Способ решения задачи при помощи уравнения называется

Статья «Решение задач способом составления уравнения»

Решение задач способом составления уравнения

Современное содержание математического образования направлено главным образом на интеллектуальное развитие младших школьников, формирование культуры и самостоятельности мышления.

Данный аспект является главным в развитии личности ученика, так как мышление влияет на воспитанность человека. Достаточная подготовленность к мыслительной деятельности снимает психологические нагрузки в учении, предупреждает неуспеваемость, сохраняет здоровье.

Важнейшим фактором в развитии мыслительных операций служат педагогические системы развивающего обучения. К такой системе относится методика обучения по УДЕ.

Одна из основных целей технологии УДЕ – создание действенных и эффективных условий для развития познавательных способностей детей, их интеллекта и творческого начала, расширение математического кругозора.

В основу технологии УДЕ положен принцип: чтобы обучать ускоренно и при высоком уровне знаний, необходимо рассматривать целостные группы взаимосвязанных понятий. В триадах задач реализуется фактор дополнительности подсознательных механизмов познания.

Триада означает выполнение учеником на одном уроке:

обращение этого задания и самостоятельное обобщение решенной задачи;

составление новой задачи и её решение.

Этот приём даёт хороший эффект в обучении, так как он побуждает учащихся осмысливать и усваивать материал на основе более высокой степени обучения.

Вопрос преемственности между начальным и средним звеньями обучения очень актуален.

В среднем звене школы ученики, например, на уроках математики обучаются решению задач путём составления уравнения, и учителя сталкиваются с недопониманием учащимися этой темы. А решать задачи путём составления уравнения можно уже в начальной школе с использованием технологии УДЕ.

Сделаем срез методики обучения решению задач путём составления уравнения.

а) Выражение с окошечками: 3 + 1 = 4 + 1 = 4

б) Знакомство с понятиями «слагаемое» и «сумма»:

3 и 1 – слагаемые. Числа, которые складываются, называются слагаемыми.

4 – сумма. Число, которое получается в результате сложения, называется суммой.

в) четверка примеров:

3 + 1 = 4 4 – 1 = 3

1 + 3 = 4 4 – 3 = 1

Триада задач (на нахождение суммы и неизвестного слагаемого)

Источник

Статья на тему: «Методы и способы решения текстовых задач»

Методы и способы решения текстовых задач

Начну с того, что же такое задача. Ведь термин задача встречается нам как в быту, так и в профессии. Каждый из нас решает ежедневно те или иные задачи. Задача – это сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий. Текстовая задача – описание некоторой ситуации на естественном языке, с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами и определить вид этого отношения. Любая текстовая задача состоит из двух частей – условия и требования (вопроса). В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторые числовые данные объекта, об известных и неизвестных значениях между ними. Требования задачи – это указание того, что нужно найти. Оно выражено предложением в повелительной или вопросительной форме. Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие должно быть выполнено для получения ответа на требование задачи. Ответ на требование задачи получается в результате ее решения. Решить задачу в широком смысле этого слова — это значит раскрыть связи между данными, заданными условием задачи, и искомыми величинами, определить последовательность применения общих положений математики (правил, законов, формул и т. д.), выполнить действия над данными задачи, используя общие положения и получить ответ на требование задачи или доказать невозможность его выполнения.
Прежде всего надо, осознать, что такое текстовая задача. И целью подготовительного периода является возможность показать перевод различных реальных явлений на язык математических символов и знаков. Также для того, чтобы правильно выбрать то или иное действие для решения простой задачи, необходимо сформировать понятие об арифметических действиях, научить выбирать то или иное действие. Решением задачи называют результат, т. е. ответ на требование задачи.

Текстовые задачи мы можем условно классифицировать по типам: задачи на числовые зависимости; задачи, связанные с понятием процента; задачи на «движение», «концентрацию смесей и сплавов», «работу» и т. д.

Решение текстовых задач делится на несколько этапов:

восприятие и осмысление задачи;

поиск плана решения;

выполнение плана решения;

Существуют различные методы решения текстовых задач:

метод проб и ошибок.

В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей.

Например, при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом — строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.

Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных моделей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно разные уравнения, используя логический метод — построив разные алгоритмы. Ясно, что в этих случаях мы так же имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, которые называю способы решения.

Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом — значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту де задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью этих связей.

Алгебраический метод . Решить задачу алгебраическим методом — это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или системы уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно так же решить различными алгебраическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения составлены различные уравнения или системы уравнений (неравенств), в основе составления которых лежат различные соотношения между данными и искомыми.

Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом — значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур.

Логический метод . Решить задачу логическим методом — это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения.

Практический метод . Решить задачу практическим методом — значит найти ответ на требования задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами).

Табличный метод позволяет видеть задачу целиком это — решение путем занесения содержания задачи в соответствующим образом организованную таблицу.

Комбинированный метод позволяет получить ответ на требование задачи более простым путем.

Метод проб и ошибок (самый примитивный), в нем ответ на вопрос задачи угадывается. Но и здесь основные моменты решения — выбор пробных ответов на вопрос задачи и проверка их соответствия условию осуществляется с помощью мыслительных операций, необходимых при решении любым путем. Угадывание ответа требует интуиции, без которой невозможно никакое решение.

Методы решения могут быть разные, но способ решения, лежащий в их основе, может быть один.

Работа над текстовой задачей остается одним из важнейших аспектов обучения в начальной школе, когда закладываются основы знаний; является движущим фактором в развитии младших школьников. Из текстов задач дети открывают новое об окружающем мире, испытывают чувство удовлетворения и радости от их успешного решения.
Решение текстовых задач и нахождение разных способов их решения на уроках математики способствует развитию у детей мышления, памяти, внимания, творческого воображения, наблюдательности, последовательности рассуждения и его доказательности, развитию умения кратко, четко и правильно излагать свои мысли.

При решении любых текстовых задач на движение наиболее рационально принимать в качестве неизвестных величин расстояние, скорость или наименьшую из величин, что приводит к более короткому решению. Если после составления уравнений, полученная система не решается, то необходимо попробовать выбрать другие неизвестные. Количество неизвестных не имеет значения, правильное составление системы превыше всего. Также, нужно обращать особое внимание на единицы измерения – в течение всего решения они обязательно должны быть одинаковыми. А именно, если это часы, то на протяжении всей задачи время должно выражаться в часах, а не в минутах, так и, километры и метры не должны применяться в одном решении и т. п.

Для преобразования условия задачи в математическую модель математические знания практически не нужны – здесь необходим здравый смысл. Очень важно обязательно сформулировать, используя переменные, что мы обязаны найти, т. к. переменных может быть намного больше, чем уравнений, где все их найти просто невозможно.

Решая системы нужно помнить, что в текстовых задачах все величины, как правило, положительны, т. к. в природе отрицательных скоростей и расстояний не существует. Это даёт нам право на умножение, деление и на возведение в квадрат получающиеся уравнения и неравенства.

Решая задачи «на работу», очень выгодно принимать за неизвестные величины производительность (работа, производимая за единицу времени), но бывают и исключения, где необходимо за неизвестную, например, выбрать время. Иногда встречаются такие задачи, в которых не указывается, какая работа выполняется. В таких задачах, будет удобнее ввести самим единицу работы, равную всей работе. Во время исследования была обнаружена всего одна задача, где помимо рассмотрения деятельности всех рабочих, важно рассмотреть их совместную деятельность, а иначе задача будет решена не верно.

В задах «на производительность» стоит лишь отметить то, что за производительность трубы принимается объём жидкости, протекающей через неё за единицу времени. Также, бывают случаи, когда необходимо принять за неизвестные одновременно объём бассейна, производительность труб и время наполнения бассейна каждой трубой, чего не стоит опасаться.

