VaR как способ оценки риска. Исторический метод
В этой статье я хочу познакомить вас с популярным инструментом для оценки финансового риска VaR (ValueAtRisk). При этом я постараюсь использовать минимум экономических, математических и статистических терминов.
Главные идеи VaR были разработаны и применены в банке JP Morgan в 80-х. Широкое применение VaR получил в 1993 когда был одобрен Группой тридцати(G-30) как часть “лучших практик” для работы с деривативами(производными финансовыми инструментами). А позже стала одним из показателей риска банка по системе Базель II (набор международных рекомендации по банковскому регулированию). Идею используемую в VaR можно отследить до ранних работ лауреата нобелевской премии по экономике Гарии Марковица в 1952.
Зачем нужен VaR?
VaR имеет много применений:
- банки определяют текущий риск по отделам и банку вообщем;
- трейдеры используют VaR в торговых стратегиях (например для определения момента выхода из сделки);
- частные инвесторы для выбора менее рискованных вложений;
Управление рисками
“Управление рисками это процесс обнаружения, анализа и принятия или смягчения неопределенности в инвестиционных решениях. В сущности, управление рисками происходит всегда когда инвестор или управляющий фондом анализирует и пытается оценить потенциальные убытки и затем принять(или не принять) необходимые меры, учитывая его инвестиционные цели и толерантность к риску”.
Почему управление рисками актуально? Даниел Канеман в своей книге “Думай медленно… решай быстро” утверждает, что люди не любят проигрывать больше чем любят выигрывать. То есть, если человеку предлагают с 50% выиграть 110$ и с 50% проиграть 100$, то он скорее всего откажется, хотя потенциальный выигрыш и больше. Автор называет это ассиметрией потерь (loss averse).
Прогнозированием возможных потерь, к которым люди так чувствительны, мы с вами и займемся. Но перед тем как переходить к VaR нам нужно поговорить о понятии волатильности, без которой невозможно представить управление рисками.
Немного о Волатильности
Сначала рассмотрим два примера.
Пример 1 — пусть весь прошлый года акция А каждый день либо росла на 3%, либо теряла -1%. При этом эти два события были независимы и равновероятны. Если наши вложения составляют 100$, то мы можем с высокой вероятностью сказать, что завтра тенденция сохранится и мы либо получим 3$, либо потеряем -1$ с одинаковой вероятностью. Другими словами вероятность получить +3$ равна 50% и вероятность потерять -1$ тоже равна 50%. Мы даже можем сказать, что ожидаемая прибыль каждый день равна 1$ (3$*50%-1$*50%). Но как мы увидим позже, ожидаемая прибыль это не то что нас интересует при управлении рисками. Для нас важны именно убытки, и с возможными убытками здесь все ясно — с вероятностью 50% мы можем потерять затра $1.
Случайный доход +3% или -1%
Теперь давайте рассмотрим пример 2. Есть информация о ежедневном доходе акции В за прошлый год. Свойства дохода:
- принимал одно из четырех значение -4%, -3%, +5%, +6%;
- вероятность каждого из четырех событий одинаковая — 25%;
Случайный доход -3%, -4%, 5% или 6%
Я специально подобрал значения так, чтобы среднее значение было +1%(-4%*25% -3%*25% +5%*25% +6%*25%) как и в первом примере. То есть, если у нас есть акции на 100$, то ожидаемое значение завтра тоже будет 1$.
Сравнение примера 1(-1%, +3%) и примера 2(-3%, -4%, 5%, 6%)
Хотя ожидаемые значения в двух случаях одинаковы (+1%), уровень риска разный, так как размер убытков может быть выше во втором случае. Это и есть волатильность.
Волатильность, изменчивость (англ. volatility) — статистический финансовый показатель, характеризующий изменчивость цены. Является важнейшим финансовым показателем и понятием в управлении финансовыми рисками, где представляет собой меру риска использования финансового инструмента за заданный промежуток времени.
