Способ преобразования ортогональных проекций

Содержание

Способы преобразования ортогональных проекций, перемены плоскостей проекций и вращения
Понятая и определения
1. Cпособ плоскопараллельного перемещения
Методы преобразования ортогональных проекций
Лекция 4. Способы преобразования ортогонального чертежа
4.1. Способ перемены плоскостей проекций
Упражнение
Упражнение
4.2. Способ вращения
Упражнение
4.3. Определение истинной величины треугольника способом вращения
4.4. Задачи для самостоятельной работы

Способы преобразования ортогональных проекций, перемены плоскостей проекций и вращения

Понятая и определения

Трудоемкость и, как следствие, точность графического решения задач часто зависят не только от сложности задач, но и от того, какое положение занимают геометрические фигуры, входящие в условия задачи, по отношению к плоскостям проекций.

Проиллюстрируем сказанное примерами.

ПРИМЕР 1. Требуется определить точку пересечения («встречи») линии l с плоскостью α (рис. 53).

Так как и линия l, и плоскость α занимают произвольное положение как по отношению друг к другу, так и относительно плоскостей проекций, то ответить на поставленный вопрос непосредственно по пространственному изображению или по ортогональным проекциям (эпюру Монжа) без дополнительных графических построений не представляется возможным.

В то же время ситуация, заданная на рис. 54,а, позволяет сразу, без каких — либо дополнительных построений, получить ответ.

Для решения задачи используем инвариантное свойство 2г (см. § 6).

Точка К, в которой линия l пересекает плоскость α, как принадлежащая горизонтально проецирующей плоскости, будет иметь горизонтальную проекцию

К’ на горизонтальном следе плоскости h_0α: К’ = l’ ∩ h_0α. Зная положение К’, определяем К».

На рис. 54,б приведено решение этой задачи на эпюре Монжа.

ПРИМЕР 2. Определить длины сторон ΔАВС и величины углов при его вершинах.

Очевидно, если плоскость ΔАВС (плоскость α) занимает произвольное положение относительно плоскостей проекций (рис. 55), или перпендикулярное к какой-либо плоскости (рис. 56), то для решения поставленной задачи необходимо выполнить определенные графические построения. В то же время ответ на поставленные вопросы может быть получен без каких-либо графических построений непосредственно из ортогональных проекций, если плоскость ΔАВС параллельна плоскости проекции (рис. 57,а,б). Это утверждение базируется на инвариантном свойстве 2д (см. § 6).

Приведенные примеры показывают, что проецируемая фигура может занимать по отношению к плоскости проекции или произвольное, или частное положение. В первом случае, как правило, получаются проекции, неудобные для решения задач. В то же время решение задачи значительно упрощается, когда мы имеем дело с частным расположением геометрических фигур относительно плоскости проекции (см. рис. 54 и 57). Наиболее выгодным частным положением проецируемой фигуры (в случае ортогонального проецирования), при котором получаются проекции фигуры, удобные для решения задач, следует считать:

а) положение, перпендикулярное к плоскости проекции, — при решении позиционных задач (см. рис. 54) *;

б) положение, параллельное плоскости проекции, — для решения метрических задач (см. рис. 57).

В связи с этим, естественно, возникает вопрос, каким путем можно получить удобные проекции для — решения поставленной задачи по заданным неудобным ортогональным проекциям?

Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществить изменением взаимного положения проецируемой фигуры и плоскости проекции. При ортогональном проецировании это может быть достигнуто двумя путями:

во-первых, перемещением в пространстве проецируемой фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения в пространстве;

во-вторых, выбором новой плоскости проекции, по отношению к которой проецируемая фигура, не меняющая своего положения в пространстве, окажется в частном положении.

Первый путь лежит в основе способа плоскопараллельного перемещения; второй — составляет теоретическую базу способа замены плоскостей проекций. Рассмотрим каждый из этих способов в отдельности.

