Методы решения олимпиадных задач по математике
Почти всегда при решении задач по геометрии приходится обращаться к использованию алгебры. Создается алгебраическая модель геометрической ситуации, которая исследуется и позволяет ответить на вопрос, который поставлен в задаче.
- Тождественные преобразования
Осуществляя тождественные преобразования, можно свести сложные выражения к более простым или к таким, которые более тесно связаны с тем, что требуется найти в задаче.
Во множестве целых чисел операция деления выполняется не всегда. Анализ условий, при которых эта операция осуществляется, использование свойств делимости и позволяет получить информацию про общую ситуацию, которая может оказаться полезной при ответе на вопрос задачи.
- Метод бесконечного спуска
Анализ ситуации, поставленной в задаче, позволяет заметить возможность организации бесконечного процесса. Исследование условий, при которых этот бесконечный процесс возможен, позволяет получить дополнительную информацию, которая оказывается полезной при решении задачи.
- Переход к новым переменным
Соотношения, описанные в условии задачи, выражаются формулами, которые связывают конкретные характеристики объектов. От вода формулы зависит ее исследование. Формула может упроститься, если выбрать иные характеристики, новые переменные.
- Сведение к квадратному уравнению
Решение многих сложных уравнений можно свести к исследованию квадратных уравнений, при этом используются связи между корнями и коэффициентами, условие существования корней.
Индукция позволяет после разбора нескольких частных случаев выделить определенную гипотезу, которая может помочи провести анализ общей ситуации
- Инвариант и полуинвариант
Инвариант – это то, что на изменяется в некотором процессе. Полуинвариант – это то, что в некотором процессе изменяется в одну сторону (возрастает или убывает). Нестандартные задачи на инвариант (полуинвариант) можно условно разбить на два вида: те, в которых требуется доказать инвариантность данной величины, и те, в которых инвариант используется при решении и сразу не очевиден. Принцип решения задач основан на поиске действий, которые относятся к задаче (инвариант объекта). Стандартным является рассуждение: пусть на некотором шаге получился объект А. Осуществим над ним допустимые действия и получим объект В. Что в них общее? Что изменилось? Принцип применения инварианта часто остается непонятным и тяжелым для учеников. Поэтому нужно обратить особое внимание на усвоение самой логики применения инварианта.
Главное в решении подобных задач – придумать сам инвариант. Это настоящее искуство, которым можно овладеть только имея опыт решения таких задач.
Этот метод связан с определенным огрублением условия, переходом к неравенствам, которые сохраняют основные соотношения между объектами.
- Рассмотрение частных случаев
Данная идея связана с использованием конкретизации условия задачи и анализом связей между рассмотренными случаями и общей ситуацией.
Внутренняя симметрия проявляется тогда, когда определенные преобразования не нарушают отношений между величинами задачи.
Источник
исследовательская работа «Некоторые методы решения олимпиадных задач»
Каждый год в школе проводится первый тур олимпиад, затем муниципальные и т.д. Олимпиадные задачи, как правило, являются нестандартными, т.е. требующими использования всех знаний в нестандартных ситуациях, но в школьном курсе математики этому вопросу внимания практически не уделяется.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| is.rabota.docx | 130.43 КБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Троицкая средняя общеобразовательная школа
Муниципальная научно-практическая конференция
Естественно- научное направление
«Некоторые методы решения
Автор: Чернышева Любовь
ученица 8 класса
Руководитель: Зубова Анна Николаевна
Изучение типов олимпиадных задач и методов их решения………………….8
Памятка участнику олимпиады ………………………………………………. 18
Каждый год в школе проводится I тур математической олимпиады, затем муниципальная олимпиада и т.д. Внешняя простота таких задач — их условия — обманчива. Кто хотя бы раз в жизни пробовал решать математические олимпиадные задачи, тот понимает, о чем идет речь. Олимпиадные задачи, как правило, являются нестандартными, т.е. требующими использования всех знаний в нестандартных ситуациях, но в школьном курсе математики этому вопросу внимания практически не уделяется. Поэтому я решила разобраться в решении этих задач, попробовать их исследовать, найти общие идеи и методы решения.
