- Решение уравнений, сводящихся к квадратным
- Биквадратные уравнения
- Метод разложения на множители
- Метод замены переменной
- Выделение полного квадрата
- Примеры
- Биквадратное уравнение
- Метод решения
- Пример решения
- Решение биквадратных уравнений: онлайн-калькулятор
- Как решать биквадратное уравнение
- Чтобы решить биквадратное уравнение, необходимо выполнить следующие действия:
Решение уравнений, сводящихся к квадратным
Биквадратные уравнения
Биквадратным уравнением называется уравнение вида:
$$ ax^4+bx^2+c = 0, a \neq 0 $$
Алгоритм решения биквадратного уравнения
Шаг 1. Ввести новую переменную: $z = x^2 \ge 0$.
Переписать уравнение для новой переменной: $az^2+bz+c = 0$
Шаг 2. Решить полученное квадратное уравнение.
Если $D \gt 0$, $z_ <1,2>= \frac<-b \pm \sqrt
Если D = 0,$z_0 = -\frac<2a>$. Проверить условие $z \ge 0$, если корень отрицательный, решений нет, переход на шаг 4.
Если $D \lt 0$, решений нет, переход на шаг 4.
Шаг 3.Если после шага 2 остались положительные корни, найти x: $x = \pm \sqrt
Шаг 4. Работа завершена.
Шаг 1. $z = x^2 \ge 0, z^2+7z-30 = 0$
$z_1 = -10 \lt 0, z_2 = 3 \gt 0 $
Шаг 3. Находим корни из положительного $z: x_ <1,2>= \pm \sqrt<3>$
Метод разложения на множители
Решение уравнений, в которые переменная x входит с различными натуральными степенями и вещественными коэффициентами, по существу, является поиском корней многочлена.
Число $x_0$ называют корнем многочлена $P_n (x) = a_n x^n+a_
Для многочлена $P_n$ (x) произвольной степени n справедливо следующее.
Если $x = x_0$ является корнем многочлена $P_n$ (x), то $P_n (x) = (x-x_0) P_
Таким образом, разными способами находя корни и формируя скобки, можно постепенно добиваться понижения степени «оставшегося» многочлена, пока не будут найдены все корни.
При разложении многочлена
- множители вида (x-a) называют линейными множителями ;
- множители вида $ (x^2+bx+c)$, для которых $D \lt 0$, называют неприводимыми квадратичными множителями .
Любой многочлен $P_n$ (x) можно представить в виде конечного числа линейных и/или неприводимых квадратичных множителей.
Причём, такое представление единственно с точностью до порядка множителей.
Для разложения многочленов на множители применяются разные методы:
- вынесение общего множителя за скобку (см. §19 справочника для 7 класса);
- группировка (см. §20 справочника для 7 класса);
- формулы сокращенного умножения (см. §25 справочника для 7 класса);
- метод неопределённых коэффициентов;
- выделение полного квадрата и т.п.
Решим уравнение $2x^3-x^2-8x+4 = 0$.
Раскладываем на множители: $x^2 (2x-1)-4(2x-1) = 0$
$$ (x^2-4)(2x-1) = 0 \Rightarrow (x-2)(x+2)(2x-1) = 0 $$
Корни уравнения: $x_1 = 2, x_2 = -2, x_3 = \frac<1><2>$
Метод замены переменной
Замена переменной – это уравнение, с помощью которого можно упростить исходное уравнение, и перейти к решению системы из двух более простых уравнений:
$Исходное \quad сложное \quad уравнение \iff <\left\< \begin
Например, для биквадратных уравнений:
$$ ax^4+bx^2+c = 0 \iff <\left\< \begin
Можно предложить аналогичные схемы для других уравнений:
$$ ax+b \sqrt
И, в общем виде, для любой рациональной степени n:
$$ ax^<2n>+bx^n+c = 0 \iff <\left\< \begin
В других случаях замена переменной не настолько очевидна.
Но при удачном выборе, этот метод очень упрощает задачу.