1. Cпособ плоскопараллельного перемещения

Изменение взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций способом плоскопараллельного перемещения осуществляется путем перемещения геометрической фигуры в новое положение так, чтобы траектории перемещения ее точек находились в параллельных плоскостях.

В зависимости от положения этих плоскостей по отношению к плоскостям проекций и вида кривой (траектории перемещения точки) различают несколько способов плоскопараллельного перемещения:

1. Способ параллельного перемещения.

Плоскости — носители траекторий перемещения точек параллельны плоскости проекции. Траектория — произвольная плоская линия.

2. Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекции.

Плоскости — носители траекторий перемещения точек параллельны плоскости проекции. Траектории — дуги окружностей, центры которых находятся на оси, перпендикулярной плоскости проекции.

3. Способ вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекции (вращение вокруг линий уровня).

4. Способ вращения вокруг оси, принадлежащей плоскости проекции (вращение вокруг следа плоскости).

Рассмотрим каждый из этих способов в отдельности.

Источник

Методы преобразования ортогональных проекций

Лекция 2

2. Способы преобразования проекций. Характеристика способов. Способ замены плоскостей проекций. Способ вращение. Способ косоугольного вспомогательного проецирования.

Если прямая параллельна одной из плоскостей проекций т.е. является прямой уровня, то без преобразования ортогональных проекций можно только найти проекции перпендикуляра. Пусть прямая f фронталь, т.е. f \\ П2 значит перпендикуляр можно проводить из проекций А2 к фронтальной проекции прямой m2, на эту плоскость угол будет проецироваться без искажения (рис. 32). Однако полученные проекции отрезка АК не отражают истинной величины отрезка потому, что АК — отрезок прямой общего положения.

Рис. 32. Расстояние от точки до фронтальной прямой

Общий случай подобной задачи, когда требуется найти расстояние от точки до прямой общего положения, то даже построение проекции искомого отрезка без преобразования проекций не представляется возможным.

Сопоставление приведенных чертежей показывает, что трудности решения одной и той же задачи существенно зависят от положения геометрических объектов относительно плоскостей проекций.

В связи с этим, естественно, возникает вопрос, каким путем можно получить удобные проекции для решения поставленной задачи по заданным неудобным ортогональным проекциям.

Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществлять за счет изменения взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций.

При ортогональном проецировании это достигается двумя путями:

1. Перемещение в пространстве проецируемой фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения в пространстве — метод плоскопараллельного перемещения.

2. Перемещением плоскостей проекций в новое положение по отношению, к которому проецируемая фигура (которая не меняет положения в пространстве) окажется в частном положении — метод замены плоскостей проекций.

Источник

Лекция 4. Способы преобразования ортогонального чертежа

4.1. Способ перемены плоскостей проекций

Чаще всего геометрические объекты расположены относительно плоскостей проекций в общем положении, и при решении задач для достижения поставленной цели необходимо выполнять много построений.

Количество построений можно значительно сократить, если геометрические элементы будут расположены в частном положении относительно плоскостей проекций.

Существуют два основных способа преобразования чертежа, при которых:

Объект остаётся неподвижным, при этом меняется аппарат проецирования;

Условия проецирования не меняются, но изменяется положение объекта в пространстве.

К первому способу относится способ перемены плоскостей проекций.

Ко второму – способ вращения (вращение вокруг линии уровня и вращение вокруг проецирующей прямой); способ плоскопараллельного перемещения.

Рассмотрим наиболее часто используемые способы при решении задач.

Способ перемены плоскостей проекций или способ введения дополнительных плоскостей проекций (ДПП) позволяет перейти от заданной системы плоскостей проекций к новой системе, более удобной для решения той или иной задачи.

Читайте также: Рыба лекадра способы приготовления
Рассмотрим положение точки А относительно известной системы плоскостей проекций π₂⊥π₁ (Рисунок 4.1, а и б).

Введём π₄⊥π₁, при этом получим новую систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Положение точки А на эпюре будет в этом случае задано проекциями А₁ и А₄.