Целью моей учебно-исследовательской работы является исследование и изучение основных типов олимпиадных задач, ознакомление с методами их решения и развитие познавательного интереса учащихся к такому виду задач.
Были поставлены такие задачи :
— изучить и понять типы олимпиадных задач;
— выявить отношение учащихся к такому виду задач;
— рассмотреть идеи и методы решения олимпиадных задач;
— наработать навыки в решении таких задач (выпуск методички).
Объектом нашего исследования являются разные олимпиадные задачи: логические задачи, задачи на переливание и взвешивание, задачи с отношениями, задачи на чет и нечет, задачи на делимость, раскраски в шахматном порядке. А предмет исследования — способы решения таких задач.
Актуальность. Две стихии господствуют в математике — числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. Задача- это почти всегда поиск, раскрытие каких-то свойств и отношений, а средства её решения- это интуиция и догадка, эрудиция и владение методами математики. Эти же качества человеческого ума воспитываются, укрепляются, обогащаются у каждого, кто регулярно отдает часть своего досуга умственной гимнастике, лучшим видом которой является решение математических головоломок, ребусов, задач с интригующим содержанием.
Гипотеза: Изучение методов решения олимпиадных задач повысит интерес учащихся к принятию участия в них; способствует развитию компетентной личности, владеющей настойчивостью, инициативой, самостоятельностью.
Методы изучения нашей проблемы:
Поисковый метод с использованием научной и учебной литературы;
Исследовательский метод при определении видов олимпиадных задач и методов их решений;
Практический метод решения задач.
Что же мы понимаем под олимпиадными задачами?
Олимпиадные задачи в математике — термин для обозначения круга задач, для решения которых обязательно требуется неожиданный и оригинальный подход.
Математические соревнования и конкурсы имеют давнюю историю. Так сохранились сведения о том, что уже в древней Индии (около 2000 г. До н.э.) для решения математических задач устраивались состязания в присутствии многочисленных зрителей. Широкое распространение получили математические турниры в эпоху возрождения. Школьные математические олимпиады берут свое начало с так называемого «этвёшского соревнования», проведенного в 1894 г. в Венгрии по инициативе Лорана Этвёша – президента Венгерского физико-математического общества. В СССР первые математические соревнования школьников состоялись в Грузии. В 1933 г. в Тбилиси были проведены первые школьные и районные олимпиады. Первые городские олимпиады состоялись в Тбилиси и Ленинграде в 1934 г. на следующий год в Москве и Киеве. В дальнейшем олимпиадное движение распространилось по всей стране. Идея объединить олимпиадное движение в масштабе всей страны впервые была реализована в 1960 г. и начиная с 1961 г. регулярно стали проводиться так называемые Всероссийские математические олимпиады.
На выполнение олимпиадных задач отводится строго определенное время, в качестве заданий предлагаются не задачи обязательного или повышенного уровня (по школьным меркам), а задания нестандартные.
Какая же задача называется нестандартной? «Нестандартные задачи- это такие задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения.» (Фридман Л.М. Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи.- Москва. Просвещение 1989г). Однако, следует заметить, что понятие «нестандартная задача» является относительным. Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной, в зависимости от того, знакомы ли мы со способами решения задач такого типа. Таким образом, нестандартная задача- это задача, алгоритм которой неизвестен, т.е. неизвестен ни способ её решения, ни то, на какой учебный материал опирается решение. А многие задачи требуют и специальных знаний, подготовки. К таким задачам относятся задачи на смекалку, на логику, применения инвариантов, задачи на раскраски, чет и нечет и т.д. Конечно, для успешного решения любой задачи нужно уметь думать, догадываться, но этого мало. Нужны знания и опыт в решении задач. Полезно владеть и определенными общими подходами к решению таких задач. Поэтому мы решили разобраться в решении этих задач, попробовать их исследовать, найти общие подходы. Любая задача должна чему-нибудь научить. Решение каждой задачи должно быть шагом вперед в развитии математических знаний, умений и навыков, должно обогащать знания и опыт, учить ориентироваться в различных ситуациях.
