Способ решения задачи коши

Задача Коши для дифференциального уравнения

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения — это значит, найти общее решение, удовлетворяющее дополнительным условиям. Конкретно говоря, необходимо численно определить в общем решении все константы, количество которых равно порядку ДУ. Для понимания рассмотрим примеры задач.

Перед нами ДУ с разделяющимися переменными. Чтобы это понять достаточно записать производную в виде $y’=\frac$. Затем по переносим переменные по разные стороны уравнения. $$\frac=\frac<1><\sqrt>$$ $$dy = \frac<\sqrt>$$Интегрируем обе части равенства, используя таблицу интегрирования $$\int dy = \int \frac<\sqrt>,$$ получаем общее решение дифференциального уравнения $$y = \ln|x+\sqrt| + C.$$

Зная общее решение можно перейти к задаче Коши. Необходимо найти чем равна константа $C$. Для этого воспользуемся данными, указанными в условии к заданию $y(1)=0$. В нём $x=1$ и $y=0$. Берем и подставляем эти значения в общее решение ДУ $$\ln|1+\sqrt<1^2-1>| + C = 0,$$ $$\ln1+C=0,$$ $$C=0.$$

Теперь, зная, что $C=0$ можно записать найденное решение задачи Коши в окончательном виде $$y=\ln|x+\sqrt|.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Перед нами линейное ДУ первого порядка. Решим его методом Бернулли с помощью подстановки $y=uv \Rightarrow y’ = u’v+uv’$. Получаем: $$u’v+uv’+uv\cos x=e^<-\sin x>.$$ Выносим за скобки $u$ и составляем систему уравнений путем приравнивания скобок к нулю. $$u’v+u(v’+v\cos x)=e^<-\sin x>$$ $$\begin v’+v\cos x=0 \\ u’v=e^ <-\sin x>\end$$

В первом уравнении необходимо разделить переменные и найти чему равно $v$, чтобы подставить во второе уравнение для нахождения $u$. $$\begin \frac+v\cos x=0 \\ u’v=e^ <-\sin x>\end \Leftrightarrow \begin \frac=-\cos x dx \\ u’v=e^ <-\sin x>\end$$ Интегрируем первое уравнение $$\begin \int \frac=-\int \cos x dx \\ u’v=e^ <-\sin x>\end \Leftrightarrow \begin \ln|v|=-\sin x \\ u’v=e^ <-\sin x>\end,$$ $$\begin v=e^ <-\sin x>\\ u’v=e^ <-\sin x>\end \Leftrightarrow \begin v=e^ <-\sin x>\\ u’ = 1 \end.$$Обратите внимание что во второе уравнение подставили полученное $v=e^<-\sin x>$ и после сокращения получилась единица. В итоге система имеет решение $$\begin v=e^ <-\sin x>\\ u = x+C \end.$$

Вспоминаем про подстановку, которую проводили в самом начале решения задачи $y=uv$. Зная теперь $u$ и $v$ можно записать общее решение ДУ $$y=(x+C)e^<-\sin x>.$$ В условии задания просят найти решение дифференциального уравнения удовлетворяющее условию $y(0)=0$, поэтому вместо $x$ и $y$ подставим нули и вычислим $C$ из последнего уравнения: $$(0+C)e^ <-\sin 0>= 0,$$ $$C=0.$$ Вот теперь можно записать окончательный ответ решения задачи Коши $$y = xe^<-\sin x>$$

Дано неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение которого будет иметь вид $y_ <о.н.>= y_ <о.о.>+ y_<ч.н.>$. Для начала находим общее решение однородного уравнения $y_$, затем частное решение неоднородного уравнения $y_<ч.н.>$ с помощью метода подбора правой части уравнения.

