СЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ ПЛОСКОСТЬЮ.
РАЗВЕРТКИ МНОГОГРАННИКОВ
Сечение многогранников плоскостью
Многогранник есть геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками (гранями), пересекающимися по прямым линиям (рёбрам). Фигура сечения многогранника есть плоский многоугольник, сторонами которого являются прямые пересечения заданной плоскости с плоскостями граней, а вершинами -— точки пересечения рёбер многогранника с заданной плоскостью.
Построение фигуры сечения многогранника плоскостью может выполняться двумя способами:
— путем определения линии пересечения заданной плоскости с каждой из плоскостей (граней), ограничивающих геометрическое тело многогранника (эти линии — стороны фигуры сечения);
— путем нахождения точек пересечения всех ребер с заданной плоскостью (эти точки — вершины фигуры сечения).
Первый способ называется способом граней, второй — способом ребер. Выбор способа построения фигуры сечения зависит от положения секущей плоскости, рёбер и граней многогранника относительно плоскостей проекций.
Способ граней
Суть способа сводится к последовательному определению линий пересечения двух плоскостей, одна из которых является заданной, а другая — какой-либо гранью многогранника (см. разд. 6). Для построения же самой фигуры сечения определяют точки пресечения найденных прямых, которые являются вершинами многоугольника сечения.
Способ ребер
Этот способ заключается в определении точек встречи прямых (ребер) с заданной плоскостью (см. разд. 7). Установив последовательно для всех ребер точки встречи их с секущей плоскостью, соединяют эти точки отрезками прямых и получают многоугольник сечения.
Развертки многогранников
В инженерном деле многогранники чаще всего реализуются как оболочка заданных форм и размеров. Для их изготовления необходимо уметь выполнить развертку (выкройку) такой оболочки.
Развёртка многогранника представляет собой плоскую фигуру, полученную последовательным совмещением всех граней многогранника с плоскостью чертежа таким образом, чтобы грани примыкали друг к другу по линиям сгиба (рёбрам).
Для построения развёртки многогранника необходимо иметь натуральные величины всех его граней, поэтому задача построения развертки многогранника решается в два этапа:
1) определяют натуральную величину каждой грани (см. разд. 9);
2) потом путем вращения вокруг соответствующей линии (ребра) (см. разд. 9) совмещают грани с плоскостью чертежа.
Примеры решения задач
10.3.1 Задание:определить сечение трёхгранной призмы (рис. 10.1) плоскостью P(P1P2).Построить полную развёртку поверхности призмы и нанести на ней линию сечения.
Решение:секущая плоскость Р является фронтально проецирующей и пересекает все рёбра прямой призмы АА’, ВВ’, СС’.Для решения задачи используют свойство проецирующей плоскости, следуя которому фронтальная проекция 122232 фигуры сечения 1, 2, 3 совпадает с фронтальным следом Р2плоскости Р (рис. 10.2).
Рёбра призмы АА’, ВВ’, СС’являются горизонтально проецирующими прямыми и на плоскость П1проецируются в точки А1 В1 С1 поэтому горизонтальная проекция I1 21 31 фигуры сечения 123 совпадает с горизонтальной проекцией призмы, т.е. 
.
В рассматриваемом примере основание призмы проецируется на горизонтальную плоскость проекций П1 в натуральную величину, рёбра призмы параллельны фронтальной плоскости проекций П2. Из этого следует, что фронтальные проекции рёбер А2А’2, В2В’2, С2С’2 являются натуральными величинами.
Для построения развёртки призмы совмещают ее боковые грани с фронтальной плоскостью проекций П2. На совмещенных положениях граней А0А’0, В2В’2, С2С’2 развертки призмы отмечают точки 10, 20, 30 и последовательно соединяют их отрезками прямых линий. Верхнее А’В’С’ и нижнее ABC основания и натуральную величину фигуры сечения 102030 пристраивают к развёртке, как треугольники по трём известным сторонам.
Источник
Способ ребер
Способ граней
Сечение многогранников плоскостью
РАЗВЕРТКИ МНОГОГРАННИКОВ
Многогранник есть геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками — (гранями, пересекающимися по прямым линиям-рёбрам). Фигура сечения многогранника есть плоский многоугольник, сторонами которого являются линии пересечения заданной плоскости с плоскостями граней, а вершинами — точки пересечения рёбер многогранника с заданной плоскостью.
К многогранникам относятся призмы, пирамиды и более сложные объекты.
Призма – это многогранник, основания которого являются n-угольник, а боковые ребра взаимно параллельны.
Пирамида – многогранник, основанием которого является n-угольник, а боковые грани — треугольники.
