Способ решения квадратичной функции

Как построить параболу? Что такое парабола? Как решаются квадратные уравнения?

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1 ) Формула параболы y=ax 2 +bx+c,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а 2 +bx+c=0;

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x₁=(-4+2)/2=-1
x₂=(-4-2)/2=-3

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 2 +4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x₁=2
x₂=-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE, чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.

Источник

Как решать задачи на квадратичную функцию

В предыдущем уроке мы подробно разобрали, как построить параболу. В этом уроке мы разберем, как решать типовые задачи на квадратичную функцию.

Как найти нули квадратичной функции

Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо « y » число ноль .

Найти нули квадратичной функции .

Подставим в исходную функцию вместо « y » ноль и решим полученное квадратное уравнение.

0 = x 2 − 3
x 2 − 3 = 0
x_1;2 =

0 ± √ 0 2 − 4 · 1 · (−3)

2 · 1

x_1;2 =

± √ 12

2

x_1;2 =

± √ 4 · 3

2

x_1;2 =

± 2√ 3

2

x_1;2 = ±√ 3

x1 = √ 3

x2 = − √ 3

Как найти при каких значениях « x » квадратичная функция принимает заданное числовое значение

Чтобы найти при каких значениях « x » квадратичная функция принимает заданное числовое значение, нужно:

• вместо « y » подставить в функцию заданное числовое значение;
• решить полученное квадратное уравнение относительно « x ».

При каких значениях « x » функция принимает значение « −3 ».

Подставим в исходную функцию вместо « y = −3 » и найдем « x ».

−3 = x 2 − x − 3
x 2 − x − 3 = −3
x 2 − x − 3 + 3 = 0
x 2 − x = 0
x_1;2 =

1 ± √ 1 2 − 4 · 1 · 0

2 · 1

x_1;2 =

1 ± √ 1

2

x_1;2 =

1 ± 1

2

x1 = 1 + 1 2	x2 = 1 − 1 2
x1 = 2 2	x2 = 0 2
x1 = 1	x2 = 0

Ответ: при « x = 0 » и « x = 1 » функция « y = x 2 − x − 3 » принимает значение .

Как найти координаты точек пересечения параболы и прямой

Чтобы найти точки пересечения параболы с прямой нужно:

• приравнять правые части функций (те части функций, в которых содержатся « x »);
• решить полученное уравнение относительно « x »;
• подставить полученные числовые значения « x » в любую из функций и найти координаты точек по оси « Оy ».

Найти координаты точек пересечения параболы « y = x 2 » и прямой « y = 3 − 2x ».

Приравняем правые части функций и решим полученное уравнение относительно « x ».

x 2 = 3 − 2x
x 2 − 3 + 2x = 0
x 2 + 2x − 3 = 0
x_1;2 =

2 ± √ 2 2 − 4 · 1 · (−3)

2 · 1

x_1;2 =

2 ± √ 4 + 12

2

x_1;2 =

2 ± √ 16

2

x_1;2 =

2 ± 4

2

x1 = 2 + 4 2	x2 = 2 − 4 2
x1 = 6 2	x2 = −2 2
x1 = 3	x2 = −1

Теперь подставим в любую из заданных функций (например, в полученные числовые значения « x », чтобы найти координаты « y » точек пересечения.

1) x = 3
y = 3 − 2x
y(3) = 3 − 2 · 3 = 3 − 6 = −3
(·) A (3; −3) — первая точка пересечения.

2) x = −1
y = 3 − 2x
y(−1) = 3 − 2 · (−1) = 3 + 2 = 5
(·) B (−1; 5) — вторая точка пересечения.

Запишем полученные точки пересечения с их координатами в ответ.

Ответ: точки пересечения параболы и прямой
(·) A (3; −3) и (·) B (−1; 5) .

Как определить, принадлежит ли точка графику функции параболы

Чтобы проверить принадлежность точки параболе нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.

• Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
• Если получится неверное равенство, значит, точка не принадлежит графику функции.

Не строя графика функции « y = x 2 », определить, какие точки принадлежат ему: (·) А(2; 6) , .

Подставим в функцию « y = x 2 » координаты точки (·) А(2; 6) .

Значит, точка (·) А(2; 6) не принадлежит графику функции .

Подставим в функцию « y = x 2 » координаты точки (·) B(−1; 1) .

Значит, точка (·) B(−1; 1) принадлежит графику функции .

Как найти точки пересечения параболы с осями координат

Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат.