Правила перемены плоскостей проекций:

Новая плоскость проекций вводится перпендикулярно, по крайней мере, одной из заданных на чертеже плоскостей проекций;

ДПП располагается относительно проецируемого объекта в частном положении, удобном для решения поставленной задачи;

Новую плоскость совмещаем вращением вокруг новой оси проекций с плоскостью, которой она перпендикулярна на свободное место так, чтобы проекции не накладывались друг на друга.

а б

Рисунок 4.1 – Способ перемены плоскостей проекций

На чертеже новая проекция геометрического элемента находится на линии связи, перпендикулярной новой оси проекций:

Расстояние от А₄ до π₁/π₄ равно расстоянию от А₂ до π₂/π₁, так как величина этих отрезков (отмечены ○) определяет расстояние от точки А до плоскости проекций π₁.

При решении задачи необходимо заранее обдумать, как расположить новую плоскость проекций относительно заданных геометрических объектов (прямой, плоскости и др.), и как на чертеже провести новую ось проекций, чтобы в новой системе плоскостей заданные объекты заняли бы частные положения по отношению к новой плоскости проекций.

Упражнение

1. Спроецировать отрезок общего положения АВ в точку.

Введём ДПП π₄//А₁В₁ и π₄⊥π₁ (Рисунок 4.2). В новой системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций π₁/π₄ отрезок АВспроецируется на π₄ в натуральную величину и по этой проекции можем определить угол наклона отрезка к плоскости проекций π₁

Упражнение

2. Дана плоскость общего положения – σ, заданная треугольником АВС (Рисунок 4.3).

Определить истинную величину треугольника.

Введём ДПП π₄⊥σ и π₄⊥π₁, для чего построим горизонталь в плоскости треугольника и проведём новую ось проекций π₁/π₄⊥g₁согласно теореме о перпендикуляре к плоскости. На π₄ плоскость σ спроецируется в прямую, что означает σ⊥πp₄.

Введём ДПП π₅//σ (π₄/π₅//А₄В₄С₄) и π₄⊥π₅. На π₅ проекция А₅В₅С₅ – есть истинная величина треугольника.

4.2. Способ вращения

Сущность способа вращения состоит в том, что положение системы плоскостей проекций считается неизменным в пространстве, а положение проецируемого объекта относительно неподвижных плоскостей изменяется.

Из сравнения сущности обоих способов видно, что решение задач, которые требуют применения преобразования ортогонального чертежа, может быть выполнено любым из этих способов, результат при этом должен получиться одинаковым. Основа выбора того или иного способа – рациональность решения.

Вращение заданных элементов будем осуществлять вокруг проецирующей прямой, то есть прямой, перпендикулярной какой-либо плоскости проекций, при этом все точки заданных элементов поворачиваются в одну и ту же сторону на один и тот же угол (Рисунок 4.4, а и б). Ось вращения и объект вращения составляют твёрдое тело.

А – точка в пространстве;

О – центр вращения точки А;

АО – радиус вращения

а б

Рисунок 4.4 – Способ вращения вокруг прямой, перпендикулярной π₂

Точка описывает в пространстве окружность радиусом АО. Плоскость окружности перпендикулярна оси вращения (σ⊥m).

Так как m⊥π₂ , то σ//π₂, следовательно, σ⊥π₁, ⇒ σ₁⊥m₁, и поэтому σ проецируется на π₁ в виде прямой, перпендикулярной проекции оси вращения, а на π₂ траектория вращающейся точки проецируется в виде окружности с центром О₂≡m₂.

Пусть ось вращения m⊥π₁ (Рисунок 4.5, а и б). Плоскость окружности σ⊥m.

