Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям:
возвратные (симметричные) уравнения
Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.
К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:
 | Трёхчленные уравнения |
| Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии |
| Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени |
| Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени |
| Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени |
Замечание . Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения» , относятся к типу «Трехчленные уравнения» .
Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени
Возвратным уравнением 3-ей степени называют уравнение вида
| a x 3 + b x 2 + b x + a = 0, | (1) |
где a , b – заданные числа.
Решение уравнения (1) осуществляется при помощи разложения левой части уравнения (1) на множители:
Для завершения решения уравнения (1) остаётся лишь решить квадратное уравнение
Пример 1 . Решить уравнение
| 2x 3 + 7x 2 + 7x + 2 = 0. | (2) |
Решение . Разложим левую часть уравнения (2) на множители:
Ответ :
.
Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени
Возвратными (симметричными) уравнениями 4-ой степени называют уравнения вида
| a x 4 + b x 3 + cx 2 + + b x + a = 0, | (3) |
а также уравнения вида
| a x 4 + b x 3 + cx 2 – – b x + a = 0, | (4) |
Для того, чтобы решить возвратное уравнение (3), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение
Преобразуем левую часть уравнения (5):
В результате этого преобразования уравнение (5) принимает вид
Если теперь обозначить
 | (7) |
то уравнение (6) станет квадратным уравнением:
| a y 2 + b y + c – 2 a = 0. | (8) |
Найдем корни уравнения (8), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (7), решим полученное уравнение относительно x .
Описание метода решения уравнений вида (3) завершено.
Для того, чтобы решить возвратное уравнение (4), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение
Преобразуем левую часть уравнения (9):
В результате этого преобразования уравнение (9) принимает вид
Если теперь обозначить
 | (11) |
то уравнение (10) станет квадратным уравнением:
| a y 2 + b y + c + 2 a = 0. | (12) |
Найдем корни уравнения (13), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (11), решим полученное уравнение относительно x .
Описание метода решения уравнений вида (4) завершено.
Пример 2 . Решить уравнение
| 2x 4 – 3x 3 – x 2 – – 3x + 2 = 0. | (13) |
Решение . Уравнение (13) является возвратным и относится к виду (3). Разделим его на x 2 . В результате получится уравнение
Преобразуем левую часть уравнения (14):
В результате этого преобразования уравнение (14) принимает вид
Если теперь обозначить
 | (16) |
то уравнение (15) станет квадратным уравнением:
| 2y 2 – 3y – 5 = 0. | (17) |
 | (18) |
В первом случае из равенства (16) получаем уравнение:
которое решений не имеет.
Во втором случае из равенства (16) получаем:
Ответ : 
Пример 3 . Решить уравнение
| 6x 4 – 25x 3 + 12x 2 + + 25x + 6 = 0. | (19) |
Решение . Уравнение (19) является возвратным и относится к виду (4). Разделим его на x 2 . В результате получится уравнение
Преобразуем левую часть уравнения (20):
В результате этого преобразования уравнение (20) принимает вид
Если теперь обозначить
 | (22) |
то уравнение (21) станет квадратным уравнением:
| 6y 2 – 25y + 24 = 0. | (23) |
 | (24) |
В первом случае из равенства (22) получаем:
Во втором случае из равенства (22) получаем:
Ответ : 
Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени
Обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени назовём уравнение вида
где a , b , c, d – заданные числа.
Для того, чтобы решить уравнение (25), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение
Преобразуем левую часть уравнения (26):
В результате этого преобразования уравнение (26) принимает вид
Если теперь обозначить
 | (28) |
то уравнение (27) станет квадратным уравнением:
 | (29) |
Найдем корни уравнения (29), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (28), решим полученное уравнение относительно x .
Описание метода решения уравнений вида (25) завершено.
Пример 4 . Решить уравнение
| 2x 4 – 15x 3 + 35x 2 – – 30 x + 8 = 0. | (30) |
Решение . Введем для коэффициентов уравнения (30) следующие обозначения
и найдем значение выражения
то уравнение (30) является обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени. В соответствии с изложенным выше, разделим его на x 2 . В результате получится уравнение
Преобразуем левую часть уравнения (31):
В результате этого преобразования уравнение (31) принимает вид
Если теперь обозначить
 | (33) |
то уравнение (32) станет квадратным уравнением:
| 2y 2 – 15y + 27 = 0. | (34) |
В первом случае из равенства (33) получаем:
Во втором случае из равенства (33) получаем:
Ответ : 
Источник