Сложность олимпиадной задачи – это объективная характеристика задачи, определяемая ее структурой. Сложность задачи зависит от:
— объема информации(числа понятий, суждений и т.п.), необходимого для ее решения;
— числа данных в задаче;
— числа связей между ними;
— количества возможных выводов из условия задачи;
— количества взаимопроникновений при решении задачи;
— длины рассуждений при решении задачи;
-общего числа шагов решения, привлеченных аргументов и т.д.
Трудность олимпиадной задачи – субъективная характеристика задачи, определяемая взаимоотношениями между задачей и решающим ее учеником. Трудность задачи зависит от:
— сложности задачи (сложная задача, как правило, является более трудной для учащихся);
— времени прошедшего после изучения материала, который встречается в тексте задачи (задачи на материал, изученный 1-2 года назад, используемые факты, которые уже забылись);
— практики в решении подобного рода задач;
— уровня развития ученика (задача, тяжелая для ученика общеобразовательного класса, может быть легкой для ученика физико-математического класса);
Нами, предварительно было проведено анкетирование по отношению учащихся 5-7 класса к решению олимпиадных задач.
Анкета для учащихся.
Желали бы вы принять участие в математической олимпиаде!
Да / Нет Почему_______________________________________
В опросе принимало участие 22 учащихся .
Желание участвовать в олимпиаде по математике распределилось следующим образом по классам:
При ответе «Нет» учащиеся давали следующие пояснения: такие задачи на уроках не решают; никогда не встречал таких задач; задачи слишком трудные для меня; не знаю с чего начать; очень сложно; наберу меньше всех баллов – будут смеяться.
Ребятам желающим принять участие были предложены по классам олимпиадные задачи различных типов. Выполнение которых отражено в таблице.
Источник
Статья » Методические аспекты обучения решению олимпиадных задач на уроках математики и во внеурочное время»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Курский государственный университет»
Факультет физики, математики и информатики
Специальность 050201 (032100) Математика
Специализация 032105 – преподавание в классах с углубленным изучением математики
Кафедра алгебры, геометрии и теории обучения математике
Выпускная квалификационная (дипломная) работа на тему:
«Методические аспекты обучения решению олимпиадных задач на уроках математики и во внеурочное время»
студентка 6 курса
БЕСКРОВНАЯ Елена Ильинична
кандидат педагогических наук, доцент Фрундин В. Н.
Что означает владение математикой?
Это есть умение решать задачи, причем
не только стандартные, но и требующие известной
независимости мышления, здравого смысла,
Сегодня, в век постиндустриального, информационного общества, возрастает роль естественно-математических знаний, и это требует целенаправленных усилий по развитию интересов, склонностей и способностей учащихся общеобразовательной школы в области естественно-математических наук.
Одной из наиболее значимых форм повышенной математической подготовки являются математические олимпиады. Предметные олимпиады школьников в условиях современной школы — действенное средство формирования мотивации к учению, повышения познавательной активности учащихся, развития их творческих способностей, углубления и расширения знаний школьника по предмету. В первую очередь, олимпиады способствуют развитию умений решать задачи повышенной трудности. Олимпиады готовят учащихся к жизни в современных условиях, в условиях конкуренции. Умение решать задачи, особенно олимпиадные, всегда являлось одним из показателей математической одаренности ученика. Сегодня по итогам олимпиад оценивают итоги внеклассной и внешкольной работы по математике в школе, районе, области (крае, республике). Школьные, районные, региональные, окружные олимпиады позволяют сравнить качество математической подготовки, состояние преподавания в классах школы, в школах района, области и т. д.
Предметные олимпиады школьников в нашей стране проводятся уже в течение многих десятилетий. Столь длительный период существования олимпиадного движения доказывает педагогическую и общественную значимость данной формы внеклассной работы с учащимися, жизненность олимпиад. Если в период зарождения и становления движения олимпиады по математике организовывались преимущественно с целью отбора наиболее способной молодежи в вузы страны, то сегодня они предстают как мероприятие государственное, охватывающее миллионы учащихся, и проводимое ежегодно по всей стране под руководством центрального оргкомитета. Ни в одной стране мира олимпиадное движение не достигало подобного размаха, не было столь массовым. Популярность олимпиад свидетельствует о том интересе, который вызывают у учащихся математические соревнования, и показывает, что в наше время олимпиады являются важным средством развития математических способностей учащихся, в определенном смысле подводящем итоги работы педагогических коллективов в области повышения уровня математического развития учащихся.