Источник

Проект по теме «Виды уравнений и способы их решений»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя школа № 1 г. Данилова Ярославской области

Проектная работа по теме:

Виды уравнений и способы их решения

обучающийся 9А класса

Графчикова Светлана Дмитриевна ,

РАЗДЕЛ I. Теоретическая часть

1.1. Сведения из истории уравнений……… … … ……….……………… . . ..стр. 4

1.2. Основные понятия и свойства уравнений ……………………………..стр. 6

1.3. Классификация уравнений.. ……… ……………… …… ……….. …….стр. 7

1.4. Стандартные методы решения уравнений. … . …… …….…… …… .. . стр. 8

1.5. Нестандартные методы решения уравнений…………… …………. стр. 14

РАЗДЕЛ II. Практическая часть

2.1. Решение уравнений из второй части ОГЭ……………………………..стр. 19

2.2. Решение уравнений нестандартными способами………………….….стр. 22

Список используемой литературы…………….. ……………………… ..…. стр. 25

Приложение 1. Дидактический материал по решению уравнений

Приложение 2. Дидактический материал по решению уравнений

Мне приходится делить своё время между

политикой и уравнением. Однако уравнение,

по-моему, гораздо важнее, потому что политика

существует только для данного момента,

а уравнение будет существовать вечно.

Практически всё, что окружает современного человека — это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые достаточно часто сводятся к уравнениям второй степени (квадратным).

Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.

Актуальность этой темы заключается в том, что н а уроках алгебры, геометрии, физики, химии, биологии мы очень часто встречаемся с решением уравнений. Многие обучающиеся, сдающие ОГЭ по математике, мечтают набрать высший балл. Для этого надо уметь решать уравнения, так как умение решать уравнения встречается в нескольких заданиях в КИМ ОГЭ. Поэтому каждому выпускнику важно научиться решать уравнения, выбирая и применяя рациональный способ решения.

Для себя я определил проблемный вопрос: «Какие способы решения уравнений надо знать для успешного выполнения КИМ ОГЭ и для решения жизненных задач?» Поэтому я выбрал тему исследования, связанную с уравнениями, в ходе работы она получила название «Виды уравнений и способы их решения» .

Цель работы: изучить виды уравнений и различные способы их решения, научиться применять их при решении и выб и рать наиболее рациональный способ решения.

Исходя из данной цели, мною были поставлены следующие задачи:

— изучить историю развития уравнений;

— представить классификацию уравнений;

— рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения уравнений;

— научиться решать уравнения различными способами;

— разработать дидактический материал и провести его апробацию на математическом кружке в 8 классе ;

— разработать памятку по способам решения уравнений для одноклассников.

Объект исследования: уравнения.

Предмет исследования : способы решения уравнений.

Вид проекта: информационно-исследовательский.

Ход работы над проектом:

1. Изучение литературы по истории вопроса

2. Обобщение накопленных знаний о б уравнениях и способах их решения из школьной программы

3. Изучение дополнительной литературы и других источников информации

4. Систематизация приемов решения уравнений

5. Разработка дидактического материала и памятки для одноклассников

6. Проведение занятия с обучающимися 8 класса

7. Защита проекта

РАЗДЕЛ I. Теоретическая часть

1.1. Сведения из истории уравнений

История изучения уравнений насчитывает много веков. Ещё за 3–4 тысячи лет до н.э. египтяне и вавилоняне, пользуясь таблицами и готовыми выработанными рецептами, умели решать некоторые уравнения. Разумеется, приёмы решения у них были вовсе не такими, как теперь. Греки, унаследовавшие математические знания египтян и вавилонян пошли дальше.

Наибольших успехов в решении уравнений добился выдающийся древнегреческий учёный. Диофант (III век), которого по праву называют «отцом алгебры».

Диофант умел решать очень сложные уравнения, примеряя для неизвестных буквенные обозначения, ввёл специальный символ для вычитания, использовал сокращения слов.

О нём потом писали:

Посредством уравнений, теорем

Он уйму всяких разрешил проблем:

И засуху предсказывал, и ливни –

Поистине его познанья дивны.

Стройное учение об уравнениях разработал среднеазиатский учёный Мухаммед аль-Хорезми (IX в.). Он написал книгу «Китабаль – Джебр Валь-Мукабала», что означает «Книга о восстановлении и противопостановлении». Это был первый в мире учебник алгебры. С этого времени алгебра становится самостоятельной наукой. Само слово «алгебра» произошло от слова «аль-фкебр» – восполнение: так аль-Хорезми называл перенос отрицательных слагаемых из одной части уравнения в другую с переменой знака.

В дальнейшем проблема решений уравнений занимала умы всех математиков.

