Решение систем неравенств
Прежде чем перейти к разбору темы «Как решать систему линейных неравенств» обязательно внимательно изучите урок «Как решать неравенства».
Потренируйтесь в решении неравенств, тогда с системами неравенств у вас не возникнет трудностей.
Системой неравенств называют два или более неравенства, которые объединены фигурной скобкой.
Рассмотрим пример системы неравенств.
| x > 2 |
| x > 5 |
Как видно на примере выше, систему неравенств легко определить по фигурной скобке.
Как решить систему неравенств
Чтобы решить систему неравенств нужно:
- решить отдельно каждое неравенство;
- сравнить полученные решения каждого неравенства и получить общий ответ системы.
Вернемся к нашему примеру системы неравенств.
| x > 2 |
| x > 5 |
Так как оба неравенства в системе уже решены и представляют собою готовый ответ, то сразу переходим к поиску общего решения всей системы.
Для этого проведем две числовые оси (для каждого из неравенств свою). На осях заштрихуем результат решения неравенств.
Числовые оси с решениями нужно располагать друг под другом.
Числа на осях отмечают в порядке возрастания. То есть число « 2 » будет находиться левее « 5 ».
|  |
После того как мы построили числовые оси с решениями неравенств, необходимо провести через отмеченные на осях числа перпендикулярные прямые.
При проведении прямых через точки на осях соблюдают следующие правила:
- если точка не входит в область решения ( «пустая» точка), то рисуют пунктирную линию;
- если точка входит в область решения (« заполненная » точка), то рисуют сплошную линию.
Проведем прямые через числовые точки на осях.
Для определения ответа найдем те области решения, которые удовлетворяют ответам обоим неравенствам. Другими словами, те области, где в обоих случаях области решений заштрихованы.
Исходя из полученного анализа, мы получаем, что решением системы неравенств будет « x > 5 ». Запишем полученный ответ.
| |
Рассмотрим другой пример системы неравенств.
| x −2 » и « 0 ». Когда область решений находится между двумя числами, принято записывать ответ с помощью двойного неравенства . Запись двойного неравенства используют, когда интервал решения системы неравенств лежит между числами. Знаки сравнения (« » или « ≤ ») в двойном неравенстве всегда смотрят влево . Числа записываются в том же порядке, что они расположены на оси. Другие примеры решения систем неравенствВ отличии от примеров выше, как правило, в системах неравенств перед поиском общего решения всей системы необходимо предварительно решить каждое из неравенств. Рассмотрим и решим систему, где неравенства требуют предварительного решения. Решим линейные неравенства по правилам, описанным в уроке «Решение линейных неравенств». Затем найдем общий ответ системы.
Ответ: −1
При решении систем неравенств, в которых есть неравенства, содержащие пропорцию, используем правило пропорции. Источник Квадратные неравенства. |
| Неравенство | Тип |
|---|---|
| x − 7 2 + 5x ≥ 0 | квадратное |
| 2x − 7 > 5 | линейное |
| x 2 + x − 12 ≤ 0 | квадратное |
Как решить квадратное неравенство
В предыдущих уроках мы разбирали, как решать линейные неравенства. Но в отличие от линейных неравенств квадратные решаются совсем иным образом.
Решать квадратное неравенство таким же образом как и линейное нельзя !
Для решения квадратного неравенства используется специальный способ, который называется методом интервалов.
Что такое метод интервалов
Методом интервалов называют специальный способ решения квадратных неравенств. Ниже мы объясним, как использовать этот метод и почему он получил такое название.
Чтобы решить квадратное неравенство методом интервалов нужно:
- перенести все члены неравенства в левую часть, так чтобы в правой остался только ноль;
- сделать так, чтобы при неизвестном « x 2 » стоял положительный коэффициент;
- приравнять левую часть неравенства к нулю и решить полученное квадратное уравнение;
- полученные корни уравнения разместить на числовой оси в порядке возрастания;
- нарисовать «арки» для интервалов. Справа налево, начиная с « + », проставить чередуя знаки « + » и « − »;
- выбрать необходимые интервалы и записать их в ответ.
Мы понимаем, что правила, описанные выше, трудно воспринимать только в теории, поэтому сразу рассмотрим пример решения квадратного неравенства по алгоритму выше.
Требуется решить квадратное неравенство.
Переходим к п.2. Необходимо сделать так, чтобы перед « x 2 » стоял положительный коэффициент. В неравенстве « x 2 + x − 12 » при « x 2 » стоит положительный коэффициент « 1 », значит, снова нам ничего делать не требуется.
