Способ решения неопределенной системы

Способ решения неопределенной системы

Линейная однородная система \(n\) дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид: \[ <\mathbf‘\left( t \right) = A\mathbf\left( t \right),>\;\; <\mathbf\left( t \right) = \left( <\begin<*<20>> <\left( t \right)>\\ <\left( t \right)>\\ \vdots \\ <\left( t \right)> \end> \right),>\;\; <*<20>> <>>&<>>& \cdots &<>>\\ <>>&<>>& \cdots &<>>\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ <>>&<>>& \cdots &<>> \end> \right).> \] Здесь \(\mathbf\left( t \right)\) − \(n\)-мерный вектор, \(A\) − квадратная матрица с постоянными коэффициентами размера \(n \times n.\)

Далее мы опишем общий алгоритм решения данной системы и рассмотрим конкретные случаи, где решение строится методом неопределенных коэффициентов .

Будем искать решение заданной системы уравнений в виде вектор-функций \[\mathbf\left( t \right) = >\mathbf,\] где \(\lambda\) − собственное значение матрицы \(A,\) а \(\mathbf\) − собственный вектор этой матрицы.

Собственные значения \(<\lambda _i>\) находятся из характеристического уравнения \[\det \left( \right) = 0,\] где \(I\) − единичная матрица.

Поскольку корни \(<\lambda _i>\) могут быть кратными, то в общем случае для системы \(n\)-го порядка это уравнение имеет вид: \[ <\left( < - 1>\right)^n><\left( <\lambda - <\lambda _1>> \right)^<>><\left( <\lambda - <\lambda _2>> \right)^<>> \cdots <\left( <\lambda - <\lambda _m>> \right)^<>> = 0.\] Здесь выполняется условие \[ + + \cdots + = n.\] Степень \(\) множителя \(\left( <\lambda - <\lambda _i>> \right)\) называется алгебраической кратностью собственного числа \(<\lambda _i>.\)

Для каждого собственного значения \(<\lambda _i>\) можно определить собственный вектор (или несколько собственных векторов в случае кратного \(<\lambda _i>\)), используя формулу \[\left( I> \right)<\mathbf_i> = \mathbf<0>.\] Число собственных векторов, ассоциированных с собственным значением \(<\lambda _i>,\) называется геометрической кратностью \(<\lambda _i>\) (обозначим ее как \(\)). Таким образом, собственное число \(<\lambda _i>\) характеризуется двумя величинами − алгебраической кратностью \(\) и геометрической кратностью \(.\) Справедливо следующее соотношение: \[0 комплексных корней характеристического уравнения. Если все коэффициенты в уравнениях являются действительными числами, то комплексные корни будут «рождаться» парами в виде комплексно-сопряженных чисел \(\alpha \pm i\beta .\) Для построения компонента решения, связанного с такой парой, достаточно взять одно число, например, \(\alpha + i\beta\) и определить для него собственный вектор \(\mathbf,\) который также может иметь комплексные координаты. Тогда решение будет представляться комплекснозначной векторной функцией \( \right)t>>\mathbf\left( t \right).\) Экспоненциальную функцию можно разложить по формуле Эйлера : \[ <\right)t>> = >> > = <>\left( <\cos \beta t + i\sin \beta t>\right).> \] В результате часть общего решения, соответствующая паре собственных значений \(\alpha \pm i\beta,\) будет представляться в виде \[ <\mathbf\left( t \right) = >\left( <\cos \beta t + i\sin \beta t>\right)\left( <<\mathbf_\text> + i<\mathbf_\text>> \right) > = <>\left[ <\cos \left( <\beta t>\right)<\mathbf_\text> — \sin \left( <\beta t>\right)<\mathbf_\text>> \right] > + >\left[ <\cos \left( <\beta t>\right)<\mathbf_\text> + \sin \left( <\beta t>\right)<\mathbf_\text>> \right] > = <<\mathbf^<\left( 1 \right)>>\left( t \right) + i<\mathbf^<\left( 2 \right)>>\left( t \right),> \] где \(\mathbf = <\mathbf_\text> + i<\mathbf_\text>\) − комплекснозначный собственный вектор. В полученном выражении вектор-функции \(<\mathbf^<\left( 1 \right)>>\) и \(<\mathbf^<\left( 2 \right)>>\) в действительной и мнимой части образуют два линейно-независимых действительных решения .

Как видно, решение для пары комплексно-сопряженных собственных значений строится таким же образом, как и для действительных собственных значений. В конце преобразований нужно лишь явно выделить действительную и мнимую части векторной функции.

Теперь рассмотрим случай кратных корней \(<\lambda _i>.\) Для простоты будем считать их действительными. Здесь процесс решения снова разветвляется на два сценария.

Если алгебраическая кратность \(\) и геометрическая кратность \(\) собственного числа \(<\lambda _i>\) совпадают \(\left( <= > 1> \right),\) то для этого значения \(<\lambda _i>\) существует \(\) собственных векторов. В результате собственному числу \(<\lambda _i>\) будет соответствовать \(\) линейно-независимых решений вида \[t>>\mathbf_i^<\left( 1 \right)>,\;t>>\mathbf_i^<\left( 2 \right)>,\; \ldots ,\;t>>\mathbf_i^<\left( <> \right)>.\] Всего в этом случае система \(n\) уравнений будет иметь \(n\) собственных векторов, образующих фундаментальную систему решений. Примеры таких систем приведены на странице Метод собственных значений и собственных векторов .