Самыми известными математиками, внесшими вклад в развитие теории уравнений, были:

Архимед (около 287–212 до н. э. ) — древнегреческий ученый, математик и механик. При исследовании одной задачи, сводящейся к кубическому уравнению, Архимед выяснил роль характеристики, которая позже получила название дискриминанта.

Франсуа Виет жил в XVI в. Он внес большой вклад в изучение различных проблем математики. В частности, он ввел буквенные обозначения коэффициентов уравнения и установил связь между корнями квадратного уравнения.

Леонард Эйлер (1707 – 1783) — математик, механик, физик и астроном. Автор св. 800 работ по математическаму анализу, дифференциальных уравнений, геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки, и т. д. Оказал значительное влияниена развитие науки. Вывел формулы (Формулы Эйлера), выражающие тригонометрические функции переменного х через показательную функцию.

Лагранж Жозеф Луи (1736 — 1813 гг. ), французский математик и механик. Ему принадлежат выдающиеся исследования, среди них исследования по алгебре (симметрической функции корней уравнения, по дифференциальным уравнениям (теория особых решений, метод вариации постоянных).

Ж. Лагранж и А. Вандермонд — французские математики. В 1771 г. впервые применили способ решения систем уравнений (способ подстановки).

Гаусс Карл Фридрих (1777 —1855 гг. ) — немецкий математик. Написал книгу, в которой излагается теория уравнений деления круга (т. е. уравнений xn — 1 = 0), которая во многом была прообразом Галуа теории. Помимо общих методов решения этих уравнений, установил связь между ними и построением правильных многоугольников. Он, впервые после древнегреческих учёных, сделал значительный шаг вперёд в этом вопросе, а именно: нашёл все те значения n, для которых правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой. Изучал способ сложения. Сделал вывод, что системы уравнений можно между собой складывать, делить, и умножать.

О. И. Сомов – обогатил разные части математики важными и многочисленными трудами, среди них теория определённых алгебраических уравнений высших степеней.

Галуа Эварист (1811—1832 гг. ), — французский математик. Основной его заслугой является формулировка комплекса идей, к которым он пришёл в связи с продолжением исследований о разрешимости алгебраических уравнений, начатых Ж. Лагранжем, Н. Абелем и др. , создал теорию алгебраических уравнений высших степеней с одним неизвестным.

А. В. Погорелов (1919 – 1981 гг. ) — В его творчестве связаны геометрические методы с аналитическими методами теории дифференциальных уравнений с частными производными. Его труды оказали существенное влияние также на теорию нелинейных дифференциальных уравнений.

П. Руффини — итальянский математик. Посвятил ряд работ, доказательству неразрешимости уравнения 5-й степени, систематически использует замкнутость множества подстановок.

Не смотря на то, что ученые давно изучают уравнения, науке не известно, как и когда у людей возникла необходимость использовать уравнения. Известно только, что задачи, приводящие к решению простейших уравнений, люди решали с того времени, как стали людьми. Еще 3 — 4 тысячи лет до н. э. египтяне и вавилоняне умели решать уравнения. Правило решения этих уравнений, совпадает с современным, но неизвестно, как они до этого дошли.

В Древнем Египте и Вавилоне использовался метод ложного положения. Уравнение первой степени с одним неизвестным можно привести всегда к виду ах + Ь = с, в котором а, Ь, с целые числа. По правилам арифметических действий ах = с — b, если Ь > с, то с b число отрицательное. Отрицательные числа были египтянам и многим другим более поздним народам неизвестны (равноправно с положительными числами их стали употреблять в математике только в семнадцатом веке). Для решения задач, которые мы теперь решаем уравнениями первой степени, был изобретен метод ложного положения. В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Египтяне имели особый знак для обозначения неизвестного числа, который до недавнего прошлого читали «хау» и переводили словом «куча» («куча» или «неизвестное количество» единиц). Теперь читают немного менее неточно: «ага». Способ решения, примененный Ахмесом, называется методом одного ложного положения. При помощи этого метода решаются уравнения вида ах = b. Этот способ заключается в том, что каждую часть уравнения делят на а. Его применяли как египтяне, так и вавилоняне. У разных народов применялся метод двух ложных положений. Арабами этот метод был механизирован и получен ту форму, в которой он перешел в учебники европейских народов, в том числе в «Арифметику» Магницкого. Магницкий называет способ решения «фальшивым правилом» и пишет в части своей книги, излагающей этот метод: «Зело бо хитра есть сия часть, Яко можеши ею все класть. Не токмо что есть во гражданстве, Но и высших наук в пространстве, Яже числятся в сфере неба, Якоже мудрым есть потреба.»