Актуальность и выбор темы обусловлены той важной ролью, которая объективно принадлежит математическим олимпиадам в деле выявления учащихся, проявляющих склонности и способности к занятиям математикой, в совершенствовании содержания и форм работы по повышению уровня математических знаний учащихся в школе.
Существенный вклад в становление и развитие олимпиадного движения, в разработку методик организации и проведения олимпиад внесли такие ученые и педагоги, как П.С. Александров, Л.Д. Глейзер, Б.Н. Делоне, В.Ф. Каган, М. Клайн, А.Н. Колмогоров, Л.А. Люстерник, А.И. Маркушевич, И.С. Петраков, Д. Пойа, В.И. Смирнов, С.Л. Соболев, В.А. Тартаковский, Г.А. Тоноян, Г.М. Фихтенгольц, СИ. Шварцбурд, Л.Г. Шнирельман и др.
В настоящее время имеется достаточно большое количество работ, посвященных предметным олимпиадам (С.Д. Абдурахманов, Т.М. Адамович, А.Л. Брудно, П. Буруджак, Г.И. Васильева, И. Вендти, СУ. Гончаренко, В. Горшковский, Р.Г. Иванова, П.Л. Капица, Л.И. Каплан, 3. Кванневский, М.О. Кицай, СМ. Козел, Л.Г. Корнеева, К.К. Кудава, М.А. Лаврентьев, В.И. Лукашик, Р.И. Малафеев, В.А. Орлов, И.С. Петраков, П.Н. Протасов, В.Г. Разумовский, и др.). В них раскрываются вопросы содержания, методического обеспечения олимпиад школьников.
Говоря об олимпиадных задачах, необходимо иметь в виду следующие вопросы:
— возможно ли, и насколько эффективно использовать олимпиадные задачи при изучении математики на уроках;
— все дети могут решать олимпиадные задачи или только одаренные;
— какова эффективность обучения учащихся решению нестандартных, нетривиальных задач.
Решение данных вопросов и составляет проблему нашего исследования.
Цель исследования: разработка дидактических материалов по теме «Олимпиадные задачи по математике» и методических рекомендаций по их применению, направленных на повышение эффективности подготовки учащихся к математическим олимпиадам.
Объектом исследования является процесс обучения учащихся решению олимпиадных задач на уроках математики и во внеурочное время.
Предмет исследования: методические рекомендации для обучения учащихся решению олимпиадных задач некоторых типов на уроках математики и внеурочное время.
Задачи данного исследования:
— проанализировать методическую и психолого-педагогическую литературу и дать определение понятию «олимпиадная задача»;
— изучить зарождение и развитие российских математических олимпиад и раскрыть их функцию по совершенствованию учебно-воспитательного процесса в школе;
— определить теоретические аспекты построения решения олимпиадных задач;
– разработать методические рекомендации по некоторым типам олимпиадных задач (принцип Дирихле, задачи на делимость, задачи на игровую стратегию, задачи на раскраску).
При хорошей профессиональной, методической подготовке учащихся на уроках математики или во внеурочное время, на факультативах к математическим олимпиадам происходят изменения образовательной сферы школьников, которая влияет на их успешность и достижения в области решения задач математических олимпиад.
Работа состоит из введения, двух глав, заключения. Первая глава содержит в себе два параграфа, где мы предлагаем краткий обзор истории развития олимпиадного движения по математике и выделяем теоретические аспекты построения решения олимпиадных задач. Вторая глава состоит из четырех параграфов, каждый из которых посвящен отдельному типу олимпиадных задач.
1 . Математические олимпиады в системе школьного образования
1.1. Становление и развитие математических олимпиад
Олимпиады возникли в Древней Греции в 776 году до н.э. Это были большие праздники, включающие в себя не только различные спортивные соревнования, но и конкурсы искусств. Они просуществовали до 394 г. н.э., так как распространившееся христианство сделало их проведение невозможным.
