Способ рационализации при решении логарифмических неравенств формулы таблица

Метод рационализации при решении логарифмических неравенств
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме

Составлена таблица формул метода рационализации для решения логарифмических, показательных неравенств и неравенств с модулем.

Рассмотрены примеры использования метода рационализации в задачах ЕГЭ №15 (С3).

Для сравнения задачи решаются классическим методом и методом рационализации.

Логарифмические неравенства с подробным решением и список заданий с ответами для самостоятельной работы.

Скачать:

Вложение	Размер
metod_ratsionalizatsii_pri_reshenii_logarifmicheskih_neravenstv.rar	301.36 КБ

Предварительный просмотр:

Составитель текста – Прокофьева Т.А. (МБОУ СШ №12)

Как известно, ЕГЭ по Математике длится 235 минут, и чтобы распределить это время рационально на все задания, не помешало бы узнать короткие пути решения той или иной задачи. Так, на С3(задача №15), оцениваемое в 3 балла, рекомендовано 30 минут (при условии, что ученик намерен решать все задания). Если проводить решение согласно всем известному методу интервалов, то, возможно, вы потратите все отведенное на него время. Существует ли такой метод решения неравенств, при котором мы сможем упростить наши вычисления, тем самым сохранив время?

Это метод рационализации (оптимизации, декомпозиции, замены множителей, замены функций, обобщенный метод интервалов, правило знаков)

Теоретическое обоснование метода

Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида

является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем:

Недостатком данного метода является необходимость решения семи неравенств, не считая двух систем и одной совокупности. Уже при данных квадратичных функциях решение совокупности может потребовать много времени. Можно предложить альтернативный, менее трудоемкий метод решения этого стандартного неравенства. Это метод рационализации неравенств, известный в математической литературе под названием декомпозиции.

Метод декомпозиции заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при которой неравенство G(x)^0 равносильно неравенству F(x)^0 в области определения F(x).

f, g, h – выражения с переменной х , a – фиксированное число или функция ( а> 0 , a≠ 1).

Источник

40. Алгебра Читать 0 мин.

40.691. Метод рационализации

Метод рационализации — это процедура, позволяющая в определённых случаях упростить неравенство и свести его к рациональному неравенству (которое решается методом интервалов).

Позволяет перейти от выражения f к выражению $g$, сохранив все решения.

Метод рационализации для логарифмических неравенств

Выравнивание $f$	Выравнивание $g$
$\log_af \vee \log_ag$	$(a — 1)(f — g)\vee 0 $

Здесь мы сравниваем значения относительно друг друга и допускаем случай, когда одно значение больше, а другое меньше и наоборот. Один из способов сравнения двух величин – это вычесть из одного другое. Если разность будет больше нуля, значит, первое число было больше. В первой скобке мы вычитаем из основания единицу. Это значит, что мы сравниваем основание с 1. Во второй скобке мы из одного под логарифмического выражения вычитаем другое, т.е. снова сравниваем их.

Пример. Решите неравенство $\log_(x+2) 0 \\ x^2 > 0 \\ x^2 \neq 1 \end \leftrightarrow \qquad \begin x > -2 \\ x \neq 0 \\ x \neq \pm 1 \end $

С учетом ОДЗ получаем решение неравенства: $x \in (-2; -1) \cup (-1; 0)\cup(0;1)\cup(2; +\infty)$

Ответ: $x \in (-2; -1) \cup (-1; 0)\cup(0;1)\cup(2; +\infty)$

Из рассмотренного метода рационализации вытекают следствия:

Выравнивание $f$	Выравнивание $g$
$(\log_af — \log_ag)\cdot h \vee 0$	$(f — g)\cdot h \vee 0 $
$(\log_fa \vee \log_ga)$	$(f — 1)(g-1)(a -1)(g -f) \vee 0 $
$(\log_hf \cdot \log_pq) \vee 0$	$(h — 1)(f-1)(p -1)(q -f) \vee 0 $
$\displaystyle\frac<\log_af - \log_ag> <\log_ap - \log_aq>\vee 0$	$\displaystyle\frac < p -q>\vee 0$

