Способ решения неравенства методом интервалов

Источник

Метод интервалов (ЕГЭ 2022)

Метод интервалов тебе просто необходимо понять и знать его как свои пять пальцев!

Хотя бы потому, что он применяется для решения рациональных неравенств.

И потому, что, зная этот метод как следует, решать эти неравенства на удивление просто.

Чуть позже раскрою тебе пару секретов, как сэкономить время на решении этих неравенств.

Ну что, заинтриговал? Тогда поехали!

Метод интервалов — коротко о главном

Метод интервалов применяется для решения рациональных неравенств.

Он заключается в определении знака произведения по знакам сомножителей на различных промежутках.

Алгоритм решения рациональных неравенств методом интервалов:

1. Переносим все в левую часть, справа оставляем только ноль;
2. Находим ОДЗ;
3. Наносим на ось все корни неравенства;
4. Берем произвольный \( x\) из одного из промежутков и определяем знак в интервале, к которому относится корень, чередуем знаки, обращая внимание на корни, повторяющиеся в неравенстве несколько раз, от четности или нечетности количества раз их повторения зависит, меняется знак при прохождении через них или нет;
5. В ответ пишем интервалы, соблюдая выколотые и не выколотые точки (смотри ОДЗ), ставя необходимые виды скобок между ними.

Суть метода интервалов

Суть метода в разложении неравенства на множители (повтори тему «Разложение на множители»), определении ОДЗ и знака сомножителей.

Сейчас все поясню.

Возьмем самый простенький пример: \( (x+1)\cdot (-2)>0\).

Области допустимых значений (ОДЗ) здесь писать не надо, поскольку деления на переменную нет, и радикалов (корней) здесь не наблюдается.

На множители здесь все и так разложено за нас. Но не расслабляйся, это все, чтоб напомнить азы и понять суть!

Допустим, ты не знаешь метода интервалов, как бы ты стал решать это неравенство? Подойди логически и опирайся на то, что уже знаешь.

Во-первых, левая часть будет больше нуля если оба выражения в скобках либо больше нуля, либо меньше нуля, т.к. «плюс» на «плюс» дает «плюс» и «минус» на «минус» дает «плюс», так?

А если знаки у выражений в скобках разные, то в итоге левая часть будет меньше нуля.

А что же нам нужно, чтоб узнать те значения \( x\), при которых выражения в скобках будут отрицательными или положительными?

Нам нужно решить уравнение, оно точно такое же как неравенство, только вместо знака «\( >\)» будет знак «\(=\)«.

Корни этого уравнения и позволят определить те пограничные значения, при отступлении \( x\) от которых множители \( (x+1)\) и \( (-2)\) будут больше или меньше нуля!

А теперь сами интервалы.

Что такое интервал?

Это некий промежуток числовой прямой, то есть все возможные числа, заключенные между двумя какими-то числами – концами интервала. Эти промежутки в голове представить не так просто, поэтому интервалы принято рисовать, сейчас научу.

Рисуем ось \( X\), на ней располагается весь числовой ряд от \( -\infty \) и до \( +\infty \). На ось наносятся точки, те самые так называемые нули функции, значения, при которых выражение равняется нулю.

Эти точки «выкалываются» что означает, что они не относятся к числу тех значений, при которых неравенство верно. В данном случае, они выкалываются, т.к. знак в неравенстве \( >\), а не \(\ge\), то есть строго больше, а не больше или равно.

Хочу сказать, что ноль отмечать не обязательно, он без кружочков тут, а так, для понимания и ориентации по оси.

Ладно, ось нарисовали, точки (точнее кружочки) поставили, дальше что, как мне это поможет в решении? – спросишь ты.

Возьми значение для икса из интервалов по порядку и подставь их в свое неравенство и смотри, какой знак будет в результате умножения.

Короче, просто берем \( -2\) например, подставляем его сюда \( (x+1)\cdot (-2)\), получится \( 4\), а \( 4>0\).

Значит на всем промежутке (на всем интервале) от \( -\infty \) до \( -1\), из которого мы брали \( -2\), неравенство будет справедливо.

Иными словами если икс от \( -\infty \) до \( -1\), то неравенство верно.

То же самое делаем и с интервалом от \( -1\) до \( 2\), берем \( 0\) или \( 1\), например, подставляем в \( (x+1)\cdot (-2)\), определяем знак, знак будет «минус». И так же делаем с последим, третьим интервалом от \( 2\) до \( +\infty \), где знак получится «плюс».

Такая куча текста вышла, а наглядности мало, правда?

Взгляни еще раз на неравенство \( (x+1)\cdot (-2)>0\).

Теперь все на ту же ось наносим еще и знаки, которые получатся в результате. Ломаной линией в моем примере обозначаем положительные и отрицательные участки оси.

Смотри на неравенство – на рисунок, опять на неравенство – и снова на рисунок, что-нибудь понятно?

Постарайся теперь сказать на каких промежутках икса, неравенство будет верно.

Правильно, от \( -\infty \) до \( -1\) неравенство будет справедливо и от \( 2\) до \( +\infty \).

А на промежутке от \( -1\) до \( 2\) неравенство \( \) стоит.

Ну, раз ты с этим разобрался, то дело за малым – записать ответ!

В ответ пишем те промежутки, при которых левая часть больше нуля, \( x\in (-\infty ;-1)\cup (2;+\infty )\), что читается, как икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до минус одного и от двух до плюс бесконечности.

Стоит пояснить, что круглые скобки означают, что значения, которыми ограничен интервал не являются решениями неравенства, то есть они не включены в ответ, а лишь говорят о том, что до \( -1\), например, но \( -1\) не есть решение.