Построение фигуры сечения многогранника плоскостью может выполняться двумя способами:
· путем определения линии пересечения заданной плоскости с каждой из плоскостей (граней), ограничивающих геометрическое тело многогранника (эти линии — стороны фигуры сечения);
· путем нахождения точек пересечения всех ребер с заданной плоскостью (эти точки — вершины фигуры сечения).
Первый способ называется способом граней, второй — способом ребер. Выбор способа построения фигуры сечения зависит от положения секущей плоскости, рёбер и граней многогранника относительно плоскостей проекций.
Суть способа сводится к последовательному определению линий пересечения двух плоскостей, одна из которых является заданной, а другая — какой-либо гранью многогранника (см. разд. 6). Для построения же самой фигуры сечения определяют точки пресечения найденных прямых, которые являются вершинами многоугольника сечения.
Этот способ заключается в определении точек встречи прямых (ребер) с заданной плоскостью (см. разд. 7). Установив последовательно для всех ребер точки встречи их с секущей плоскостью, соединяют эти точки отрезками прямых и получают многоугольник сечения.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Источник
Список принятых обозначений (стр. 5 )
 | Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 |
8.1. Изображение многогранников
Многогранники – это геометрические тела, ограниченные плоскими гранями, заключающие в себе определенную конечную часть пространства. Многогранники на чертеже изображаются проекциями. Проекцией многогранника на плоскость будет многоугольник с диагоналями. Стороны многоугольника и диагонали есть проекции ребер многогранника. Если считать грани многогранника непрозрачными, то часть ребер на проекциях (именно диагонали многоугольника) будут линиями невидимого контура и изображаются на чертеже штриховыми линиями. Видимость на проекциях определяется по методу конкурирующих точек.
На рис. 103 изображен элементарный многогранник – четырехгранник АВСD, фронтальная проекция А²В²С²D² и профильная проекция А²¢В¢²С²¢D¢². На фронтальной проекции определена видимость по конкурирующим точкам 1 и 2. Вопрос видимости на плоскости V решается на профильной проекции. Стрелкой S показано направление взгляда наблюдателя. 
Проекция 1¢² расположена к наблюдателю ближе чем проекция 2²¢, следовательно, на фронтальной проекции 1² будет видимой и проекция ребра А²D² изображается линией видимого контура.
 |
8.2. Сечение многогранника плоскостью
В сечении многогранника плоскостью получается плоский многоугольник, стороны которого являются результатом пересечения граней многогранника с секущей плоскостью.
8.2.1. Сечение многогранника плоскостью частного положения
Секущая плоскость на одну из плоскостей проекций вырождается в прямую линию, которая, пересекая проекции ребер многогранника, определяет число вершин многоугольника – фигуры сечения. Отмечаются горизонтальные проекции точек пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника. Полученные точки соединяются замкнутой ломаной линией (рис. 104).
Фронтально проецирующая плоскость a пересекает ребро SA в точке 1, ребро SB в точке 2, ребро SC в точке 3.
Строится горизонтальная проекция 1¢2¢3¢ фигуры сечения пирамиды плоскостью a. Методом плоскопараллельного перемещения определяется натуральная величина фигуры сечения.
 |
Рис. 104
8.2.2. Сечение многогранника плоскостью общего положения
Пирамида ABCD пересекается плоскостью общего положения, заданной двумя пересекающимися прямыми PQ 
PR. Решение задачи можно привести к уже описанному в разделе 8.2.1 случаю.
Заданный чертеж (рис. 105) преобразуется методом перемены плоскостей проекций таким образом, что секущая плоскость в системе HV1 становится фронтально проецирующей. Для построения горизонтальной проекции 1¢ используется деление отрезка на пропорциональные части, фронтальная проекция 2² строится таким же образом. Натуральная величина фигуры сечения определяется методом вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости V1., проходящей через точку 2.
Рис. 105
8.2.3. Метод граней. Метод ребер
Многогранник пересекается плоскостью общего положения a. Задача может решаться без преобразования секущей плоскости в частное положение. На рис. 106 задача решена методом граней.
 |
Метод граней можно применять в том случае, если грани многогранника являются плоскостями частного положения.
Метод ребер (рис. 107). Задача определения фигуры сечения многогранника плоскостью сводится к задаче пересечения прямой с плоскостью. Последовательно решается задача пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью.
На рис. 106 основание пирамиды пересекается с плоскостью a по отрезку (12). Ребро SC пересекается с плоскостью a в точке 4. Через SC проводится вспомогательная плоскость b, линия пересечения плоскостей b и a определяет точку 4 на ребре SC.