Наиболее интересным является случай кратных корней \(<\lambda _i>,\) когда геометрическая кратность \(\) меньше алгебраической кратности \(.\) Это значит, что у нас имеется только \(\) \(\left( <метод неопределенных коэффициентов нужен только в случае кратных корней \(<\lambda _i>,\) когда число линейно-независимых собственных векторов меньше алгебраической кратности корня \(<\lambda _i>.\)

Описанный здесь способ построения общего решения системы однородных дифференциальных уравнений иногда называют также методом Эйлера .

Источник

Линейная Алгебра

Сайт о разделе высшей математики — линейной алгебре

Алгоритм решения неопределенной системы линейных уравнений методом Гаусса

п.10. Алгоритм решения неопределенной системы линейных уравнений методом Гаусса.

Пусть дана система .

1. Выписываем расширенную матрицу системы .

2. Пользуясь элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы, приводим ее к ступенчатому виду.

Далее, вся работа проводится с полученной системой ступенчатого вида.

3. Убеждаемся, что базисный минор матрицы системы является базисным минором расширенной матрицы системы, т.е. . В противном случае, система несовместна, т.е. не имеет решений.

4. Вычисляем размерность пространства решений соответствующей однородной системы : .

5. Определяем, какие переменные системы будут независимыми, а какие зависимыми:

а) те переменные, коэффициенты при которых входят в базисный минор объявляем независимыми, их оставляем в левых частях уравнений системы;

б) оставшиеся переменные объявляем зависимыми, их переносим в правую часть уравнений. Зависимых переменных должно быть штук.

6. Обозначаем зависимые переменные буквами греческого алфавита: , если их не очень много; или буквой с индексами, например: .

7. Придавая зависимым переменным какие-нибудь числовые значения, находим частное решение данной системы X*.

8. Обнуляем столбец свободных членов в системе и, двигаясь от последнего уравнения системы к первому (снизу вверх), выражаем независимые переменные системы через зависимые.

9. Записываем общее решение соответствующей однородной системы.

10. Записываем общее решение данной неоднородной системы.

11. Выписываем полученную фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

12. Записываем множество решений данной неоднородной системы в виде суммы линейной оболочки, натянутой на фундаментальную систему решений и частного решения Х*.

13. Записываем ответ (из пункта 10 и 12).

Пример 1. Решить систему: .

1) Выписываем расширенную матрицу системы :

.

2) Пользуясь элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы, приводим ее к ступенчатому виду:

а) умножаем первую строку на (–2) и прибавляем ко второй строке, затем умножаем первую строку на (–1) и прибавляем к третьей:

;

б) умножаем вторую строку на (–1) и прибавляем к третьей:

.

3) Находим базисные миноры матрицы системы и расширенной матрицы системы:

– базисный минор матрицы системы;

– базисный минор расширенной матрицы системы.

Мы видим, что , . Так как , то данная система является несовместной, т.е. не имеет решений.

Ответ. Система не имеет решений.

Пример 2. Решить систему: .

Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

.

В результате получили квадратную систему

с определителем системы . Следовательно, система имеет единственное решение:

.

Ответ: .

Пример 3. Решить систему: .

1) Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

.

2) Находим базисные миноры матрицы системы и расширенной матрицы системы:

– базисный минор матрицы системы и он же базисный минор расширенной матрицы системы, . Следовательно, полученная система , которая равносильна данной, имеет решения, т.е. является совместной.

3) Вычисляем размерность пространства решений соответствующей однородной системы: . Следовательно, из трех неизвестных системы, два неизвестных и объявляем независимыми, а неизвестное объявляем зависимым.

4) Обозначаем зависимую неизвестную и переносим его в правую часть уравнения:

.

5) Полагаем , получаем частное решение системы:

.

6) Обнуляем столбец свободных членов системы и получаем соответствующую однородную систему:

.

7) Выписываем общее решение соответствующей однородной системы:

.

8) Выписываем решение неоднородной системы:

.

9) Фундаментальная система решений соответствующей однородной системы состоит из одного столбца:

.

10) Множество решений данной системы:

.

Ответ: общее решение системы: , ;

множество решений системы: .

Пример 4. Решить систему: .

Решение. Расширенная матрица системы:

.

Коэффициент при , равный 1, можно принять за базисный минор, так что .

Соответствующая однородная система имеет вид:

,

размерность пространства ее решений:

.

Обозначим – три свободные переменные. Систему можно записать так:

.

Полагая , получаем частное решение данной системы: или

.

Соответствующая однородная система имеет вид:

.

Тогда ее общее решение имеет вид:

,

где .

Общее решение данной неоднородной системы:

,

где .

Фундаментальная система решений соответствующей однородной системы:

.

Множество решений данной системы:

или .

Ответ: общее решение системы

,

где ; множество решений системы:

.

п.11. Формулы Крамера.

Теорема. Пусть квадратная система линейных уравнений и . Тогда единственное решение системы можно найти по формулам:

, ,

где – определитель матрицы системы, – столбцы матрицы системы,

– определитель системы, в котором i-й столбец заменен столбцом свободных членов В. Эти формулы называются формулами Крамера.

Доказательство. Так как , то матрица А – обратимая и из равенства получаем:

,

откуда и следуют формулы Крамера. Проработка деталей оставляется читателю.

Источник