Согласно п.3 приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение.
x1;2 =
| −1 ± √ 1 2 − 4 · 1 · (−12) |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| −1 ± √ 1 + 48 |
| 2 |
x1;2 =
| −1 ± √ 49 |
| 2 |
x1;2 =
| −1 ± 7 |
| 2 |
x1 =
| x2 =
| ||||
x1 =
| x2 =
| ||||
| x1 = −4 | x2 = 3 |
Теперь по п.4 отметим полученные корни на числовой оси в порядке возрастания.
Помните, что, исходя их того, какое перед нами неравенство (строгое или нестрогое) мы отмечаем точки на числовой оси разным образом.
Теперь, как сказано в п.5, нарисуем «арки» над интервалами между отмеченными точками.
Проставим знаки внутри интервалов. Справа налево чередуя, начиная с « + », отметим знаки.
Нам осталось только выполнить пункт 6, то есть выбрать нужные интервалы и записать их в ответ. Вернемся к нашему неравенству.
Так как в нашем неравенстве , значит, нам требуются отрицательные интервалы. Заштрихуем все отрицательные области на числовой оси и выпишем их в ответ.
Отрицательным интервалом оказался лишь один, который находится между числами « −4 » и « 3 », поэтому запишем его в ответ в виде двойного неравенства
−4 .
Запишем полученный ответ квадратного неравенства.
Именно из-за того, что при решении квадратного неравенства мы рассматриваем интервалы между числами, метод интервалов и получил свое название.
После получения ответа имеет смысл сделать его проверку, чтобы убедиться в правильности решения.
Выберем любое число, которое находится в заштрихованной области полученного ответа −4 и подставим его вместо « x » в исходное неравенство. Если мы получим верное неравенство, значит мы нашли ответ квадратного неравенства верно.
Возьмем, например, из интервала число « 0 ». Подставим его в исходное неравенство « x 2 + x − 12 ».
Мы получили верное неравенство при подстановке числа из области решений, значит ответ найден правильно.
Краткая запись решения методом интервалов
Сокращенно запись решения квадратного неравенства методом интервалов будет выглядеть так:
x 2 + x − 12 2 + x − 12 = 0
x1;2 =
| −1 ± √ 1 2 − 4 · 1 · (−12) |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| −1 ± √ 1 + 48 |
| 2 |
x1;2 =
| −1 ± √ 49 |
| 2 |
x1;2 =
| −1 ± 7 |
| 2 |
x1 =
| x2 =
| ||||
x1 =
| x2 =
| ||||
| x1 = −4 | x2 = 3 |
Ответ: −4
Другие примеры решения квадратных неравенств
Рассмотрим решение других примеров квадратных неравенств. Требуется решить квадратное неравенство:
В правой части неравенство уже стоит ноль. При « x 2 » стоит « 2 » ( положительный коэффициент), значит можно сразу переходить к поиску корней.
x1;2 =
| −(−1) ± √ (−1 2 ) − 4 · 2 · 0 |
| 2 · 2 |
x1;2 =
| 1 ± √ 1 |
| 4 |
x1;2 =
| 1 ± 1 |
| 4 |
x1 =
| x2 =
| ||||
x1 =
| x2 =
| ||||
x1 =
| x2 = 0 |
Ответ: x ≤ 0 ; x ≥
| 1 |
| 2 |
Рассмотрим пример, где перед « x 2 » в квадратном неравенстве стоит отрицательный коэффициент.
По п.2 общих правил решения методом интервалов нам нужно сделать так, чтобы перед « x 2 » стоял положительный коэффициент. Для этого умножим все неравенство на « −1 ».
Помните, что при умножении неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный .
Можно переходить к п.4 и п.5. Приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение. Затем расположим полученные корни на числовой оси и проведем между ними «арки».
x1;2 =
| −3 ± √ 3 2 − 4 · 1 · (−4) |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| −3 ± √ 9 + 16 |
| 2 |
x1;2 =
| −3 ± √ 25 |
| 2 |
x1;2 =
| −3 ± 5 |
| 2 |
x2 =
| x1 =
| ||||
x2 =
| x1 =
| ||||
| x2 = −4 | x1 = 1 |
0″/>
При определении того какие интервалы нам нужно брать в ответ, исходить нужно из самого последнего изменения неравенства перед нахождением его корней.
В нашем случае самая последняя версия неравенства перед поиском корней уравнения это « x 2 + 3x − 4 ≤ 0 ».
Значит для ответа нужно выбирать интервалы со знаком « − ».
0″/> Ответ: −4 ≤ x ≤ 1
К сожалению, при решении квадратного неравенства не всегда получаются два корня и все идет по общему плану выше. Возможны случаи, когда получается один корень или даже ни одного корня.
Как решить квадратные неравенства в таких случаях, мы разберем в следующем уроке «Квадратные неравенства с одним корнем или без корней».
Источник