Грань АВЕF фронтально проецирующая, через неё проводится вспомогательная плоскость b, которая, пересекаясь с плоскостью a, определяет сторону фигуры сечения – (1-2). Вспомогательная плоскость g, проведенная через грань BFGD, дает сторону фигуры (2-3). Основание многогранника EFDH пересекается с плоскостью a по прямой (4-5). В сечении многогранника плоскостью a получается пятиугольник 12345, натуральную величину фигуры сечения можно определить одним из способов преобразования эпюра.
В данном случае плоскость g оказалось возможным провести сразу через два ребра — SB и
| |
SD, линия пересечения a и g определяет точку 3 на ребре SD и точку 5 на ребре SB.
8.3. Построение разверток поверхностей
Рассмотрим некоторые способы построения разверток поверхностей многогранников на плоскость. Наиболее универсальным способом построения развертки является триангуляция, а также широко применяются методы раскатки и нормального сечения.
8.3.1. Метод триангуляции заключается в разбиении поверхности на треугольники, далее определяется натуральная величина каждой стороны треугольника. На плоскости один треугольник поверхности пристраивается к другому по трем сторонам. Внешний контур развертки проводится сплошной основной линией и носит название «линия обреза», стороны треугольников внутри контура развертки проводятся штрих-пунктирной тонкой линией с двумя точками и называются линиями сгиба. Если вырезать развертку по контуру и согнуть по линиям сгиба, то должен получиться макет развертываемой поверхности.
Рис. 108
Методом триангуляции можно построить приближенную развертку неразвертываемой поверхности.
На рис. 108 показано построение развертки трехгранной пирамиды. Вся поверхность состоит из треугольников. Определяется натуральная величина ребер SB и SC. Методом засечек строятся на плоскости грани пирамиды.
8.3.2. Метод раскатки
Этим методом строятся развертки прямых призм, цилиндров, конусов и т. д. Построение развертки осуществляется по следующему порядку. С плоскостью совмещается одно боковое ребро призмы, затем вращением вокруг него с плоскостью совмещается грань призмы, вращением вокруг второго ребра (рис. 109) совмещается вторая грань и т. д.
Рис. 109
8.3.3. Метод нормального сечения
Этим методом строятся развертки поверхностей наклонных призм, цилиндров, конусов и т. д. (рис. 109).
На рис. 109 построена развертка поверхности наклонной трехгранной призмы. Плоскость a перпендикулярна боковым ребрам призмы, дает нормальное сечение. Методом плоскопараллельного перемещения определяется натуральная величина фигуры нормального сечения.
Нормальное сечение превращает наклонную призму в две прямые с основанием 123.
Рис. 110
Периметр нормального сечения откладывается на прямой линии через концы отрезков периметра (точки 1, 2, 3) проводятся вертикальные линии и на них откладываются отрезки ребер вверх и вниз от нормального сечения. Концы ребер соединяются, получается развертка боковой поверхности наклонной призмы, к ней пристраивается верхнее и нижнее основание призмы.
8.4. Поверхности вращения
Поверхности вращения образуются вращением некоторой образующей вокруг прямолинейной оси. В качестве образующей может быть использована прямая, плоская или пространственная кривая линия, а также любая плоская или трехмерная геометрическая фигура.
8.4.1. Изображение поверхности вращения на чертеже
На чертеже поверхность вращения может быть задана различными способами. При любом способе задания на чертеже обязательно присутствует ось вращения. Рассмотрим некоторые способы задания поверхностей вращения на чертеже на примере конуса. Поверхность конуса образуется вращением прямой образующей вокруг прямолинейной оси, причем образующая пересекается с осью вращения в точке, которая носит название «вершина конуса». Прямая образующая продолжается в обе стороны от вершины и при вращении вокруг оси образует две полы поверхности (рис. 110).
 |
Традиционный способ задания конуса на эпюре рис. 112 с помощью крайних образующих на фронтальной плоскости проекций и очерка основания на горизонтальной проекции. Минимальная графическая информация, достаточно полно определяющая поверхность, представлена на рис. 113. Совокупность геометрических элементов: ось вращения, вершина конуса S, одна из образующих SA (точка А взята произвольно и служит только для обозначения) называется определителем данной конической поверхности. Подобным образом может быть задана любая поверхность вращения.