$ \begin 12x^2-41x+35 > 0, \\ 2x^2-5x+3 > 0, \\ 12x^2-41x+35 \neq 1, \\ 2x^2-5x+3 \neq 1, \\ 3 — x > 0 \end \leftrightarrow \qquad \begin (x — \displaystyle\frac<5><3>)(x — \frac<7><4>) > 0, \\ (x — 1)(x — \displaystyle\frac<3><2>) > 0, \\ 12x^2 — 41x + 35 \neq 0, \\ 2x^2 — 5x + 2 \neq 0, \\ -x > -3 \end \leftrightarrow \qquad \begin (x — \displaystyle\frac<5><3>)(x — \frac<7><4>) > 0, \\ (x — 1)(x — \displaystyle\frac<3><2>) > 0, \\ (x — \displaystyle\frac<17><12>)(x — 2) \neq 0, \\ (x — 2)(x — \displaystyle\frac<1><2>) \neq 0, \\ x |35 — x^2|$

Решение. Воспользуемся равносильным переходом:

$(x^2 — 13x + 35)^2 > (35 — x^2)^2, \\ (x^2 — 13x+35-(35-x^2))(x^2-13x+35+(35-x^2))>0, \\ (x^2-13x+35-35+x^2)(x^2-13x+35+35-x^2) > 0, \\ (2x^2-13x)(-13x+70) > 0, \\ -13x(2x-13)(x — \displaystyle\frac<70><13>) > 0, \\ 2x(x — \displaystyle\frac<13><2>)(x — \frac<70><13>) 0, x \neq 1$

Источник

Метод рационализации

\(\blacktriangleright\) Метод рационализации — это способ решения некоторых неравенств, который позволяет довольно сильно упростить решение и вычисления.

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим метод рационализации для решения показательных неравенств вида \[<\Large<(h(x))^\geqslant (h(x))^>>\]

Если бы мы решали данное неравенство классическим способом, то оно было бы равносильно совокупности: \[ <\large<\left[\begin\begin &\begin h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end\\[1ex] &\begin 0

По методу рационализации данное неравенство равносильно системе: \[ <\large< \begin(h(x)-1)(f(x)-g(x))\geqslant 0\\[1ex] h(x)>0 \end>>\]

Покажем, что решения совокупности и системы совпадают.

Первое неравенство системы равносильно \[(a)\quad \left[\begin \begin &\begin h(x)\geqslant1\\ f(x)\geqslant g(x) \end\\[1ex] &\begin h(x)\leqslant 1\\ f(x)\leqslant g(x) \end \end \end \right.\]

Совокупность равносильна \[(b)\quad \left[\begin \begin &\begin h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x)\\ h(x)=1 \end\\[1ex] &\begin 0

Заметим, что решение совокупности \((a)\) плюс условие \(h(x)>0\) и решение совокупности \((b)\) полностью совпадают.

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим метод рационализации для решения логарифмических неравенств вида \[<\Large<\log_\geqslant \log_>>\]

Если бы мы решали данное неравенство классическим способом, то оно было бы равносильно совокупности: \[ <\large<\left[\begin\begin &\begin h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x)\\ g(x)>0 \end\\[1ex] &\begin 0 0 \end \end \end \right.>>\]

По методу рационализации данное неравенство равносильно системе: \[ <\large<\begin(h(x)-1)(f(x)-g(x))\geqslant 0\\[1ex] f(x)>0\\ g(x)>0\\ h(x)>0\\ h(x)\ne 1 \end>>\]

Покажем, что решения совокупности и системы совпадают.

Первое неравенство системы плюс условие \(h(x)\ne 1\) равносильно \[(c)\quad \left[\begin \begin &\begin h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end\\[1ex] &\begin h(x)

Совокупность равносильна (если выписать часть ОДЗ отдельно) \[(d) \quad \begin f(x)>0\\ g(x)>0\\ h(x)>0\\[1ex] \left[\begin \begin &\begin h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end\\ &\begin h(x)

Заметим, что решение совокупности \((c)\) плюс условия \(f(x)>0, g(x)>0, h(x)>0\) и решение совокупности \((d)\) полностью совпадают.