Или своими словами, волатильность — это сила разброса значений. Чем больше разброс, тем выше волатильность и тем труднее нам делать предположение о цене в будущем. Напрашивается вывод, чем выше волатильность, тем выше риск. Казалось бы, что волатильность это тот показатель, который нам нужен.
Но у волатильности есть один существенный недостаток для управления рисками. Она учитывает как разброс прибылей так и разброс убытков. Например, если цена на акцию резко вырастет, то и волатильность увеличится. Хотя риск, с точки зрения возможных потерь, останется на том же уровне. Эту проблему решит VaR, но перед тем как переходить к VaR давайте разберемся с проблемой оценки убытков.
Проблема 1. Как описать потенциальные убытки?
Если в первом примере прогноз убытков на завтра был -1% с вероятностью 50%, то во втором ситуация сложнее. Мы можем сказать что:
- с вероятностью 25% мы потеряем 3%;
- с вероятностью 25% мы потеряем 4%;
- c вероятностью 50% мы потеряем более 3%;
Все эти утверждения верны, а ведь у нас только 4 возможных исхода. В реальной жизни количество исходов может быть намного больше. Соответственно увеличится и количество утверждений, которые мы можем сделать о вероятности риска. А это усложняет донесение и анализ информации.
Проблема 2. Экстремальные значения.
Давайте представим, что прошлый год акция принимала значения от -5% до 5%, но в один день убыток был -10%. Если взять количество дней в году за 364 (для простоты забудем о выходных и праздниках), то вероятность повторения убытка в -10% равна 1/364=0.274%. Вероятность 0.274% довольно мала, ее трудно представить, а кто-то может посчитать ее вообще не существенной для рассмотрения. Как быть в этом случае?
В обоих этих случаях к нам на помощь и приходит VaR.
“Какой максимальный убыток я могу ожидать в течение определенного отрезка времени с заданным уровнем вероятности(доверия)”
Например, VaR 100$ c порогом 99% значит:
- с вероятностью 1% мы можем потерять 100$ и более в течении дня;
- с вероятностью 99% мы не потеряем более 100$ в течении дня;
Оба этих высказывания эквивалентны.
VaR состоит из трех компонентов:
- уровень/порог прогноза (обычно 95% или 99%);
- временной интервал прогноза (день, месяц или год);
- возможные потери (количество денег (обычно долларов) или процентах);
Возможность выбрать порог (99% в нашем примере) является очень удобным свойством для многих инвесторов. Это свойство позволяет приблизится к ответу на вопрос, который волнует многих инвесторов “сколько мы можем потерять в течение дня (месяца) в худшем случае?”.
Существует три метода получения VaR: исторический, ковариационный и метод Монте-Карло.
В этой статье мы рассмотрим исторический метод, так как он требует наименьших знаний в области статистики и, по-моему, самый интуитивный из трех.
Шаги подсчета VaR:
- Собрать исторические данные о доходе за определенный период (месяц, год);
- Отсортировать данные по возрастанию;
- Выбрать порог с которым мы хотим делать прогноз и “отрезать” наихудшее значение зная порог;
Для большей наглядности давайте выполним этот процесс нахождения VaR для реального примера. В качестве примера мы рассмотрим цены на акции Apple в 2015 году.
1. Получить данные о доходности акций в процентах. Скачать данные можно например с yahoo.finance.com. Yahoo предоставляет цены открытия, закрытия и тд. Мы рассмотрим цены закрытия(close*). Обратите внимания что на yahoo даты отсортированы в порядке убывания, так что можно отсортировать в порядке возрастания. Мы преобразуем цены закрытия в прибыль в процентах с предыдущего дня. Например, если цена вчера была 10$, а сегодня 15$, то прибыль в процентах будет (15$-10$)/10$ = 50%;
Преобразование данных из Yahoo и сортировка
2. Отсортировать прибыли по возрастанию (для наглядности я построил гистограмму);
3. Выбрать порог, с которым мы хотим делать прогноз, и “отрезать” наихудшее значение зная порог. У нас 252 рабочих дня. Если мы хотим сделать оценку покрывающую 95% случаев, то мы отбрасываем худшие 5%, вероятность которых мы считаем низкой. 5% от 252 дней это 13 дней (округляем 12.6 до 13). Если посмотреть на график, то видно, что доход 13-ого “худшего деня” был -2.71%. Теперь мы можем сказать что с вероятностью 95% мы не потеряем более 2.71%. Если наши вложения 100$, то с вероятностью 95% мы не потеряем более 2,71$. Это не значит, что мы не можем потерять более 2,71$, мы говорим о вероятности в 95%. Если этого недостаточно, то можно увеличить порог например до 99%;
* Мы выбираем close цену, а не adj. close, так как adj. close непостоянна и может меняться со временем. Например, если происходят split-ы акций. Наша же цель, чтобы цифры сошлись у тех, кто выполнит этот пример позже.