Конкурсы по решению задач также исторически получили название олимпиад. Математические соревнования в истории математики известны с давних пор. Математические турниры процветали в Неаполитанском Королевстве Фридриха II Гогенштауфена (XIII век). В драматичной истории решения алгебраических уравнений 3-го и 4-го порядка (XVI век) большое место занимали « Математические соревнования». Эти соревнования носили более личный характер, чем современные олимпиады. Необходимо заметить, что образованная публика живо интересовалась состязаниями подобного рода.
В XVIII веке были популярны «Соревнования по переписке», в которых принимали участие Бернулли, Эйлер, Ньютон, Лейбниц и другие. Впрочем, традиция таких турниров является неизмеримо более ранней: так, например, еще Архимед посылал для решения задачи (иногда намеренно неверные) своим коллегам и соперникам в Александрию.
До нашего времени дошли свидетельства и о других конкурсах такого рода, с которыми связаны некоторые из наиболее выдающихся открытий в области математики. Достаточно сказать, что такие соревнования привели к зарождению и развитию в XVII веке интегрального и вариационного исчисления. В более поздние времена систематически проводились состязания на приз французской Академии наук, благодаря чему был получен ряд обширных научных статей и монографий.
В XIX и XX столетиях существовали Concours General (общие соревнования), Concours of the French grandes ecoles (соревнования так называемых «Больших школ» Франции) или конкурсные экзамены в «Большие школы», а также знаменитые Кэмбриджские математические экзамены (Mathematical Tripos), где целью участников было получение отличной оценки. Ясно, что все перечисленные выше состязания преследовали гораздо более серьезные цели, чем школьные математические олимпиады.
Одной из первых предметных олимпиад — прообраза современных массовых соревнований школьников — можно считать Этвешское соревнование в Венгрии в 1896 г., ставшее первой математической олимпиадой.
Зарождение математического олимпиадного движения в России получило свое развитие в конце XIX века.
По сохранившимся данным, самая первая математическая олимпиада на территории СССР была проведена в Тбилиси 3 ноября 1933 года.
К середине 30-х годов XX века многие советские ученые-математики пришли к мысли о необходимости сотрудничества со школой в деле подготовки математической смены. Поэтому широкое развитие получили олимпиады по математике в СССР в середине 40-х годов прошлого века. Первой массовой олимпиадой в нашей стране была математическая олимпиада, проведенная в 1934 г. в Ленинградском университете по инициативе члена-корреспондента Б.Н. Делоне и профессора В.А. Тартаковского. Первая ленинградская олимпиада состояла из трех туров: I и II туры имели подготовительный характер, основное значение для выявления победителей имел III тур. На нем каждому участнику было предложено по 2 задачи из различных областей математики.
В Москве математические олимпиады начали проводиться с 1935 года. На первую московскую олимпиаду собрались старшеклассники школ города, рабфаковцы, слушатели курсов по подготовке в вуз, учащиеся школ для взрослых. Сохранились данные о количестве и составе участников первой московской математической олимпиады.
В первом отборочном туре этой олимпиады участвовало 314 человек, среди них — 227 школьников. Подавляющее большинство «олимпийцев» были юношами, средний возраст участников — 16-20 лет. Олимпиада проходила в два тура.
Успех первых математических олимпиад способствовал полной перестройке всей работы со способными школьниками. После проведения олимпиады было решено перенести эту работу в университет и объединить ее с лекциями, читавшимися ранее в Математическом институте АН СССР. Так возник школьный математический кружок при МГУ.
«До Великой Отечественной войны математические олимпиады проводились ежегодно и очень скоро завоевали общее признание. При многих университетах начали действовать математические кружки для школьников. В организации и проведении довоенных олимпиад активное участие принимали молодые преподаватели и аспиранты физико-математического факультета Г.И. Дринфельд, И.Г. Ильин, К.Я. Латышева» 9 .