На первом этапе решаем уравнение в качестве однородного без правой части, то есть меняем её на ноль. Заменяем все $y$ на новую переменную $\lambda$, показатель степени которой будет равен порядку производной. $$y»-y=0,$$ $$\lambda^2 — 1 = 0,$$ $$(\lambda-1)(\lambda+1)=0,$$ $$\lambda_1 = -1, \lambda_2 = 1.$$ Теперь можно записать общее решение однородного ДУ. $$y_ <о.о.>= C_1e^<\lambda x>+C_2e^ <-\lambda x>= C_1e^+C_2e^<-x>$$

Переходим к получению $y_<ч.н.>$. Смотрим на правую часть уравнения, данного в условии задачи. В неё входят синус и косинус, умноженные на многочлены нулевой степени. Значит, частное решение ищем в виде $y_ <ч.н.>= A\sin x — B\cos x$. Находим вторую производную данного выражения. $$y’ = A\cos x + B\sin x,$$ $$y»=-A\sin x + B\cos x.$$ Подставляем $y$ и $y»$ в исходное уравнение из условия задачи, чтобы найти неизвестные коэффициенты $A$ и $B$. $$-A\sin x + B\cos x — A\sin x + B\cos x = 2\sin x — 4\cos x$$ После приведения подобных получаем $$-2A\sin x + 2B\cos x = 2\sin x — 4\cos x.$$ Далее составляем систему из двух уравнений благодаря коэффициентам перед синусом и косинусом левой и правой части уравнения. $$\begin -2A = 2 \\ 2B = -4 \end \Leftrightarrow \begin A = -1 \\ B = -2 \end$$ Благодаря полученным коэффициентам $A$ и $B$ записываем $$y_ <ч.н.>= -\sin x + 2\cos x$$

Итак, общее решение неоднородного дифференциального уравнения в итоге будет иметь вид $$y_ <о.н.>= y_ <о.о.>+ y_ <ч.н.>= C_1e^+C_2e^ <-x>-\sin x + 2\cos x.$$

Так как требуется найти решение задачи Коши, то ход действий на этом не закончен. Переходим к вычислению коэффициентов $C_1$ и $C_2$.

Берём первую производную $y’ = C_1e^x — C_2e^ <-x>— \cos x — 2\sin x$.

Теперь можно составить систему уравнений $$\begin y'(0)=0 \\ y(0) = 0 \end \Leftrightarrow \begin C_1 — C_2 — 1 = 0 \\ C_1 + C_2 + 2 = 0 \end.$$ Решаем систему уравнений. $$\begin C_1 = C_2 + 1 \\ C_2 + 1 + C_2 + 2 = 0 \end \Leftrightarrow \begin C_1 = C_2 + 1 \\ C_2 = -\frac<3> <2>\end \Leftrightarrow \begin C_1 = -\frac<1> <2>\\ C_2 = -\frac<3> <2>\end.$$

Теперь подставляя полученные константы в общее решение дифференциального уравнения записываем решение задачи Коши в окончательном виде $$y = -\frac<1><2>e^x — \frac<3><2>e^ <-x>-\sin x + 2\cos x.$$

Источник

Задачи с начальными условиями для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений $$ \begin \tag <1>\frac &= f_i (t, u_1, u_2, \ldots, u_n), \quad t > 0\\ \tag <2>u_i(0) &= u_i^0, \quad i = 1, 2, \ldots, m. \end $$

Используя векторные обозначения, задачу (1), (2) можно записать как задачу Коши $$ \begin \tag <3>\frac> &= \pmb(t, \pmb), \quad t > 0, \\ \tag <4>\pmb(0) &= \pmb_0 \end $$ В задаче Коши необходимо по известному решению в точке \( t = 0 \) необходимо найти из уравнения (3) решение при других \( t \).

Численные методы решения задачи Коши

Существует большое количество методов численного решения задачи (3), (4). Вначале рассмотрим простейший явный метод Эйлера и его программную реализацию. Затем будут представлены методы Рунге—Кутта и многошаговые методы.

При построении численных алгоритмов будем считать, что решение этой дифференциальной задачи существует, оно единственно и обладает необходимыми свойствами гладкости.