\(\blacktriangleright\) Если \(f(x), h(x), g(x)\) — многочлены (что бывает очень часто в задачах), то метод рационализации позволяет перейти от показательного или логарифмического неравенства к рациональному, которое уже легко решается методом интервалов.

Рассмотрим несколько примеров, показывающих удобство использования метода рационализации.

Пример 1. Решить неравенство \(\log_<(x^2-1)><\dfrac<2x^2+3x-5>>\leqslant 1\)

Выпишем и решим ОДЗ отдельно: \[\begin x^2-1>0\\ x^2-1\ne 1\\[1ex] \dfrac<2x^2+3x-5>>0 \end\Leftrightarrow \begin (x-1)(x+1)>0\\ x\ne \pm \sqrt 2\\[1ex] \dfrac<2(x-1)(x+2,5)>>0 \end\Leftrightarrow \begin x\in (-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\\ x\ne \pm \sqrt 2\\ x\in (-2,5;-1)\cup(1;+\infty) \end \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow x\in (-2,5;-\sqrt 2)\cup(-\sqrt 2;-1)\cup(1;\sqrt 2)\cup(\sqrt 2;+\infty)\]

Тогда на ОДЗ, учитывая, что \(1=\log_<(x^2-1)><(x^2-1)>\) , наше неравенство равносильно неравенству

Полученное неравенство можно решить методом интервалов:

Таким образом, решением будут \(x\in (-\infty;-2]\cup[-\sqrt2;-1)\cup[1;\sqrt2]\cup[2;+\infty)\)

Пересечем данное решение с ОДЗ и получим \[x\in (-2,5;-2]\cup(-\sqrt2;-1)\cup(1;\sqrt2)\cup[2;+\infty)\]

\(\blacktriangleright\) Более общий случай применения метода рационализации:
если неравенство представлено в виде \(F(x)\lor 0\) ( \(\lor\) — один из знаков \(\geqslant, \leqslant, >, ), причем функция \(F(x)\) является произведением и/или частным нескольких множителей, то на ОДЗ:

если какой-то множитель имеет вид \(h(x)^-h(x)^\) , то его можно заменить на \((h-1)(f-g)\) ;

если какой-то множитель имеет вид \(\log_f(x)-\log_g(x)\) , то его можно заменить на \((h-1)(f-g)\) .

Пример 2. Решить неравенство \((3+x-2x^2)\log_<(3x+5)>\geqslant 0\) .

Данное неравенство можно переписать в виде \((3+x-2x^2)(\log_<(3x+5)>-\log_1)\geqslant 0\) (т.к. \(\log_a1=0\) ).

Таким образом, неравенство представлено в необходимом нам виде: справа ноль, слева произведение двух скобок, причем одна из них — разность логарифмов с одинаковым основанием. Выпишем отдельно ОДЗ:

\(\begin x+2>0\\x+2\ne 1\\ 3x+5>0 \end \Leftrightarrow x\in \left(-\frac53;-1\right)\cup\big(-1;+\infty\big)\)

Тогда на ОДЗ можно заменить второй множитель по методу рационализации, т.е. исходное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству:

\((3+x-2x^2)(x+2-1)(3x+5-1)\geqslant 0 \Leftrightarrow (2x^2-x-3)(x+1)(3x+4)\leqslant 0 \Leftrightarrow\)

\( \Leftrightarrow (2x-3)(x+1)(x+1)(3x+4)\leqslant 0 \Leftrightarrow x\in \left[-\frac43;\frac32\right]\)

Пересечем данное решение с ОДЗ и получим: \(x\in \left[-\frac43;-1\right)\cup\left(-1;\frac32\right]\)

Пример 3. Решить неравенство \((3^x-1)(0,25^x-16)(5x^2-9x-2)\leqslant0\)

Данное неравенство уже представлено в нужном нам виде: справа ноль, слева произведение трех множителей. ОДЗ данного неравенства: \(x\in\mathbb\) .