Во время Отечественной войны московские математики провели олимпиады в Ашхабаде и Казани. После войны, в 1946 г., математические олимпиады были возобновлены по инициативе академика H.H. Боголюбова, и «олимпиадное движение» переживало резкий подъем, поскольку в проведение олимпиад начали включаться высшие учебные заведения некоторых других городов Советского Союза. С 1947 г. олимпиады начинают проводиться в Вологде, Иванове, Иркутске и Смоленске, с 1949 г. — в Саратове, с 1950 г. — в Минске. Но это были, по существу, локальные олимпиады. Они предназначались только учащимся школ тех городов, в которых расположены вузы, проводившие олимпиады. В большинстве городов олимпиады не организовывались. Они совсем не охватывали сельских школьников. Очень многие, способные к математике, учащиеся оставались вне поля зрения ученых-математиков. Поэтому появилась необходимость расширения географии олимпиад, что вызвало к жизни возникновение ряд организационно-педагогических возможностей, таких, к примеру, как создание специализированных физико-математических классов и школ.
Однако в начале 50-х годов в большинстве областей и во многих крупных городах олимпиады проводились чаще всего эпизодически и в них участвовала незначительная часть школьников. Как и прежде, совсем не участвовали сельские школьники. Постепенно олимпиады начинают проводиться практически во всех крупных городах, имеющих высшие учебные заведения, они получают все большее значение как форма внеклассной работы со школьниками.
«Развитие олимпиадного движения привело к созданию международных математических олимпиад. Первая такая олимпиада состоялась в 1959 г.
Олимпиада была первым опытом проведения подобного рода международных соревнований. Этот эксперимент вскрыл многие проблемы, которые надо было решить каждой стране, участвующей в олимпиаде, как при подготовке команды, так и при проведении самой олимпиады. Несмотря на серьезные просчеты и неудачное решение некоторых проблем, эксперимент решено было продолжить. Все участвующие в олимпиаде страны, а также ученые-математики этих стран и министерства просвещения, народного образования и культуры, высшей школы взялись за изучение, разработку и решение проблем, связанных с проведением международных математических олимпиад» 9 . Поэтому было вынесено заключение, временно, в течение двух лет, воздержаться от участия в международных олимпиадах, а за этот период разработать методику подготовки и проведения олимпиад в своей стране, содержание соревнований, решить другие проблемы, связанные с проведением всесоюзных математических олимпиад.
В становлении и развитии всероссийских и всесоюзных математических олимпиад особенно велика роль академика А. Н. Колмогорова. Андрей Николаевич был одним из руководителей первых московских олимпиад и школьного математического кружка при МГУ еще в 30-х годах. Авторитет А. Н. Колмогорова, одного из крупнейших ученых XX в., оказывал огромное влияние на перестройку математического образования, начатую в 60-х годах. Это и существенная модернизация программ и стиля учебников для массовой школы, и организация специальных физико-математических школ-интернатов при крупнейших университетах. Неоднократно высказывавшаяся А.Н. Колмогоровым идея о дифференциации образования в старших классах — о предоставлении всем школьникам возможности выбора наиболее интересующих их предметов для более глубокого изучения — еще ждет своего осуществления. Поддержав идею организации всероссийских олимпиад, А. Н. Колмогоров на долгие годы стал основным научным руководителем математической олимпиады.
«С 1975 г. в связи с организационными трудностями было принято решение изменить структуру олимпиадной «пирамиды»: включить в нее республиканские олимпиады в РСФСР и других больших республиках, а число участников заключительного тур сократить». Литература:кн.№12 Всесоюзная математическая олимпиада школьников проходит теперь в пять этапов: школьный, городской и районный, областной, республиканский и заключительный — всесоюзный. На него приглашают школьников 8 — 10 классов — победителей республиканских олимпиад: от Украины, от Белоруссии, Казахстана и Узбекистана, городов Москвы, Ленинграда и города-устроителя олимпиады, кроме того, команды ряда физико-математических школ-интернатов, а также победители заключительного тура предыдущего года — всего около 150 школьников. К старым традициям, которые во многом сохранились, добавились и некоторые новые; среди них – «математический бой» между сборными командами жюри и школьников. Сейчас функции «связующего стержня», которые в 60-е и 70-е годы выполнял заключительный тур, в значительной степени должны быть отнесены к предшествующим этапам — республиканским и областным олимпиадам, где работа часто возглавляется молодыми учеными — бывшими победителями олимпиад. Самым массовым и, быть может, главным в «пирамиде олимпиад» является не вершина, а скорее ее основание — школьные, районные, городские и областные олимпиады, проводимые местными математиками и учителями.