Раскроем скобки:$ x^2-x = \frac<24>
$$ z = \frac<24>
Возвращаемся к исходной переменной x:
$$ \left[ \begin
При использовании метода замены переменной не забывайте возвращаться к исходной переменной.
Выделение полного квадрата
Метод выделения полного квадрата является одним из методов разложения на множители. Его идея – представить многочлен в виде разности квадратов двух других многочленов степенью пониже, и разложить разность на две скобки:
$$ P_n (x) = Q_k^2 (x)-R_m^2 (x) = (Q_k (x)-R_m (x))(Q_k (x)+R_m (x)) $$
Такое разложение не всегда возможно.
Рассмотрим выделение полного квадрата для квадратного трёхчлена:
$$ = a \Biggl(x+\frac <2a>\Biggr)^2 — \frac
Нами выделен полный квадрат $(x+\frac<2a>)^2$.
Данное выражение используется для построения и анализа графиков парабол (см. §28 данного справочника).
А его разложение на две линейные скобки, известное как теорема Виета (см. §26 данного справочника), возможно только при условии $D \ge 0$.
Решить уравнение $x^4+4x^2-1 = 0$
Выделим полный квадрат и разложим на множители:
$$ \left[ \begin
Примеры
Пример 1. Решите биквадратные уравнения:
Делаем замену: $2x^4+7x^2-4 = 0 \iff <\left\< \begin
Решаем квадратное уравнение: $D = 7^2-4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2$
$$ z = \frac<-7 \pm 9> <4>= \left[ \begin
Выбираем положительный z и возвращаемся к исходной переменной x:
Делаем замену: $(x+3)^4-10(x+3)^2+24 = 0 \iff <\left\< \begin
Решаем квадратное уравнение: $z^2-10z+24 = 0 \Rightarrow (z-4)(z-6) = 0 \Rightarrow \left[ \begin
Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ \left[ \begin
Пример 2. Решите уравнения аналогичные биквадратным:
Делаем замену: $x+4 \sqrt
Решаем квадратное уравнение: $ z^2+4z-60 = 0 \Rightarrow (z+10)(z-6) = 0 \Rightarrow \left[ \begin
Выбираем положительный корень и возвращаемся к исходной переменной:
Делаем замену: $(x-1)^6-7(x-1)^3-8 = 0 \iff <\left\< \begin
Решаем квадратное уравнение: $ z^2-7z-8 = 0 \Rightarrow (z+1)(z-8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin
При замене куба знак z может быть любым, берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ \left[ \begin
Пример 3. Решите уравнения с помощью замены переменной:
Заметим, что $(x+3)^2 = x^2+6x+9$. Получаем:
$$ (x^2+6x)^2-(x^2+6x+9) = 33 \Rightarrow (x^2+6x)^2-(x^2+6x)-42 = 0 $$
Решаем квадратное уравнение: $ z^2-z-42 = 0 \Rightarrow (z+6)(z-7) = 0 \Rightarrow \left[ \begin
Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ \left[ \begin
Делаем замену: $ \frac<4>
Решаем уравнение относительно z:
$$ \frac<4>
$$ 2z^2+2z-9z-4 = 0 \Rightarrow 2z^2-7z-4 = 0 $$
$$ D = 7^2-4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2 $$
$$ z = \frac<7 \pm 9> <4>= \left[ \begin
Выбираем корень больше 3 и возвращаемся к исходной переменной:
$$ x^2+3 = 4 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_ <1,2>= \pm 1$$
Пример 4*. Решите уравнения:
Приведём это уравнение к биквадратному.
В линейных множителях (x+a) выберем все a =
Найдем их среднее арифметическое (см. §52 справочника для 7 класса)
Замена переменных $z = x+a_
Упрощаем уравнение, используя формулу разности квадратов:
$$ (z^2-9)(z^2-1) = 945 \Rightarrow z^4-10z^2+9 = 945 \Rightarrow z^4-10z^2-936 = 0 $$
Получили биквадратное уравнение.