Большое значение в практике имеет способ задания поверхности каркасом. Под каркасом поверхности следует понимать семейство образующих, дискретно заполняющих поверхность. Поверхность конуса также может быть задана каркасом, в качестве элементов каркаса на поверхности конуса можно выделить семейство образующих (рис. 114) или семейство окружностей – параллелей поверхности (рис. 115).
 |
 | ||
Конические сечения (рис. 117). Плоскость a перпендикулярна оси вращения конуса, пересекает поверхность конуса по окружности. Плоскость b не перпендикулярна оси вращения, пересекает все образующие конуса в пределах одной полы, в сечении — эллипс. Плоскость g не перпендикулярна оси вращения, пересекает все образующие, за исключением одной (плоскость g параллельна одной образующей конуса), в пределах одной полы поверхности – в сечении парабола. Плоскость d параллельна двум образующим конуса, остальные образующие пересекает – в сечении гипербола. Плоскость e проходит через вершину конуса и находится в пределах обеих пол поверхности — в сечении две пересекающиеся образующие конуса.
Сечение шара плоскостью Поверхность шара, или сфера, образуется путем вращения окружности вокруг ее диаметра. В сечении сферы любой плоскостью получается окружность. Если секущая плоскость параллельна одной из плоскостей проекций, то на эту плоскость проекций окружность (сечение сферы) проецируется в натуральную величину. Во всех остальных случаях проекции сечения сферы будет эллипс, исключая случай вырождения проекции окружности в прямую линию. 8.4.3. Сечение поверхностей вращения плоскостью общего положения Определение фигуры сечения поверхностей тел вращения аналогично задаче сечения многогранника плоскостью общего положения. На поверхности тела вращения можно выделить ряд образующих и определить точки пересечения их с секущей плоскостью. Полученные точки соединяются плавной кривой линией с учетом видимости на проекциях. Этот метод фактически является методом ребер. Решение задач пересечения поверхностей тел вращения плоскостью общего положения можно осуществить применением вспомогательных секущих плоскостей. Алгоритм решения задачи (рис. 118) можно описать следующим образом: 1) определяются «высшая» и «низшая» точки фигуры сечения поверхности данного тела плоскостью общего положения. Эта операция производится с использованием вспомогательной проецирующей плоскости, которая проводится через ось вращения тела и перпендикулярно секущей плоскости (плоскость симметрии композиции конуса и секущей плоскости); 2) определяются промежуточные точки кривой линии, ограничивающей фигуру сечения, посредством вспомогательных секущих плоскостей. Полученные точки соединяются плавной кривой линией с учетом видимости на проекциях. Если есть необходимость, определяется натуральная величина. Промежуточные точки (3-10) определяются с помощью горизонтальных секущих плоскостей g1 — g4. Полученные точки соединяются плавной кривой линией. На горизонтальной плоскости проекций вся кривая будет видима, так как целиком лежит на видимой сверху поверхности конуса. Видимость на фронтальной плоскости проекций определяется точками (11 и 12) пересечения крайних образующих с секущей плоскостью a. Для определения 11 и 12 через горизонтальные проекции крайних образующих проводится вспомогательная фронтальная плоскость d. Участок проекции кривой 11² — 5² — 12² невидимый, а участок 11² — 8² — 12² видимый. Рис. 118 |
8.4.4. Развертка поверхностей вращения
Развертка поверхностей тел вращения производится методом раскатки. Развертка прямого кругового цилиндра представляет из себя прямоугольник со сторонами l – образующая цилиндра – и 2pR, где R – радиус основания цилиндра. К этому прямоугольнику пристраиваются сверху и снизу (по сторонам) круги – основания цилиндра.
Развертка боковой поверхности конуса получается в виде сектора радиуса l – образующая конуса. К дуге сектора пристраивается круг – основание конуса. Центральный угол j сектора – боковой развертки конуса определяется из равенства длин дуг сектора и круга основания (рис. 119):
2pR = × j, j = × 360°.
8.5. Построение проекций геометрических тел со сквозными вырезами
Эта тема основана на сечении геометрических тел плоскостью (см. раздел 8.2). Выделение этой темы обусловлено тем, что она является теоретической основой отображения на чертеже внутреннего строения деталей машин. Вырезы в геометрических телах образуются плоскостями, как правило, частного положения. Общий порядок построения проекций геометрических тел с вырезами следующий:
1) анализируются секущие плоскости, образующие вырез;
2) тонкими линиями строятся фигуры сечения данного геометрического тела секущими плоскостями;
3) определяются проекции геометрического тела с вырезом с учетом видимости.
8.5.1. Многогранники с вырезами или взаимное пересечение многогранников
Поверхности многогранников пересекаются по замкнутым пространственным ломаным линиям, стороны которых являются линиями пересечения граней, а вершины – пересечения ребер многогранников с гранями. Порядок решения задач следующий:
1) определяются точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго;
2) определяются точки пересечения ребер второго многогранника с гранями первого;
3) полученные точки соединяются отрезками прямых линий с учетом видимости на проекциях.