Идея численных методов решения задачи (3), (4) состоит из четырех частей:

1. Вводится расчетная сетка по переменной \( t \) (время) из \( N_t + 1 \) точки \( t_0 \), \( t_1 \), \( \ldots \), \( t_ \). Нужно найти значения неизвестной функции \( \pmb \) в узлах сетки \( t_n \). Обозначим через \( \pmb^n \) приближенное значение \( \pmb(t_n) \).

2. Предполагаем, что дифференциальное уравнение выполнено в узлах сетки.

3. Аппроксимируем производные конечными разностями.

4. Формулируем алгоритм, который вычисляет новые значения \( \pmb^ \) на основе предыдущих вычисленных значений \( \pmb^k \), \( k 0 \) при \( \tau\to 0 \).

Явный метод Эйлера

Проиллюстрируем указанные шаги. Для начала введем расчетную сетку. Очень часто сетка является равномерной, т.е. имеет одинаковое расстояние между узлами \( t_n \) и \( t_ \): $$ \omega_\tau = \< t_n = n \tau, n = 0, 1, \ldots, N_t \>. $$

Затем, предполагаем, что уравнение выполнено в узлах сетки, т.е.: $$ \pmb^\prime (t_n) = \pmb(t_n, u(t_n)), \quad t_n \in \omega_\tau. $$

Заменяем производные конечными разностями. С этой целью, нам нужно знать конкретные формулы, как производные могут быть аппроксимированы конечными разностями. Простейший подход заключается в использовании определения производной: $$ \pmb^\prime(t) = \lim_ <\tau \to 0>\frac<\pmb(t+\tau) — \pmb(t)><\tau>. $$

В произвольном узле сетки \( t_n \) это определение можно переписать в виде: $$ \begin \pmb^\prime(t_n) = \lim_ <\tau \to 0>\frac<\pmb(t_n+\tau) — \pmb(t_n)><\tau>. \end $$ Вместо того, чтобы устремлять шаг сетки к нулю, мы можем использовать малый шаг \( \tau \), который даст численное приближение \( u^\prime(t_n) \): $$ \begin \pmb^\prime(t_n) \approx \frac<\pmb^ — \pmb^><\tau>. \end $$ Такая аппроксимация известна как разностная производная вперед и имеет первый порядок по \( \tau \), т.е. \( O(\tau) \). Теперь можно использовать аппроксимацию производной. Таким образом получим явный метод Эйлера: $$ \begin \tag <5>\frac<\pmb^ — \pmb^n> <\tau>= \pmb(t_n, \pmb^). \end $$

Четвертый шаг заключается в получении численного алгоритма. Из (5) следует, что мы должны знать значение \( y^n \) для того, чтобы решить уравнение (5) относительно \( y^ \) и получить формулу для нахождения приближенного значения искомой функции на следующем временном слое \( t_ \): $$ \begin \tag <6>\pmb^ = \pmb^n + \tau \pmb(t_n, \pmb^) \end $$

При условии, что у нас известно начальное значение \( \pmb^0 = \pmb_0 \), мы можем использовать (6) для нахождения решений на последующих временных слоях.

Программная реализация явного метода Эйлера

Выражение (6) может быть как скалярным так и векторным уравнением. И в скалярном и в векторном случае на языке Python его можно реализовать следующим образом

При решении системы (векторный случай), u[n] — одномерный массив numpy длины \( m+1 \) (\( m \) — размерность задачи), а функция F должна возвращать numpy -массив размерности \( m+1 \), t[n] — значение в момент времени \( t_n \).

Таким образом численное решение на отрезке \( [0, T] \) должно быть представлено двумерным массивом, инициализируемым нулями u = np.zeros((N_t+1, m+1)) . Первый индекс соответствует временному слою, а второй компоненте вектора решения на соответствующем временном слое. Использование только одного индекса, u[n] или, что то же самое, u[n, :] , соответствует всем компонентам вектора решения.

Функция euler решения системы уравнений реализована в файле euler.py:

Строка F_ = lambda . требует пояснений. Для пользователя, решающего систему ОДУ, удобно задавать функцию правой части в виде списка компонент. Можно, конечно, требовать чтобы пользователь возвращал из функции массив numpy , но очень легко осуществлять преобразование в самой функции решателе. Чтобы быть уверенным, что результат F будет нужным массивом, который можно использовать в векторных вычислениях, мы вводим новую функцию F_ , которая вызывает пользовательскую функцию F «прогоняет» результат через функцию assaray модуля numpy .