«Варьировалась и форма проведения олимпиад. В 1968 г. по ленинградской традиции было решено попробовать провести олимпиаду в устной форме: вместо того чтобы записывать решения, участник олимпиады тихонько рассказывает свое решение группе из двух — трех членов жюри; если найдена неточность — у него остается еще возможность подумать над задачей (на каждую задачу давалось три попытки)» 17 . У многих неленинградцев эта система вызывала сомнения — как сравнивать требования разных членов жюри, не возникнут ли языковые трудности, недопонимание, — и для страховки решили такой эксперимент провести во второй из двух дней соревнований, а в первый сохранить обычную форму письменной работы. Хотя очень четко организованный «устный тур» прошел гладко и всем понравился, но без большой группы опытных ленинградцев его больше никогда не решались повторять.
«Увлечение математикой часто начинается с размышлений над какой-то особенно понравившейся задачей. Она может встретиться и на школьном уроке, и на занятии математического кружка, и в журнале или книжке. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады — от школьных и городских до международных» 26 .
«Олимпиады способствуют выявлению и развитию математических способностей учащихся. Часто на уроках ученик получает, и вполне объективно, только тройки, изредка четверки и двойки. Приходит на школьную олимпиаду попробовать свои силы. Ведь это так интересно! И вдруг мы замечаем, что он неплохо решает задачи на соображение, задачи с изюминкой, при решении которых встают в тупик многие отличники. После олимпиады ученик наверняка более серьезно займется математикой. Учитель поможет этому ученику в его занятиях, найдет пути развития математических способностей такого ученика, порекомендует ему математическую литературу, задачи и т. п.» 21 .
Любой участник олимпиады желает добиться лучших результатов. Для этого он решает задачи, читает рекомендованную литературу, более подробно изучает отдельные вопросы математики, активнее участвует в работе математического кружка. Он понимает, что для успеха на олимпиаде необходимо уметь по-разному решать задачи, развивать в себе способности анализировать решения задач и искать нешаблонные подходы к их решению, видеть неожиданные зависимости. Победа учащегося на каждом этапе приводит к повышению результативности, его занятий математикой.
Проведение олимпиад позволяет выявить учащихся, имеющих интерес и склонности к занятиям математикой, что весьма важно для решения вопроса о подготовке большого числа новых математических и научно-методических кадров, столь необходимых стране в век бурного развития науки и техники. При систематическом проведении олимпиад во всех школах, районах, областях, при широком охвате ими учащихся олимпиады являются эффективным средством реализации указанной цели, и решения названной задали.
Перед нашей школой стоит большая задача профориентации учащихся. В решении этой задачи принимают участие все учителя, в том числе и учителя математики. Проведение олимпиад является составной частью этой работы. Участвуя в математических соревнованиях, школьник лучше, более объективно определяет свое отношение к математике как предмету будущей профессии. Есть немало случаев, когда ученик в результате участия в математических олимпиадах начинал с увлечением заниматься математикой или каким-либо ее разделом, а затем выбирал математику или какой-либо вид математической деятельности в качестве своей будущей профессии.
Проведение олимпиад и всей внеклассной работы по математике является прекрасным средством повышения деловой квалификации учителей. Чтобы подготовить учащихся к участию в олимпиадах и — проводить олимпиады, учителю математики необходимо вести кружки, проводить большую подготовительную работу, подбирать и решать различные задачи, детально знакомиться с различными вопросами математики, с новинками математической литературы. Подбор материала для кружковых занятий и для олимпиад, подготовка к проведению этих мероприятий являются одной из форм активной работы учителя по повышению своей научно-методической квалификации. Подбор к занятиям математического кружка и к олимпиаде нестандартных, требующих особых приемов решения задач предполагает наличие хороших навыков в этом деле от самого учителя математики.