На рис. 120 пересекаются два многогранника — пирамида SABC и призма PQRT.
Ребро пирамиды SC пересекается с двумя гранями призмы PQ и RT в точках 1 и 2 соответственно. Ребра призмы пересекают боковые грани пирамиды, каждое ребро пересекает две грани. Точки пересечения ребер с гранями определяются с помощью вспомогательных горизонтальных секущих плоскостей b1 и b2.
Полученные точки соединяются отрезками, получаются две замкнутые ломаные линии и .
На чертеже отрезок ломаной линии будет видимым, если он лежит на двух видимых на данной проекции гранях. Если отрезок принадлежит хотя бы одной невидимой грани (отрезки 2-9 и 2-7 на плоскости Н), то эта проекция будет невидимой.
Рис. 120
Если (см. рис. 120) призму исключить, оставив призматический вырез в пирамиде, то все решение задачи будет абсолютно аналогично, изменится только видимость на горизонтальной плоскости проекций.
8.5.2. Проекции тел вращения со сквозными вырезами
В конусе (рис. 121) сделан сквозной призматический вырез, образованный тремя плоскостями.
Первая плоскость I горизонтальная, пересекает конус по окружности, которая на плоскость Н проецируется в натуральную величину, на V вырождается в прямую линию.
Вторая плоскость II пересекает поверхность конуса по гиперболе. Плоскость II профильная, поэтому гипербола на плоскость W проецируется в натуральную величину, а на плоскость H вырождается в прямую линию. Плоскость II пересекается с плоскостью I по прямой линии 1-2, которая на плоскость V вырождается в точку, на плоскость W в натуральную величину и совпадает с вырожденной проекцией сечения конуса плоскостью I, на горизонтальную плоскость отрезок (12) проецируется в натуральную величину и проводится линией невидимого контура.
Третья плоскость III пересекает все образующие конуса и не перпендикулярна оси вращения, в сечении конуса получается плоская фигура, ограниченная эллипсом. Эллипс проецируется на плоскости Н и W в виде эллипса, но с искажением, не в натуральную величину.
Проекции гиперболы и эллипса строятся по точкам, лежащим на поверхности конуса на окружностях, совокупность которых образует каркас поверхности конуса. Точки 15 и 16 лежат на окружности радиуса R (см. рис. 120). Строится горизонтальная проекция этой окружности, и на ней отмечаются 13¢ и 14¢ горизонтальные проекции точек. Профильные проекции строятся по координатам у13 и у14, которые определяются на горизонтальной проекции и откладываются от профильной проекции оси вращения конуса по линии связи, определяя положение 13¢² и 14²¢. Таким же образом строятся все остальные точки на эллипсе и гиперболе.
1. , Семенцов- Курс начертательной геометрии. М., 1962. С. 115 – 138, 237 – 243.
Вопросы для самопроверки
1. Изложите сущность метода граней и ребер при решении задач на сечение многогранников плоскостью.
2. Какие существуют способы построения разверток? Расскажите кратко сущность каждого способа.
3. Какие существуют способы задания поверхностей вращения на чертеже?
4. Перечислите возможные конические сечения.
5. Изложите последовательность решения задачи на построение проекций геометрических тел со сквозными вырезами.
Задачи и упражнения
Задача 1. Построить три проекции фигуры сечения пирамиды плоскостью a, определить натуральную величину фигуры сечения, построить развертку поверхности пирамиды и на ней нанести линию сечения пирамиды плоскостью (рис. 122).
 |
Задача 2. (Условие задачи 1) (рис. 123)
 |
Задача 3. Построить три проекции фигуры сечения конуса плоскостью a, определить натуральную величину фигуры сечения, построить развертку поверхности конуса, на развертке нанести линию сечения поверхности (рис. 124).
Задача 4. (Условие задачи 3) (рис. 125)
 |
Задача 5. Построить три проекции шара со сквозным вырезом (рис. 126).
 |
9. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ
Поверхности вращения в общем случае пересекаются между собой по кривым пространственным линиям четвертого порядка (порядок кривой линии соответствует степени неизвестного в уравнении, описывающего эту кривую). Линия пересечения двух поверхностей является рядом общих точек этих поверхностей.