Завершая пример с данными Apple, привожу еще один интересный график. На графике по горизонтали мы видим диапазоны прибылей, и по вертикале — количество дней, когда прибыль попадала в соответствующий интервал. Этот график очень похож на нормальное распределение. Этот факт нам пригодится в следующие статье где мы рассмотрим два других метода подсчета VaR.
Немного о недостатках исторического метода и VaR вообщем:
- Мы прогнозируем будущие, используя исторические данные. Это может быть хрупким предположение. Так как мы делаем предположение, что события из прошлого будут повторяться. Можно пытаться бороться с этим используя разные временные интервалы для подсчета VaR(год, месяц, день). Об этом мы поговорим ниже.
Вопросы которые могут возникнуть при работе с VaR:
- Как выбрать период?
- На это нет определенного ответа, все зависит от вашего инвестиционного горизонта. Банки обычно считают VaR для дней, пенсионные фонды, с другой стороны, часто считают VaR для месяцев.
- Что делать если 95% это не целый номер элемента?
- В нашем примере мы использовали 252 дня и порог 95%. Элемент, который мы отсекаем равняется 252*0.05=12.6. В нашем примере мы просто округли и взяли 13-ый элемент, но если быть точными, то наше значение должно быть где-то посередине. К сожалению, в нашем примере 12-ый и 13-ый элементы равны -2.71%. Поэтому, давайте представим, что 12-ый элементы равен -4%, а 13-ый -3%. Тогда VaR будет находится между -4% и -3%, ближе к -3%. А точнее -3.6%. Здесь к нам на помощь и приходит интерполяция. Формула выглядит так:
b+(a-b)*k , где а-нижнее значение, b-верхнее значение и k-дробная часть (в нашем случае 0.6)
Заключение
Красота подхода VaR в том, что он отлично работает и для набора из нескольких акций или комбинации разных ценных бумаг. Например, VaR для набора из облигаций и валют дает нам оценку без особых усилий. А использование других способов, таких как анализ возможных сценариев, сильно усложняется из-за корреляции (связи) между ценными бумагами.
Источник
Вычисление рисков методом Value at Risk
Последние десятилетия мировая экономика регулярно попадает в водоворот финансовых кризисов. 1987, 1997, 2008 чуть не привели к коллапсу существующей финансовой системы, именно поэтому ведущие специалисты начали разрабатывать методы, с помощью можно контролировать неопределенность, господствующую в финансовом мире. В Нобелевских премиях последних лет (полученных за модель Блэка-Шоулза, VaR, и т.д.) отчетливо прослеживается тенденция к математическому моделированию экономических процессов, попыткам предсказать поведение рынка и оценить его устойчивость.
Сегодня я постараюсь рассказать о наиболее широко применяемой методике предсказаний потерь — Value at Risk (VaR).
Понятие VaR
Понятное экономисту объяснение VaR звучит следующим образом: «Выраженная в денежных единицах оценка величины, которую не превысят ожидаемые в течение данного периода времени потери с заданной вероятностью». По-сути, VaR — это величина потерь по инвестиционному портфелю за фиксированный промежуток времени, в случае, если случится некоторое не благоприятное события. Под «не благоприятными событиями» можно понимать различные кризисы, слабо предсказуемые факторы (изменения в законодательстве, природные катаклизмы, . ), которые могут повлиять на рынок. В качестве временного горизонта, обычно выбирают один, пять или десять дней, в силу того, что на больший срок предсказать поведение рынка крайне сложно. Уровень допустимого риска (по-сути доверительный интервал) берется равным 95% или 99%. Также, конечно, фиксируется валюта, в которой мы будем измерять потери.