Теперь пример, в котором тебе придется не только интервал рисовать.

Пример 1

\( (<^<2>>-1)\cdot (-3)

Пришло время раскрыть тебе один секрет, который я обещал еще в начале этой темы!

Можно не подставлять значения из каждого интервала для определения знака, а определить знак в одном из интервалов, а в остальных просто чередовать знаки!

Таким образом, мы сэкономили немного времени на проставлении знаков – думаю, это выигранное время на ЕГЭ не помешает!

Пример №2

Теперь рассмотрим пример дробно-рационального неравенства – неравенство, обе части которого являются рациональными выражениями (см. «Рациональные уравнения»).

Что можешь сказать про это неравенство? А ты взгляни на него как на дробно-рациональное уравнение, что делаем в первую очередь?

Сразу видим, что корней нет, значит точно рациональное, но тут же дробь, да еще и с неизвестным в знаменателе!

Источник

Метод интервалов

Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.

1. Рассмотрим, например, такое неравенство

Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.

В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.

Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.

Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.

Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители. (Если вы не помните, что такое нули функции и знак функции на промежутке – смотрите статью «Исследование графика функции»).

Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида .

, где и — корни квадратного уравнения .

Рисуем ось и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Нули знаменателя и — выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на нуль делить нельзя). Нули числителя и — закрашены, так как неравенство нестрогое. При и наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.

Эти точки разбивают ось на промежутков.

Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным — либо «плюс», либо «минус».

И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую этому промежутку. Ту, которая нам удобна.
. Возьмем, например, и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая из «скобок» отрицательная. Левая часть имеет знак .

Следующий промежуток: . Проверим знак при . Получаем, что левая часть поменяла знак на .

. Возьмем . При выражение положительно — следовательно, оно положительно на всем промежутке от до .

При левая часть неравенства отрицательна.

И, наконец, 7′ alt=’x>7′/> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая «скобочка» положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .

Мы нашли, на каких промежутках выражение положительно. Осталось записать ответ:

Обратите внимание: знаки на промежутках чередуются. Это произошло потому, что при переходе через каждую точку ровно один из линейных множителей поменял знак, а остальные сохранили его неизменным.

Мы видим, что метод интервалов очень прост. Чтобы решить дробно-рациональное неравенство методом интервалов, приводим его к виду:

(в левой части — дробно-рациональная функция, в правой — нуль).

Затем — отмечаем на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль.
Эти точки разбивают всю числовую прямую на промежутки, на каждом из которых дробно-рациональная функция сохраняет свой знак.
Остается только выяснить ее знак на каждом промежутке.
Мы делаем это, проверяя знак выражения в любой точке, принадлежащей данному промежутку. После этого — записываем ответ. Вот и всё.

Но возникает вопрос: всегда ли знаки чередуются? Нет, не всегда! Надо быть внимательным и не расставлять знаки механически и бездумно.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

2. Рассмотрим еще одно неравенство.

Снова расставляем точки на оси . Точки и — выколотые, поскольку это нули знаменателя. Точка — тоже выколота, поскольку неравенство строгое.

При числитель положителен, оба множителя в знаменателе отрицательны. Это легко проверить, взяв любое число с данного промежутка, например, . Левая часть имеет знак :

При числитель положителен; первый множитель в знаменателе положителен, второй множитель отрицателен. Левая часть имеет знак :

При ситуация та же! Числитель положителен, первый множитель в знаменателе положителен, второй отрицателен. Левая часть имеет знак :

Наконец, при 3′ alt=’x>3′/> все множители положительны, и левая часть имеет знак :

Почему нарушилось чередование знаков? Потому что при переходе через точку «ответственный» за неё множитель не изменил знак. Следовательно, не изменила знак и вся левая часть нашего неравенства.

Вывод: если линейный множитель стоит в чётной степени (например, в квадрате), то при переходе через точку знак выражения в левой части не меняется. В случае нечётной степени знак, разумеется, меняется.

3. Рассмотрим более сложный случай. От предыдущего отличается тем, что неравенство нестрогое:

Левая часть та же, что и в предыдущей задаче. Та же будет и картина знаков:

Может, и ответ будет тем же? Нет! Добавляется решение Это происходит потому, что при и левая, и правая части неравенства равны нулю — следовательно, эта точка является решением.

В задаче на ЕГЭ по математике такая ситуация встречается часто. Здесь абитуриенты попадают в ловушку и теряют баллы. Будьте внимательны!

4. Что делать, если числитель или знаменатель не удается разложить на линейные множители? Рассмотрим такое неравенство:

Квадратный трехчлен на множители разложить нельзя: дискриминант отрицателен, корней нет. Но ведь это и хорошо! Это значит, что знак выражения при всех одинаков, а конкретно — положителен. Подробнее об этом можно прочитать в статье о свойствах квадратичной функции.

И теперь мы можем поделить обе части нашего неравенства на величину , положительную при всех . Придём к равносильному неравенству:

— которое легко решается методом интервалов.

Обратите внимание — мы поделили обе части неравенства на величину, о которой точно знали, что она положительна. Конечно, в общем случае не стоит умножать или делить неравенство на переменную величину, знак которой неизвестен.

5. Рассмотрим еще одно неравенство, на вид совсем простое:

Так и хочется умножить его на . Но мы уже умные, и не будем этого делать. Ведь может быть как положительным, так и отрицательным. А мы знаем, что если обе части неравенства умножить на отрицательную величину — знак неравенства меняется.

Мы поступим по другому — соберём всё в одной части и приведём к общему знаменателю. В правой части останется нуль:

И после этого — применим метод интервалов.

Источник