9.1. Общий алгоритм решения
Решение задач определения линии пересечения двух поверхностей осуществляется по единому алгоритму:
1) отмечаются характерные точки на чертеже. Под характерными точками имеются в виду: экстремальные «низшая» и «высшая» точки кривой[2];
2) определяется ряд промежуточных точек кривой. Для построения промежуточных точек привлекаются специальные построения, которые носят названия «метод вспомогательных секущих плоскостей» и «метод вспомогательных секущих сфер»;
3) полученные точки соединяются плавной кривой линией с учетом видимости на проекциях.
9.2. Метод вспомогательных секущих плоскостей
На рис. 127 решена задача пересечения поверхностей конуса и сферы. Последовательность операций при решении задачи следующая:
1. Определяются характерные точки – 1 и 2, точки пересечения очерков сферы и конуса на горизонтальной плоскости проекций. Экстремальная точка 3 строится с помощью вспомогательной плоскости b1, точка А, определяющая видимость кривой на фронтальной плоскости проекций, — с помощью плоскости b2.
2. Для решения задачи применяется метод вспомогательных секущих плоскостей. Вспомогательные секущие плоскости, как правило, бывают плоскостями частного положения; не исключено применение и плоскостей общего положения. Вспомогательные секущие плоскости должны пересекать данные поверхности по элементарным линиям – прямым, окружностям.
Рис. 127
Для задачи (см. рис. 127) можно применять горизонтальные секущие плоскости. Плоскость g пересекает поверхность конуса и поверхность сферы по окружностям, которые на горизонтальную плоскость проекций отображаются в натуральную величину и, пересекаясь, определяют пару точек, общих для поверхности конуса и сферы. Прежде чем проводить серию вспомогательных плоскостей, необходимо определить область проведения их. Очевидно, что самой нижней плоскостью g является плоскость основания конуса. Верхний предел проведения плоскостей определяется «высшей» общей точкой поверхности конуса и сферы.
На рис. 127 высшей точкой является точка 3, которая построена с помощью вспомогательной секущей плоскости b1, проведенной через ось вращения конуса и центр сферы. Боковая поверхность конуса плоскостью b1 пересекается по образующей ВС, а сфера по меридиану. Для определения точки 3 используется метод вращения вокруг оси сферы. Образующая ВС и меридиан, лежащие в плоскости b1, поворачиваются так, чтобы фронтальная проекция меридиана совпала с очерком сферы, повернутые меридиан сферы и образующая конуса дают проекцию 31², обратным преобразованием определяется положение точки 3² на образующей В²С² и 3¢ на В¢С¢. После того как определена область проведения вспомогательных плоскостей, строится ряд промежуточных точек с помощью плоскостей g1 — g5.
3. Полученные точки соединяются между собой плавной кривой линией с учетом видимости на проекциях. На горизонтальной проекции будет видна вся поверхность полусферы и конуса, поэтому и линия их пересечения проводится линией видимого контура. Видимость кривой на фронтальной плоскости проекций определяется точкой А, точкой пересечения крайней образующей конуса с поверхностью сферы. Эта точка строится с помощью вспомогательной плоскости b2. Эта плоскость пересекает конус по крайней образующей, а сферу по окружности. Они, пересекаясь, определяют точку А – границу видимости кривой на фронтальной плоскости. Участок А² — 2² будет видимым, участок А² — 1² проводится штриховой линией.
В некоторых случаях промежуточные точки можно строить методом вспомогательных секущих концентрических сферических поверхностей или просто методом сфер.
Рис. 128
Чтобы понять механизм действия метода сфер, нужно знать свойство пересечения поверхностей соосных тел вращения.
Если два тела вращения имеют общую ось, то их поверхности пересекаются по окружности.
На рис. 128 изображены две пары соосных поверхностей. Первая пара – два прямых круговых конуса – имеют общую ось вращения, поверхности их пересекаются, как видно из рисунка, по плоской кривой – окружности; поскольку плоскость этой кривой перпендикулярна оси вращения, то ее проекция на фронтальную плоскость проекций вырождается в прямую линию.
Вторая пара соосных поверхностей — прямой круговой конус и сфера – пересекаются по двум плоским кривым – окружностям. Этот случай можно обобщить следующим предложением:
Если центр сферы лежит на оси вращения поверхности, то эта поверхность пересекается со сферой по плоским кривым – окружностям.
Второе предложение: Если ось вращения поверхности параллельна одной из плоскостей проекций, то окружность, по которой сфера пересекает поверхность, на эту плоскость проекций проецируется в виде прямой, перпендикулярной оси вращения поверхности.
Промежуточные точки определяются методом сфер, если задача удовлетворяет следующим условиям:
1) пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения;
2) оси вращения поверхностей пересекаются в одной точке;
3) оси вращения поверхностей параллельны одной из плоскостей проекций.
