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было у каждого мальчика вначале?

Источник

Задачи, решаемые с конца

Разделы: Математика

Предмет математики настолько серьезен,
что нельзя упускать случая,
сделать его немного занимательным.
Блез Паскаль.