Содержание стихов Магницкого можно вкратце передать так: эта часть арифметики весьма хитрая. При помощи ее можно вычислить не только то, что понадобится в житейской практике, но она решает и вопросы «высшие», которые встают перед «мудрыми». Магницкий пользуется «фальшивым правилом» в форме, какую ему придали арабы, называя его «арифметикой двух ошибок» или «методой весов».

1.2. Основные понятия и свойства уравнений

В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения. Остановимся на основных понятиях.

Тождество — это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв. Для записи тождества наряду со знаком = (равно) также используется знак = (равносильности).

Уравнение — это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита: a, b, c. ); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита: х, у). В общем виде уравнение может быть записано так: F (х_1, х_2, …) = 0. В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и т. д. неизвестными.

Значение неизвестных, обращающие уравнение в тождество (верное равенство), называют решениями уравнения.

Решить уравнение – это значит найти множество его решений или доказать, что решений нет. В зависимости от вида уравнения множество решений уравнения может быть бесконечным, конечным и пустым.

Если все решения одного уравнения являются решениями другого уравнения, то такие уравнения называют эквивалентными.

Если все корни одного уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

Значения неизвестного х, обращающие алгебраическое уравнение в тождество, называются корнями (решениями) алгебраического уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.

С алгебраическими выражениями, входящими в уравнения, можно выполнять операции, которые не меняют его корней, в частности:

· к обеим частям уравнения прибавить любую функцию, которая определена при всех значениях из ОДЗ. Следствие. Члены уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую;

· обе части уравнения умножить на любую функцию, определенную и отличную от нуля при всех допустимых значениях неизвестного. Также можно делить и умножать на число, отличное от нуля;

· в обеих частях уравнения стоят функции, принимающие только неотрицательные значения, то при возведении в одну и ту же четную степень получаем уравнение, равносильное данному. Появлению “посторонних корней” приводят преобразования:
а) приведение подобных членов – происходит расширение ОДЗ;
б) сокращение дроби на выражение, содержащие неизвестное (тоже происходит расширение ОДЗ);
в) умножение на выражение, содержащее неизвестное;
г) освобождение дроби от знаменателя, содержащего неизвестное. Необходимо обязательно делать проверку или лучше перейти к смешанной системе.

1.3. Классификация уравнений

Уравнения подразделяются на две большие группы: алгебраические и трансцендентные. Алгебраическим называется такое уравнение, в котором для нахождения корня уравнения используются только алгебраические действия, а именно четыре арифметических – сложение, вычитание, умножение и деление, а также возведение в степень и извлечение натурального корня. Трансцендентным называется уравнение, в котором для нахождения корня используются не алгебраические функции: например, тригонометрические, логарифмические и иные.

В курсе математики основной школы рассматриваются только алгебраические уравнения. Группу алгебраических уравнений можно условно разделить на такие виды уравнений как:

· целые — с обеими частями, состоящими из целых алгебраических выражений по отношению к неизвестным;

· дробные — содержащие целые алгебраические выражения в числителе и знаменателе;

· иррациональные — алгебраические выражения здесь находятся под знаком корня;

· с модулем — алгебраические выражения здесь находятся под знаком модуля.

Дробные, иррациональные и с модулем уравнения можно свести к решению целых уравнений.

Существует также и ещё одна классификация, которая основывается на степени, которая имеется в левой части многочлена. Исходя из этого, различают линейные, квадратные и кубические уравнения. Линейные уравнения также могут называться уравнениями первой степени, квадратные — второй, а кубические, соответственно, третьей.

1.4. Стандартные методы решения уравнений

Общие методы решения уравнений можно выделить следующие: по формулам, разложение на множители (вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, с помощью формул сокращенного умножения), замена переменной, использование ограниченности и монотонности функций, графически.

1. Линейные уравнения – это уравнения вида: ах + b = 0, где a и b – некоторые постоянные.