Делаем замену: $z^4-10z^2-936 = 0 \iff <\left\< \begin
Решаем квадратное уравнение:
$$ D = 100+4 \cdot 936 = 3844 = 62^2, t = \frac<10 \pm 62> <2>= \left[ \begin
Выбираем положительный корень и возвращаемся к переменной z:
$$ z = \pm \sqrt
Возвращаемся к исходной переменной x:
$$ x = z-4 = \pm 6-4 = \left[ \begin
$$ z- \frac<1>
$$ z^2-2,1z-1 = 0 \Rightarrow D = 2,1^2+4 = 8,41 = 2,9^2; z = \frac<2,1 \pm 2,9> <2>= \left[ \begin
Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ \left[ \begin
В первом уравнении $D = 0,4^2-4 \lt 0$, решений нет.
Во втором уравнении (x-2)(x-1/2) = 0 $\Rightarrow \left[ \begin
Источник
Биквадратное уравнение
Биквадратным уравнением – называется уравнение вида ax 4 + bx 2 + c = 0.
Метод решения
Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки .
Новое квадратное уравнение относительно переменной :
Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения и . Решая эти два уравнения ( и ) относительно переменной , мы получаем корни данного биквадратного уравнения.
Порядок действий при решении биквадратных уравнений
- Ввести новую переменную
- Подставить данную переменную в исходное уравнение
- Решить квадратное уравнение относительно новой переменной
- После нахождения корней ( ) подставить их в нашу переменную и найти исходные корни биквадратного уравнения
Пример решения
Решим биквадратное уравнение . Сначала приводим это уравнение к квадратному. Для этого введем вспомогательное неизвестное такое, что . Тогда . Теперь данное биквадратное уравнение приводится к виду:
Решая это квадратное уравнение, мы получим , . Так как , то данное биквадратное уравнение эквивалентно системе двух уравнений:
Решим каждое из этих уравнений и найдем объединение множеств их решений.
Источник
Решение биквадратных уравнений: онлайн-калькулятор
Биквадратное уравнение имеет вид a x 4 + b x 2 + c = 0 . Суть решения состоит в приведении уравнения к квадратному с помощью подстановки новой переменной.
Решение биквадратных уравнений онлайн – это быстрый способ получить ответ, не совершая преобразований и расчетов. Вам потребуется только ввести условие задачи в калькулятор. Наш сервис выполнит необходимые вычисления по нужным формулам. Автоматические расчеты исключают ошибки, опечатки, использование неверного алгоритма.
- Введите данные в соответствующие поля. Отправьте уравнение на вычисление кнопкой
- «Рассчитать».Получите решение и ответ.
Как решать биквадратное уравнение
Калькулятором на сайте пользуются школьники и студенты для самопроверки. Так в самостоятельных вычислениях можно найти и исправить недочеты.
Чтобы решить биквадратное уравнение, необходимо выполнить следующие действия:
- Ввести новую переменную y = x 2 для упрощения исходного уравнения до квадратного.
- Подставить полученную переменную в первоначальное уравнение.
- Вычислить неизвестные в квадратном уравнении.
- Найденные корни ( y 1 , y 2 ) подставить в переменную y = x 2 и получить решение биквадратного уравнения.
Нахождение ответов для биквадратных уравнений через калькулятор также понадобится родителям для проверки домашних заданий, преподавателям для быстрой подготовки учебных материалов.
Сервис выдает не только готовый ответ, но и подробное решение. Используя его можно изучать новую тему, закреплять уже полученные знания. Чтобы найти ответ, не надо платить или регистрироваться. Вы бесплатно получаете решение нужного количества задач в любое время суток.
На сайте доступны калькуляторы на разные виды уравнений. Поэтому задача по алгебре не останется без решения. На время зачетов, контрольных, экзаменов вы можете заказать услугу онлайн-помощи. Напишите об этом консультанту и получите скидку.
Источник