а б
Рисунок 4.5 – Вращение вокруг прямой, перпендикулярной π₁
\left.\begin\sigma\parallel\pi_1\\\sigma\perp \pi_2\\\end\right\> npu\;m\perp\pi_1\Longrightarrow\sigma_2\perp m_2
Свойства проекций

На плоскость проекций, перпендикулярную оси вращения, траектория вращающейся вокруг этой оси точки проецируется без искажения, то есть в окружность с центром, совпадающим с проекцией оси вращения на эту плоскость и радиусом, равным расстоянию от вращаемой точки до оси вращения.

На плоскость проекций, параллельную оси вращения, траектория вращающейся точки проецируется в отрезок, перпендикулярный проекции оси вращения на эту плоскость.

На плоскость проекций, перпендикулярную оси вращения, проекция вращаемого объекта своих размеров и формы не меняет.

Читайте также: Практика гурджиева 10 способов
Упражнение

Дано : отрезок общего положения – АВ.

Определить : способом вращения истинную величину отрезка и углы наклона его к плоскостям проекций.

1. Выберем ось вращения m⊥π₁ и проходящую через точку В (Рисунок 4.6).

На плоскости проекций π₂ проекция траектории перемещения точки А – прямая,

A_2 \overline\perp m_2\;u\;A_2\overline\parallel\pi_2/\pi_1

На плоскости проекций π₁ проекция траектории перемещения точки А – окружность радиусом |А₁В₁|.

Повернем отрезок до положения, параллельного плоскости проекций π₂. Получим натуральную величину отрезка.

Угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций π₁ будет угол
\alpha=\angle\widehat_2> .

Для того, чтобы определить угол наклона АВ к плоскости проекций π₂, надо ввести новую ось вращения перпендикулярно π₂ и повторить построения.

4.3. Определение истинной величины треугольника способом вращения

Пусть плоскость σ задана треугольником. Необходимо определить истинную величину треугольника (Рисунок 4.7).

Одним поворотом вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, истинную форму треугольника получить нельзя (так же как и введением одной ДПП).

Вращая вокруг оси m, перпендикулярной π₁ можно расположить плоскость ΔАВС⊥π₂ (а вращая вокруг оси n⊥π₂ можно расположить плоскость ΔАВС⊥π₁).

Рисунок 4.7

Положим σ’ должна быть перпендикулярна π₂. Для чего построим CD – горизонталь h плоскости σ. Введём первую ось вращения m⊥π₁, например, через точку С.

Повернём треугольник вокруг m до положения, когда
\overline\perp\pi_2\Rightarrow\overline_1\overline_1\perp\pi_2/\pi_1
На основании 3-го свойства, новая горизонтальная проекция треугольника \overline по величине должна равняться A₁B₁C₁, а фронтальная проекция треугольника будет представлять отрезок.

Введём вторую ось вращения n⊥π₂ через точку \overline_2 . Повернём фронтальную проекцию \overline в новое положение \overline<\overline\overline\overline>\parallel\pi_2/\pi_1 . На π₁ получим треугольник \overline<\overline\overline\overline> , равный истинной величине треугольника АВС.

4.4. Задачи для самостоятельной работы

Двумя способами преобразования ортогонального чертежа:

1. Определить расстояние от точки D до отрезка АВ – общего положения (Рисунок 4.8).

Рисунок 4.8

2. Определить расстояние между двумя параллельными прямыми общего положения (АВ//CD) (Рисунок 4.9).

Рисунок 4.9

3. Определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными отрезками АВ и CD (Рисунок 4.10).

Рисунок 4.10

4. Построить недостающую проекцию точки D при условии, что задана σ=ΔАВС – общего положения и первая проекция точки D₁, Dотстоит от плоскости σ на 30 мм (Рисунок 4.11).

Рисунок 4.11

5. Дан отрезок АВ – общего положения. Ось вращения не проходит через АВ (Рисунок 4.12). Определить способом вращения истинную величину АВ.

Рисунок 4.12

6. Задана прямая общего положения m и точка А вне прямой. Построить плоскость, проходящую через точку А и перпендикулярную прямой m (Рисунок 4.13).

Рисунок 4.13

Источник