При вычислении величины предполагается что рынок будет вести себя «нормальным» образом. Графически это значение можно проиллюстрировать так:
Методы расчета VaR
Историческое моделирование
При историческом моделировании мы берем уже известные из прошлых измерений значения финансовых колебаний для портфеля. К примеру, у нас есть поведение портфеля на протяжении предыдущих 200 дней, на основе которых мы решаем вычислить VaR. Предположим, что на следующий день финансовый портфель будет вести себя также, как в один из предыдущих дней. Таким образом, мы получим 200 исходов на следующий день. Далее, мы допускаем, что случайная величина распределена по нормальному закону, основываясь на этом факте, мы понимаем, что VaR — это один из перцентилей нормального распределения. В зависимости от того, какой уровень допустимого риска мы взяли, выбираем соответствующий перцентиль и, как следствие, получаем интересующие нас значение.
Недостатком этого метода является невозможность построения предсказаний по портфелям, о которых у нас нет сведений. Также может возникнуть проблема, в случае, если составляющие портфеля существенно изменятся за короткий промежуток времени.
Хороший пример вычислений можно найти по следующей ссылке.
Метод ведущих компонент
Для каждого финансового портфеля можно вычислить набор характеристик, помогающих оценить потенциал активов. Эти характеристики называются ведущими компонентами и, обычно, представляют собой набор частных производных от цены портфеля. Для вычисления стоимости портфеля обычно используется модель Блэка — Шоулза, о которой я постараюсь рассказать в следующий раз. В двух словах, модель представляет собой зависимость оценки европейского опциона от времени и от его текущей стоимости. Основываясь на поведении модели мы можем оценить потенциал опциона, анализируя функцию классическими методами математического анализа (выпуклость/вогнутость, промежутки возрастания/убывания и т.д.). Базируясь на данных анализа, VaR рассчитываются для каждой из компонент и результирующее значение строиться, как комбинация (обычно взвешенная сумма) каждой из оценок.
Метод Монте-Карло
Метод Монте-Карло во многом похож на метод исторического моделирования, разница в том, что вычисление производится не на основе реальных данных, а на случайно сгенерированных значениях. Преимуществом такого метода является возможность рассмотрения, как большого числа ситуаций, так и эмулирование поведения рынка в экстремальных условиях. Явным недостатком являются большие вычислительные ресурсы, требуемые для реализации такого подхода. При работе с этой методикой обычно используются NoSQL хранилища и распределенные вычисления на базе MapReduce. Хороший пример использования Hadoop для вычисления VaR можно найти по следующей ссылке.
Естественно, это не единственные методики вычисления VaR. Существуют как простые линейные и квадратичные модели предсказания цены, так и достаточно сложный метод вариаций-ковариаций, о которых я не рассказал, но интересующиеся смогут найти описание методик в нижеприведенных книгах.
Критика методики
Важно отметить, что при подсчете VaR принимается гипотеза о нормальном поведении рынка, однако, если бы это допущение было верным, крисизы случались бы раз в семь тысяч лет, но, как мы видим, это абсолютно не верно. Нассим Талеб, известный трейдер и математик, в книгах «Одураченные случайностью» и «Черный лебедь» подвергает существующую систему оценки рисков жесткой критике, а также предлагает свое решение, в виде использования другой системы расчета рисков, базирующейся на логонормальном распределении.
Несмотря на критику, VaR вполне успешно используется во всех крупнейших финансовых институтах. Стоит отметить, что данный подход не всегда применим, в силу чего, были созданы другие методики со схожей идеей, но другим методом расчета (например, SVA).
С учетом критики были разработаны модификации VaR, основанные либо на других распределениях, либо на других методиках расчетов на пике Гауссовой кривой. Но об этом я постараюсь рассказать уже в другой раз.
Источник