— Если а не равно нулю, то уравнение имеет один единственный корень: х = — b : а ( ах + b; ах = — b; х = — b : а. ).

Например: решить линейное уравнение: 4х + 12 = 0.

Решение: Т. к а = 4, а b = 12, то х = — 12 : 4; х = — 3.

Проверка: 4 ( — 3) + 12 = 0; 0 = 0.

Т. к. 0 = 0, то -3 является корнем исходного уравнения.

— Если а равно нулю, и b равно нулю, то корнем уравнения ах + b = 0 является любое число.

Например: 0х + 0 = 0;

0 = 0. Т. к 0 равно 0, то корнем уравнения 0х + 0 = 0 является любое число.

— Если а равно нулю, а b не равно нулю, то уравнение ах + b = 0 не имеет корней.

Например:0х – 6 = 0;

0 = 6. Т. к 0 не равно 6, то 0х – 6 = 0 не имеет корней.

2. Квадратным уравнением (или уравнением второй степени) называется уравнение вида ax²+bx+c=0 , где x – переменная, a, b и c – некоторые числа,

— Решение квадратных уравнений по формулам:

Например: 4х 2 — 16х + 15 = 0.

Решение: а = 4, b = — 16, с = 15, D = b 2 — 4ac = (-16)2 — 4·4·15= 16, D> 0, уравнение имеет два различных корня;

;

— Решение квадратных уравнений со вторым четным коэффициентом по формулам:

— Решение квадратных уравнений по теореме Виета:

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида где старший коэффициент равен единице. Корни приведенного квадратного уравнения можно найти по следующей формуле: .

Запомнить эту формулу можно заучив следующий стишок.

P со знаком взяв обратным

На 2 мы его разделим,

И от корня аккуратно знаком отделим,

А под корнем очень кстати

Половина в квадрате,

Минус и вот решение небольшого уравнения.

Чтобы квадратное уравнение привести к приведенному виду, нужно все его члены разделить на a,тогда

Если обозначить , то мы получим уравнение вида . Таким образом: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. По коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней.

а) Если сводный член q приведенного уравнения положителен (q> 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента:

— если р> 0, то оба корня отрицательные.

б) Если свободный член q приведенного уравнения отрицателен (q 0 .

Например: Решим уравнение 4х 2 — 16х + 15 = 0.

Решение. Перейдем к приведенному квадратному уравнению: х 2 – 4х + 3,75 = 0, q=3,75 > 0 ,имеет два одинаковых по знаку корня

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни — и дробь уж готова:
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта, что за беда —
В числителе b , в знаменателе а.

— Решение квадратных уравнений с помощью свойств коэффициентов:

Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х₁= 1, х₂ = с/а.

2) Если a – b + c=0, то х₁ =-1, х₂ = -с/а

Например: х 2 — 16х + 15 = 0.

Решение: а+ b+ с = 0 ð 1 + (-16) + 15 = 0, то х₁= 1, х₂ = 15.

Например: 2х 2 + 3х +1= 0. Так как 2 — 3+1=0, значит х₁ = -1, х₂ =-с/а= -1/2

— Решение неполных квадратных уравнений:

Например: а) -3x²+15=0 -3x²=-15 x²=5 x₁=√5 x₂=-√5

б) 4x²+9x=0 x(4x+9)=0 x=0 или 4x+9=0

в) 4x²+3=0 4x²=-3 x²=-¾ — нет корней, а значит и 4x²+3=0 –не имеет корней.

3. Биквадратное уравнение

4. Дробно-рациональные уравнения. Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, зависящие от переменной x. Дробно- рациональное уравнение – это уравнение вида f(x)/g(x)=0. Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает. ОДЗ – область допустимых значений переменной. В выражении вида f(x)/g(x)=0 ОДЗ: g(x)≠0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Например:

и

и

То есть .

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения.

Для того чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю.

Разложим каждый знаменатель на множители:

Общий знаменатель – . Домножим первую дробь на , вторую – на , третью – на

Приравниваем числитель дроби к 0.

В ОДЗ входят любые значения переменной, кроме . Значит, число 6 является корнем исходного уравнения.

5. Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня. Чтобы решить иррациональное уравнение, надо просто возвести в нужную степень обе части уравнения, а потом решать его как простое рациональное уравнение. Но не забывать про ОДЗ, подкоренное выражение обязано быть неотрицательным.

Например:

Возведем обе части уравнения в квадрат.
x 2 — 3 = 1;
x 2 = 4;
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.
Проверка.
При x₁ = -2 — верно:
При x₂ = 2— верно.
Отсюда следует, что исходное иррациональное уравнение имеет два корня -2 и 2.

6. Уравнение с модулем называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком модуля.

Простейшее уравнение с модулем │ f ( x )│= a равносильно совокупности

f ( x )= a или f ( x ) = — a , если а больше 0 , если же а меньше 0, то уравнение решений не имеет.

Для решения уравнений с модулем чаще всего используют такие методы:

1. раскрытие модуля по определению;

2. возведение обеих частей уравнения в квадрат;

3. метод интервалов.

1.5. Нестандартные методы решения уравнений

1) Метод подбора. Это самый простейший способ. Он заключается в том, что подбирают все допустимые значения неизвестного путём перечисления.

Пусть х = 1. Тогда

4 = 6. Т. к 4 не равно 6, то наше предположение, что х = 1 было неверным.

6 = 6. Т. к 6 равно 6, то наше предположение, что х = 2 было верным.

2) Графический способ.

Он заключается в том, что строится график функций данного уравнения. Т. к в линейном уравнение у = 0, то график будет параллелен оси ординат. Точка пересечения графика с осью абсцисс будет решением данного уравнения.

Пусть у = 7. Тогда у = 2х + 3.

Построим график функций обоих уравнений

3) Разложение левой части уравнения на множители

Решим уравнение 4х 2 — 16х + 15 = 0.

Решение. Разложим левую часть на множители:

4х 2 — 16х + 15 = х 2 — 10х — 6х +15 = 2х(2х -5) — 3(2х — 5) = (2х — 5)(2х -3).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

Произведение множителей равно нулю, если, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. 2х — 5= 0 или 2х -3=0

4) Метод выделения полного квадрата

Решим уравнение 4х 2 — 16х + 15 = 0.

Решение. Разделим обе части на 2: х 2 — 4х + 3,75 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат:

х 2 — 4х + 3,75 = х 2 -2·2 х + 22 — 22 +3,75 = (х -2) 2 -0,25

тогда, данное уравнение можно записать так:

(х -2) 2 -0,25 = 0, (х — 2) 2 = 0,25, х — 2= 0,5 или х — 2= — 0,5

5) Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0,где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + аbх +ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда у 2 + by + ас= 0.

Его корни у₁и у₂ найдем с помощью теоремы Виета и окончательно:

и .

При этом способе коэффициента умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Решим уравнение 4х 2 — 16х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 4 к свободному члену, в результате получим уравнение у 2 – 16у + 60 = 0.

Согласно теореме Виета: у₁=6, х₁ = 6/4, x₁ = 1,5

6) Графическое решение квадратного уравнения

Квадратное уравнение можно решать и графическим способом. Используя знания о квадратичной и линейной функциях и их графиках, можно решить квадратное уравнение так называемым функционально-графическим методом. Причем некоторые квадратные уравнения можно решить различными способами. Решим графически уравнение ах 2 + bх + с = 0. Оно равносильно уравнению ах 2 = — (bх + с). Постоим графики функций y = ах 2 и y = — bх — с в одной системе координат (рис.1). В точках х₁ и х₂ значения обеих функций равна. Следовательно, х₁ и х₂ являются корнями уравнения ах 2 = — (bх + с) и равносильного ему уравнения ах 2 + bх + с = 0. Если парабола и прямая пересекаются, то квадратное уравнение имеет два равных корня. Если же парабола и прямая не пересекаются и не касаются, то квадратное уравнение не имеет корней. Уравнение ах 2 + bх + с = 0 можно решить иначе, построив параболу y = ах 2 + bх + с = 0 и, найдя точки ее пересечения с осью Ох, если D≥0 (рис. 2).

Решим уравнение 4х 2 — 16х + 15 = 0.

Преобразуем уравнение к виду 4х 2 = 16х — 15

Построим в одной системе координат графики функций y = 4х 2 – параболу и

Источник