Поверхности двух конусов пересекаются между собой (рис. 129) по двум кривым линиям. Задача решается по общему алгоритму:
1) строятся характерные точки 1, 2, 3, 4;
2) промежуточные точки можно построить, прибегнув к методу сфер, поскольку задача удовлетворяет всем условиям применения этого метода;
3) полученные точки соединяются между собой плавными линиями с учетом видимости на проекциях.
Для определения промежуточных точек кривой проводятся вспомогательные сферические секущие поверхности. За центр сфер принимается точка пересечения осей вращения конусов.
Область проведения вспомогательных секущих сфер определяется минимальной и максимальной сферами. На рис. 129 показаны радиусы Rmin – минимальной сферы и Rmax – максимальной сферы. Минимальной сферой является сфера, вписанная в «большее» из тел. Радиус этой сферы определяется путем сравнения нормалей, проведенных из центра сфер ( на крайние образующие пересекающихся поверхностей), большая из которых определяет Rmin.
Сфера минимального радиуса касается поверхности вертикально расположенного конуса по окружности, фронтальная проекция которой вырождается в прямую линию, а поверхность усеченного конуса пересекается этой сферой по двум окружностям, которые также на фронтальную плоскость проекций вырождаются в прямые линии. Эти три окружности лежат на поверхности одной сферы и пересекаются между собой в четырех точках – 5, 6, 7, 8; фронтальные проекции их попарно совпадают: 5²=6² и 7²=8²; горизонтальные проекции 5¢, 6¢, 7¢, 8¢ лежат на горизонтальной проекции окружности, по которой минимальная сфера касается поверхности горизонтально расположенного конуса.
Рис. 129
Максимальной сферой, дающей решение, является сфера радиуса от точки пересечения осей вращения конуса до наиболее удаленной характерной точки (4).
Таким образом, минимальная и максимальная сферы определяют область проведения вспомогательных секущих сфер, позволяющих определить общие точки двух конических поверхностей. Горизонтальные проекции промежуточных точек строятся по условию принадлежности их вертикально расположенному конусу, при этом нужно следить, чтобы горизонтальная проекция линии пересечения поверхностей конусов вписывалась, касаясь крайних образующих, в усеченный конус. Точки касания А, В и C, D определяют видимость кривой на горизонтальной проекции.
Видимость на фронтальной плоскости проекций определяется просто, поскольку невидимая часть кривой совпадает с видимой. Видимость на горизонтальной плоскости проекций определяется точками А¢, В¢, С¢, D¢, которые должны быть найдены с помощью горизонтальной секущей плоскостиb. Плоскость b проходит через ось вращения усеченного конуса и, следовательно, через крайние (на горизонтальной проекции) образующие усеченного конуса, а вертикальный конус пересекает по окружности, которая пересекает крайние образующие в точках А¢, В¢, С¢ и D¢.
9.4. Особый случай взаимного пересечения поверхностей вращения
Существует теорема Г. Монжа: «Две поверхности второго порядка, описанные около третьей поверхности второго порядка (или в нее вписанные), пересекаются между собой по двум кривым второго порядка». Следует рассмотреть один случай, когда две поверхности второго порядка описаны около поверхности сферы. В этом случае поверхности вращения пересекаются по двум плоским кривым. На рис. 130 пересекающиеся поверхности прямого кругового конуса и цилиндра описаны около одной сферы. Решение задачи в этом случае предельно просто:
1) фронтальная проекция линии пересечения определяется характерными точками и представлена двумя пересекающимися прямыми — 1-3 и 2-4;
2) горизонтальная проекция – два эллипса, лежащие на поверхности конуса.
Горизонтальная проекция линии пересечения цилиндра и конуса строится по точкам и их принадлежности поверхности прямого кругового конуса. Видимость на горизонтальной проекции определяется точками А, В, С и D, лежащими на крайней образующей цилиндра.
Рис. 130
1. , Семенцов- Курс начертательной геометрии. М., 1962.
Вопросы для самопроверки
1. Изложите общий алгоритм решения задачи пересечения поверхностей вращения.
2. Изложите сущность метода вспомогательных секущих плоскостей.
3. Как определяется область проведения вспомогательных секущих плоскостей?
4. Изложите условия применения метода сфер.
5. Как определяется область проведения вспомогательных секущих сфер?
6. Как определяется видимость на проекциях?