Неявный метод Эйлера

При построении неявного метода Эйлера значение функции \( F \) берется на новом временном слое, т.е. для решении задачи (5) используется следующий метод: $$ \begin \tag <7>\frac<\pmb^ — \pmb^n> <\tau>= \pmb(t_, \pmb^). \end $$

Таким образом для нахождения приближенного значения искомой функции на новом временном слое \( t_ \) нужно решить нелинейное уравнение относительно \( \pmb^ \): $$ \begin \tag <8>\pmb^ — \tau \pmb(t_, \pmb^) — y^n = 0. \end $$

Для решения уравнения (8) можно использовать, например, метод Ньютона.

Программная реализация неявного метода Эйлера

Функция backward_euler решения системы уравнений реализована в файле euler.py:

Отметим, что для нахождения значения u[n+1] используется функция fsolve модуля optimize библиотеки scipy . В качестве начального приближения для решения нелинейного уравнения используется значение искомой функции с предыдущего слоя u[n] .

Методы Рунге—Кутта

Одношаговый метод Рунге—Кутта в общем виде записывается следующим образом: $$ \begin \tag <9>\frac<\pmb^ — \pmb^n> <\tau>= \sum_^s b_i \pmb_i, \end $$ где $$ \begin \tag <10>\pmb_i = \pmb\left( t_n + c_i\tau, \pmb^n + \tau \sum_^s a_\pmb_j \right), \quad i = 1, 2, \ldots, s. \end $$ Формула (9) основана на \( s \) вычислениях функции \( \pmb \) и называется \( s \)-стадийной. Если \( a_ = 0 \) при \( j \geq i \) имеем явный метод Рунге—Кутта. Если \( a_ = 0 \) при \( j > i \) и \( a_ \ne 0 \), то \( \pmb_i \) определяется неявно из уравнения $$ \begin \tag <11>\pmb_i = \pmb\left( t_n + c_i\tau, \pmb^n + \tau \sum_^ a_\pmb_j + \tau a_ \pmb_i \right), \quad i = 1, 2, \ldots, s. \end $$ О таком методе Рунге—Кутта говорят как о диагонально-неявном.

Одним из наиболее распространенных является явный метод Рунге-Кутта четвертого порядка: $$ \begin \tag <12>\pmb_1 & = \pmb(t_n, \pmb^n), &\quad \pmb_2 &= \pmb\left( t_n + \frac<\tau><2>, \pmb^n + \tau \frac<\pmb_1> <2>\right),\\ \pmb_3 &= \pmb\left( t_n + \frac<\tau><2>, \pmb^n + \tau \frac<\pmb_2> <2>\right), &\quad \pmb_4 &= \pmb\left( t_n + \tau, \pmb^n + \tau \pmb_3 \right),\\ \frac<\pmb^ -\pmb^n> <\tau>&= \frac<1> <6>(\pmb_1 + 2\pmb_2 + 2\pmb_3 + \pmb_4) & & \end $$

Многошаговые методы

В методах Рунге—Кутта в вычислениях участвуют значения приближенного решения только в двух соседних узлах \( \pmb^n \) и \( \pmb^ \) — один шаг по переменной \( t \). Линейный \( m \)-шаговый разностный метод записывается в виде $$ \begin \tag <13>\frac<1> <\tau>\sum_^m a_i \pmb^ = \sum_^ b_i \pmb(t_, \pmb^), \quad n = m-1, m, \ldots \end $$ Вариант численного метода определяется заданием коэффициентов \( a_i \), \( b_i \), \( i = 0, 1, \ldots, m \), причем \( a_0 \ne 0 \). Для начала расчетов по рекуррентной формуле (13) необходимо задать \( m \) начальных значений \( \pmb^0 \), \( \pmb^1 \), \( \dots \), \( \pmb^ \) (например, можно использовать для их вычисления метод Эйлера).