Таким образом, неравенство равносильно:

\((3^x-3^0)(0,25^x-0,25^<-2>)(5x^2-9x-2)\leqslant 0 \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow (3-1)(x-0)(0,25-1)(x-(-2))(5x+1)(x-2)\leqslant0 \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow 2\cdot (-0,75)x(x+2)(x-2)(5x+1)\leqslant0 \Leftrightarrow x(x+2)(x-2)(5x+1)\geqslant0\) ,
т.к. мы разделили правую и левую часть на отрицательное число \(-0,75\) .

Решив данное неравенство методом интервалов, получим \(x\in (-\infty;-2\big]\cup\left[-\frac15;0\right]\cup\big[2;+\infty)\)

Заметим, что даже если в основании степени или логарифма находится конкретное число \(a\) , а не функция \(h(x)\) , то скобку \((a-1)\) опускать нельзя.

Найдем ОДЗ данного неравенства:

\(\begin x^2-1\geqslant 0\\ x+2>0\\ x^2>0 \end \Rightarrow \begin x\geqslant1 \text < или >x\leqslant -1\\ x>-2\\ x\ne 0 \end \quad \Rightarrow x\in (-2;-1]\cup [1;+\infty)\)

Решим данное неравенство на ОДЗ.

На ОДЗ \(\log_5(x+2)=\log_<25>(x+2)^2\) , следовательно, применяя метод рационализации, получим:

Заметим, что \(\sqrt\geqslant 0\) при всех \(x\) из ОДЗ, причем в точках \(x=\pm 1\) выражение \(\sqrt=0\) . Таким образом, это выражение не будет влиять на знак левой части, но точки \(x=\pm1\) будут являться решением неравенства, т.к. при этих \(x\) левая часть неравенства равна \(0\) . Следовательно, данное неравенство на ОДЗ будет равносильно:

Решим неравенство из совокупности методом интервалов:

Таким образом, решением данной совокупности будут

\(x\in [-1; -\frac12\big]\cup\big[\frac12;2)\cup \ <-1;1\>\Leftrightarrow x\in [-1; -\frac12\big]\cup\big[\frac12;2)\)

Пересекая данное решение с ОДЗ, получим итоговый ответ: \(x\in \<-1\>\cup[1;2)\)

Источник

Метод рационализации при решении логарифмических неравенств с переменным основанием

Разделы: Математика

Практика проверки экзаменационных работ показывает, что наибольшую сложность для школьников представляет решение трансцендентных неравенств, особенно, логарифмических неравенств с переменным основанием. Поэтому предлагаемый вашему вниманию конспект урока представляет изложение метода рационализации (другие названия – метод декомпозиции (Моденов В.П.), метод замены множителей (Голубев В.И.)), позволяющего свести сложные логарифмические, показательные, комбинированные неравенства к системе более простых рациональных неравенств. Как правило, метод интервалов применительно к рациональным неравенствам к моменту изучения темы «Решение логарифмических неравенств» хорошо усвоен и отработан. Поэтому учащиеся с большим интересом и энтузиазмом воспринимают те методы, которые позволяют им упростить решение, сделать его короче и, в конечном итоге, сэкономить время на ЕГЭ для решения других заданий.

Цели урока:

• Образовательная: актуализация опорных знаний при решении логарифмических неравенств; введение нового способа решения неравенств; совершенствование навыков решения
• Развивающая: развитие математического кругозора, математической речи, аналитического мышления
• Воспитательная: воспитание аккуратности и самоконтроля.

1. Организационный момент. Приветствие. Постановка целей урока.

2. Подготовительный этап:

3. Проверка домашнего задания (№11.81*а[1])

При решении неравенства

Вам пришлось воспользоваться следующей схемой решения логарифмических неравенств с переменным основанием:

Т.е. надо рассмотреть 2 случая: основание больше 1 или основание меньше 1.

4. Объяснение нового материала

Если посмотреть на эти формулы внимательно, то можно заметить, что знак разности g(x) – h(x) совпадает со знаком разности log_f(x)g(x) – log_f(x)h(x) в случае возрастающей функции (f(x) > 1, т.е. f(x) – 1 > 0) и противоположен знаку разности log_f(x)g(x) – log_f(x)h(x) в случае убывающей функции (0 4.03.2014

Источник