Задачи и упражнения
Задача 1. Построить три проекции тел вращения и линию пересечения их поверхностей (рис. 131). (Задача решается методом вспомогательных секущих плоскостей)
Задача 2. Построить три проекции и линию пересечения поверхностей двух конусов (метод сфер) (рис. 132) (чертежи рекомендуется увеличить).
 | |
 | |
| | |
 | |
|
Литература для самостоятельной работы
1. Начертательная геометрия. М.: Высшая школа, 1985.
2. , Семенцов- А. Курс начертательной геометрии. М.: Наука, 1988.
3. Начертательная геометрия. М.: Машиностроение, 1983.
4. Краткий курс начертательной геометрии. М.: Высшая школа, 1974.
5. Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981.
6. М. Введение в геометрию. М.: Наука, 1966.
7. Этюды по начертательной геометрии. Екатеринбург: Изд. УГИ, 1991.
1.2. Косоугольное проецирование ……………………………………………………..12
1.3. Прямоугольное проецирование……………………………………………………. 13
1.4. Аксонометрические проекции……………………………………………………….14
1.4.1. Классификация аксонометрических проекций………………………………16
1.4.2. Прямоугольная изометрия…………………………………………………….17
1.4.3. Прямоугольная диметрия……………………………………………. 18
1.4.4. Построение овалов заменяющих эллипсы……………………………………19
2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ. МЕТОД МОНЖА………………………………….22
2.1. Прямоугольные проекции точки…………………………………………………….22
2.2. Прямоугольные проекции прямой линии…………………………………………..26
2.2.1. Прямая общего положения……………………………………………………26
2.3. Прямые частного положения………………………………………………………. 30
3.2. Пересекающиеся прямые ………………………………………………………36
3.3. Скрещивающиеся прямые …………………………………………………. 36
3.4. Проекции плоских углов…………………………………………………………. 37
4.1. Определение и изображение плоскости на чертеже………………………………..41
4.2. Точка и прямая в плоскости………………………………………………………….43
4.2.1. Принадлежность точки и прямой плоскости…………………………………43
4.2.2. Главные линии плоскости……………………………………………………..45
4.3. Плоскости частного положения……………………………………………………. 47
5. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ………………………………54
5.1. Признак параллельности прямой и плоскости……………………………………. 54
5.2. Прямая, пересекающая плоскость……………………………………………………56
5.3. Прямая, перпендикулярная плоскости………………………………………………60
6. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ…………………. 64
6.1. Параллельные плоскости…………………………………………………. 64
6.3. Взаимно перпендикулярные плоскости………………………………………….….67
Комментарии к задачам и упражнениям разделов 2 – 6……………………………………71
7. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИОННОГО ЧЕРТЕЖА………………….75
7.1.1. Метод вращения вокруг проецирующих прямых……………………………75
7.1.2. Метод вращения без указания осей или плоско параллельное перемещение……………………………………………………………………………….77
7.1.3. Вращение вокруг линий уровня……………………………………………….79
7.1.4. Вращение вокруг следа плоскости…………………………………………….81
7.2. Метод перемены плоскостей проекций……………………………………………. 82
7.2.1. Замена одной плоскости проекций……………………………………………82
7.2.2. Последовательная замена плоскостей проекций……………………………..84
8. МНОГОГРАННИКИ. ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ………………………………………………. 88
8.1. Изображение многогранников……………………………………………………….88
8.2. Сечение многогранника плоскостью………………………………………. 89
8.2.1. Сечение многогранника плоскостью частного положения………………….89
8.2.2. Сечение многогранника плоскостью общего положения……………………90
8.2.3. Метод ребер. Метод граней……………………………………………………91
8.3. Построение разверток поверхностей………………………………………………. 93
8.3.3. Метод нормального сечения…………………………………………………. 95
8.4.1. Изображение поверхности вращения на чертеже……………………………96
8.4.2. Сечение поверхностей вращения плоскостью частного положения……….98
8.4.3. Сечение поверхностей вращения плоскостью общего положения………..100
8.4.4. Развертка поверхностей вращения…………………………………………..102
8.5. Построение поверхностей геометрических тел со сквозными вырезами………..102
8.5.1. Многогранники с вырезами, или взаимное пересечение многогранников..103
8.5.2. Проекции тел вращения со сквозными вырезами…………………………..104
9. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ……………………..110
9.2. Метод вспомогательных секущих плоскостей…………………………………….110
9.4. Особый случай пересечения поверхностей вращения…………………………….116
Литература для самостоятельной работы…………………………………………………..120
[1] В том смысле, что А1¢В1¢ может располагаться выше или ниже, левее или правее, но всегда горизонтально
[2] Точки, определяющие видимость кривой пересечения поверхности на плоскостях проекций, точки пересечения крайних образующих и очерковых кривых поверхностей.
Источник