Различные варианты многошаговых методов (методы Адамса) решения задачи с начальными условиями для систем обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть получены на основе использования квадратурных формул для правой части равенства $$ \begin \tag <14>\pmb(t_) — \pmb(t_n) = \int_^> \pmb(t, \pmb) dt \end $$

Для получения неявного многошагового метода используем для подынтегральной функции интерполяционную формулу по значениям функции \( \pmb^ = \pmb(t_, \pmb^) \), \( \pmb^n \), \( \dots \), \( \pmb^ \), т.е. $$ \begin \tag <15>\frac<\pmb^ — \pmb^n> <\tau>= \sum_^ b_i \pmb(t_, \pmb^) \end $$

Для интерполяционного метода Адамса (15) наивысший порядок аппроксимации равен \( m+1 \).

Для построения явных многошаговых методов можно использовать процедуру экстраполяции подынтегральной функции в правой части (14). В этом случае приближение осуществляется по значениям \( \pmb^n \), \( \pmb^ \), \( \dots \), \( \pmb^ \) и поэтому $$ \begin \tag <16>\frac<\pmb^ — \pmb^n> <\tau>= \sum_^ b_i \pmb(t_, \pmb^) \end $$

Для экстраполяционного метода Адамса (16) погрешность аппроксимации имеет \( m \)-ый порядок.

На основе методов Адамса строятся и схемы предиктор–корректор. На этапе предиктор используется явный метод Адамса, на этапе корректора — аналог неявного метода Адамса. Например, при использовании методов третьего порядка аппроксимации в соответствии с (18) для предсказания решения положим $$ \frac<\pmb^ — \pmb^n> <\tau>= \frac<1> <12>(23 \pmb^ -16\pmb^ + 5\pmb^). $$ Для уточнеия решения (см. (17)) используется схема $$ \frac<\pmb^ — \pmb^n> <\tau>= \frac<1> <24>(9\pmb^ + 19\pmb^ — 5\pmb^ + \pmb^). $$ Аналогично строятся и другие классы многошаговых методов.

Жесткие системы ОДУ

При численном решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (3), (4) могут возникнуть дополнительные трудности, порожденные жесткостью системы. Локальные особенности поведения решения в точке \( u = w \) передаются линейной системой $$ \begin \frac

= \sum_^ \frac<\partial f_i> <\partial u_j>(t, w) v + \bar(t), \quad t > 0. \end $$

Пусть \( \lambda_i(t) \), \( i = 1, 2, \ldots, m \) — собственные числа матрицы $$ \begin A(t) = \< a_(t) \>, \quad a_(t) = \frac<\partial f_i><\partial u_j>(t, w). \end $$ Система уравнений (3) является жесткой, если число $$ \begin S(t) = \frac <\max_<1 \leq i \leq m>|Re \lambda_i(t)|> <\min_<1 \leq i \leq m>|Re \lambda_i(t)|> \end $$ велико. Это означает, что в решении присутствуют составляющие с сильно различающимися масштабами изменения по переменной \( t \).

Для численное решения жестких задач используются вычислительные алгоритмы, которые имеют повышенный запас устойчивости. Необходимо ориентироваться на использование \( A \)-устойчивых или \( A(\alpha) \)-устойчивых методов.

Метод называется \( A \)-устойчивым, если при решении задачи Коши для системы (3) область его устойчивости содержит угол $$ \begin |\arg(-\mu)| —>

Источник

Читайте также:  Home assistant вы используете неподдерживаемый способ установки

Оцените статью

Вам также может понравиться

Ясень семена способ распространения

Ясень обыкновенный Fraxinus excelsior – так в ботанической

Ярлыки способы создания ярлыков ос windows

Создаем ярлыки на рабочем столе Windows Создаем ярлыки

Японское удобрение фуджима способ применения

Удобрения Фуджима Знаете потрясающее удобрение, палочка

Японский чай способ заварки

Технология заваривания японского чая Известно, что

• Правообладателям
• Политика конфиденциальности
• Контакты