Сначала определим точки пересечения функции с осью « Ox ». На графике функции эти точки выглядят так:

Как видно на рисунке выше, координата « y » точек пересечения с осью « Ox » равна нулю, поэтому подставим « y = 0 » в исходную функцию « y = x 2 −3x + 2 » и найдем их координаты по оси « Ox ».

0 = x 2 −3x + 2
x 2 −3x + 2 = 0
x_1;2 =

3 ± √ 3 2 − 4 · 1 · 2

2 · 1

x_1;2 =

3 ± √ 9 − 8

2

x_1;2 =

3 ± √ 1

2

x_1;2 =

3 ± 1

2

x1 = 3 + 1 2	x2 = 3 − 1 2
x1 = 4 2	x2 = 2 2
x1 = 2	x2 = 1

Запишем координаты точек пересечения графика с осью « Ox »: и .

Теперь найдем координаты точки пересечения с осью « Oy ».

Как видно на рисунке выше, координата « x » точки пересечения с осью « Oy » равна нулю.

Подставим « x = 0 » в исходную функцию « y = x 2 −3x + 2 » и найдем координату точки по оси « Oy ».

y(0) = 0 2 − 3 · 0 + 2 = 2

Выпишем координаты полученной точки: (·) C (0; 2)

Запишем в ответ все координаты точек пересечения параболы с осями.

Ответ: точки пересечения с осью « Ox »: (·) A (2; 0) и (·) B (1; 0) .
С осью « Oy »: (·)C (0; 2) .

Как определить при каких значениях x функция принимает положительные или отрицательные значения

Напоминаем, что когда в задании говорится « функция принимает значения» — речь идет о значениях « y » . Другими словами, необходимо ответить на вопрос: при каких значениях « x », координата « y » положительна или отрицательна.

Чтобы по графику функции определить, где функция принимает положительные или отрицательные значения нужно:

• провести прямые через точки в местах, где график пересекает ось « Ox »;
• определить положительные или отрицательные значения принимает функция на промежутках между проведенными прямыми;
• записать ответ для каждого промежутка относительно « x ».

С помощью графика квадратичной функции, изображенного на рисунке, ответить: При каких значениях « x » функция принимает 1) положительные значения; значения.

Проведем через точки, где график функции пересекает ось « Ox » прямые.

Определим области, где функция принимает отрицательные или положительные значения.

Подпишем над каждой полученной областью, какие значения принимает « x » в каждой из выделенных областей.

Ответ: при « x » и « x > 2 » функция принимает отрицательные значения; при функция принимает положительные значения.

Источник

Квадратичная функция. Парабола

Прежде чем перейти к разбору квадратичной функции рекомендуем вспомнить, что называют функцией в математике.

Если вы прочно закрепите общие знания о функции (способы задания, понятие графика) дальнейшее изучение других видов функций будет даваться значительно легче.

Что называют квадратичной функцией

Квадратичная функция — это функция вида

Другими словами можно сказать, что если в функции старшая (то есть самая большая) степень, в которой стоит « x » — это « 2 », то перед нами квадратичная функция.

Рассмотрим примеры квадратичных функций и определим, чему в них равны коэффициенты « a », « b » и « с ».

Квадратичная функция	Коэффициенты
y = 2x 2 − 7x + 9	a = 2 b = −7 с = 9
y = 3x 2 − 1	a = 3 b = 0 с = −1
y = −3x 2 + 2x	a = −3 b = 2 с = 0

Как построить график квадратичной функции

График квадратичной функции называют параболой.

Парабола выглядит следующим образом.

Также парабола может быть перевернутой.

Существует четкий алгоритм действий при построении графика квадратичной функции. Рекомендуем при построении параболы всегда следовать этому порядку действий, тогда вы сможете избежать ошибок при построении.

Чтобы было проще понять этот алгоритм, сразу разберем его на примере.

Построим график квадратичной функции « y = x 2 −7x + 10 ».

Если « a > 0 », то ветви направлены вверх.

Если « a », то ветви направлены вниз.

В нашей функции « a = 1 », это означает, что ветви параболы направлены вверх.

Координаты вершины параболы

Чтобы найти « x₀ » (координата вершины по оси « Ox ») нужно использовать формулу:

Найдем « x₀ » для нашей функции « y = x 2 −7x + 10 ».

x₀ =

− (−7)

2 · 1

=

7

2

= 3,5

Теперь нам нужно найти « y₀ » (координату вершины по оси « Oy »). Для этого нужно подставить найденное значение « x₀ » в исходную функцию. Вспомнить, как найти значение функции можно в уроке «Как решать задачи на функцию» в подразделе «Как получить значение функции».