В настоящее время издано большое количество книг, посвященных математическим олимпиадам. В них предлагаются задачи с далеко не стандартной формулировкой. Для поиска ответа и доказательства здесь нужны не столько школьные знания, сколько здравый смысл, изобретательность, умение логично рассуждать, перевести необычное условие на подходящий математический язык. Далеко не всегда решение такой задачи — цепочка из нескольких естественных шагов. Бывает, что, даже хорошо разобравшись в условии, долго не удается найти правильный путь рассуждений, руководящую идею, хотя готовое решение занимает всего несколько строк, что и отличает классическую олимпиадную задачу. Нужное соображение возникает иногда совершенно неожиданно, интуитивно, как некое «озарение». Эти моменты «открытия» и составляют радость математического творчества. Во многих задачах о неравенствах, размещениях точек и покрытиях специалист узнает леммы из анализа, в задачах о знакомствах, дорогах и турнирах — варианты или частные случаи теорем теории графов. Характерные постановки задач о многократно повторяющихся операциях возникают во многих областях математики, в частности в программировании, теории динамических систем. Таким образом, олимпиадные задачи позволяют приоткрыть завесу над серьезной математикой — классической и современной. Отчасти они даже отражают последние математические моды. Ведь главная цель жюри каждой олимпиады — подобрать новые задачи, демонстрирующие школьникам свежие, еще не встречавшиеся им идеи, темы, постановки вопросов. Математики, члены жюри, придумывают такие задачи сами, узнают у своих коллег, черпают из малоизвестных книг или новых научных статей. Часто сюжет задачи носит шуточный, игровой характер или взят из реальной жизни, вопрос, предлагаемый для исследования — найти оптимальный алгоритм поведения, наилучшую возможную оценку, максимум или минимум, — типичен для математики. Подготавливая набор задач для каждой олимпиады, члены жюри учитывают не только привлекательность формулировок и научную значимость отдельных из них. Олимпиада — это соревнования, где несколько предложенных задач нужно решить за 4 — 5 часов, и набор задач для каждого класса должен учитывать возможности и интересы участников: быть достаточно трудным, чтобы выявились победители, но в то же время достаточно простым и разнообразным, чтобы удовольствие и пользу получило большинство участников. Многие из олимпиадных задач заслуживают значительно более глубокого обдумывания, чем позволяет несколько часов, отведенных на соревнованиях. Особенно это относится к «исследовательским» задачам, решения (или обобщения) которых — по существу небольшие научные работы, содержащие интересный результат. Зачастую такие задачи представлены в виде серии усложняющихся вопросов. Многие из этих задач относятся к дискретной математике, где нетривиальный результат нередко основан на хитроумных, но вполне элементарных конструкциях и рассуждениях.
Конечно, добраться до верхних ступеней олимпиадной пирамиды — дело не простое: помимо математических способностей и большой подготовительной работы, для побед на олимпиадах требуется умение быстро переключаться с одной задачи на другую. «В той или иной форме Андрей Николаевич постоянно высказывал эту мысль перед участниками олимпиад. «Наша страна нуждается в большом числе хорошо подготовленных и талантливых математиков. Одним из путей привлечения одаренной молодежи к математике являются математические олимпиады. Участие в школьных и математических кружках и олимпиадах может помочь каждому оценить свои собственные способности, серьезность и прочность своих увлечений математикой. Пути к серьезной работе в области математической науки разнообразны. Одним легче дается решение замысловатых задач, другие, двигаясь медленно, овладевают глубоко и серьезно теорией. В конечном счете при выборе математики как предмета основных интересов и работы на долгое будущее каждый должен руководствоваться собственной самооценкой, а не числом премий и похвальных отзывов на олимпиадах» 26 .
Олимпиадные задачи в математике — это термин для обозначения круга задач, для решения которых «обязательно» требуется неожиданный и оригинальный подход.
Внешняя простота олимпиадных задач — их «условия» и «решения» должны быть понятны любому школьнику — обманчива. Лучшие олимпиадные задачи затрагивают глубокие проблемы из самых разных областей математики.
Укажем направления работы учителя математики по подготовке школьников к математической олимпиаде:
распределение по соответствующим темам школьного курса основных идей, встречающихся при решении олимпиадных задач;
осуществление взаимосвязи задач одного типа с типами, которые были рассмотрены ранее;
формулировка задач, решение которых не может быть выполнено учениками;
постановка заданий поиска нескольких методов решения одной задачи;
Источник