Выпишем полученные координаты вершины параболы.

(·) A (3,5; −2,25) — вершина параболы.

Отметим вершину параболы на системе координат. Проведем через отмеченную точку ось симметрии, так как парабола — это симметричный график относительно оси « Oy ».

Для начала давайте разберемся, что называют нулями функции.

Нули функции — это точки пересечения графика функции с осью « Ox » (осью абсцисс).

Наглядно нули функции на графике выглядят так:

Свое название нули функции получили из-за того, что у этих точек координата по оси « Oy » равна нулю.

Теперь давайте разберемся, как до построения графика функции рассчитать координаты точек нулей функции.

Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо « y = 0 ».

Подставим в заданную функцию « y = x 2 −7x + 10 » вместо « y = 0 » и решим полученное квадратное уравнение относительно « x » .

0 = x 2 −7x + 10
x 2 −7x + 10 = 0
x_1;2 =

7 ± √ 49 − 4 · 1 · 10

2 · 1

x_1;2 =

7 ± √ 9

2

x_1;2 =

7 ± 3

2

x1 = 7 + 3 2	x2 = 7 − 3 2
x1 = 10 2	x2 = 4 2
x1 = 5	x2 = 2

Мы получили два корня в уравнении, значит, у нас две точки пересечения с осью « Ox ». Назовем эти точки и выпишем их координаты.

Отметим полученные точки («нули функции») на системе координат.

Возьмем четыре произвольные числовые значения для « x ». Целесообразно брать целые числовые значения на оси « Ox », которые наиболее близки к оси симметрии. Числа запишем в таблицу в порядке возрастания.

Для каждого выбранного значения « x » рассчитаем « y ».

• y(1) = 1 2 − 7 · 1 + 10 = 1 − 7 + 10 = 4
• y(3) = 3 2 − 7 · 3 + 10 = 9 − 21 + 10 = −2
• y(4) = 4 2 − 7 · 4 + 10 = 16 − 28 + 10 = −2
• y(6) = 6 2 − 7 · 6 + 10 = 36 − 42 + 10 = 4

Запишем полученные результаты в таблицу.

x	1	3	4	6
y	4	−2	−2	4

Отметим полученные точки графика на системе координат (зеленые точки).

Теперь мы готовы построить график. На забудьте после построения подписать график функции.

Краткий пример построения параболы

Рассмотрим другой пример построения графика квадратичной функции. Только теперь запишем алгоритм построения коротко без подробностей.

Пусть требуется построить график функции « y = −3x 2 − 6x − 4 ».

Направление ветвей параболы « a = −3 » — ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы

x₀ =

−b

2a

x₀ =

−(−6)

2 · (−3)

=

6

−6

= −1

y₀(−1) = (−3) · (−1) 2 − 6 · (−1) − 4 = −3 · 1 + 6 − 4 = −1

(·) A (−1; −1) — вершина параболы.

Точки пересечения с осью « Ox » ( y = 0 ).

−3x 2 − 6x − 4 = 0 |·(−1)

x_1;2 =

−6 ± √ 6 2 − 4 · 3 · 4

2 · 1

x_1;2 =

−6 ± √ 36 − 48

2

x_1;2 =

−6 ± √ −12

2

Ответ: нет действительных корней.

Так как корней нет, значит, график функции не пересекает ось « Ox ».

Вспомогательные точки для: « x = −3 »; « x = −2 »; « x = 0 »; « x = 1 ». Подставим в исходную функцию « y = −3x 2 − 6x − 4 ».

• y(−3) = −3 · (−3) 2 − 6 · (−3) − 4 = −3 · 9 + 18 − 4 = −27 + 14 = −13
• y(−2) = −3 · (−2) 2 − 6 · (−2) − 4 = −3 · 4 + 12 − 4 = −12 + 12 − 4 = −4
• y(0) = −3 · 0 2 − 6 · 0 − 4 = −4
• y(1) = −3 · 1 2 − 6 · 1 − 4 = −3 −6 − 4 = −13

x	−3	−2	0	1
y	−13	−4	−4	−13

Отметим вспомогательные точки. Отмечаем на системе координат только те точки, которые не выходят за масштаб нашей системы координат, то есть точки « (−2; −4) » и « (0; −4) ». Построим и подпишем график функции.

Источник