Способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов называется

СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ – способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называют цифрами.

Простейшая и самая древняя – так называемая унарная система счисления. В ней для записи любых чисел (т.е. кодирования) используется один символ: палочка, узелок, зарубка, камушек …

Длина записи при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков.

Сами того не осознавая, этим кодом пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст. Именно унарная система счисления до сих пор вводит детей в мир счета.

У разных народов существовали разные системы счисления:

► До наших дней сохранилась римская система счисления. В римской системе счисления цифры обозначаются буквами латинского алфавита (рис.1).

Для записи промежуточных чисел используется правило:

Источник

Основные понятия и определения. Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов

Системы счисления

Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами. Системы счисления подразделяют на: позиционные и непозиционные.

Непозиционными системами являются такие системы счисления, в которых каждый символ сохраняет свое значение независимо от места его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления является римская система (4=IV; 6=VI; 19=XIX; 21=XXI). К недостаткам таких систем относятся наличие большого количества знаков при записи чисел и сложность выполнения арифметических операций.

Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, определяющееся позицией цифры в последовательности цифр, изображающей число. Это значение меняется в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону. Наиболее известным примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая в повседневной жизни.

Количество pразличных цифр, употребляемых в позиционной системе, определяет название системы счисления и называется основанием системы счисления p. Например, в десятичной системе используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; и эта система имеет основанием число десять.

Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома (многочлена) от основания p:

здесь N — число, a_j — коэффициенты (цифры числа), p — основание системы счисления (p>1). Принято записывать числа в виде последовательности цифр:

В этой последовательности точка отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при положительных степенях, включая нуль, от коэффициентов при отрицательных степенях). Точка опускается, если нет отрицательных степеней (число целое).

В компьютерной технике (КТ) в основном применяются позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.

Аппаратное обеспечение (hardware) базируется на использовании двухпозиционных элементов, которые могут находиться только в двух устойчивых состояниях (одно из них ассоциируется с 0, а другое – с 1). Итак, основной системой счисления применяемой в компьютерной технике является двоичная система.

Двоичная система счисления.Используется две цифры: 0 и 1. В двоичной системе любое число может быть представлено в виде:

Восьмеричная система счисления. Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Употребляется в КТ как вспомогательная система счисления для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада) (Таблица 1).

Шестнадцатеричная система счисления. Для изображения чисел употребляются 16 цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть цифр — латинскими буквами: 10-A, 11-B, 12-C, 13-D, 14-E, 15-F. Шестнадцатеричная система также используется для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы счисления используется четыре двоичных разряда (тетрада) (Таблица 1).

Источник

2009 год. Системой счисления называется способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называются цифрами.Все системы счисления делятся. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемЛюдмила Карпикова

Похожие презентации

Презентация на тему: » 2009 год. Системой счисления называется способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называются цифрами.Все системы счисления делятся.» — Транскрипт:

4 Системой счисления называется способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называются цифрами.Все системы счисления делятся на две группы:позиционные системы и непозиционные. Позиционные системы счисления характеризуются определенным алфавитом цифр и основанием.Наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная,двоичная и шестнадцатеричная. Система счисленияОснованиеАлфавит цифр Позиционные Непозиционные Десятичная Восьмеричная Шестнадцатеричная Римская ,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Двоичная20,1 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,С,D, E,F 1(1),V(5),X(10),L(50),C(100) D(500),M(1000)

5 Кстати, первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне.,причем вавилонская нумерация была не десятичной,а шестидесятеричной,т.е в ней использовалось шестьдесят цифр!Интересно,что до сих пор при измерении времени мы используем основание равное 60(в 1 минуте 60 секунд,а в 1 часе-60 минут). В позиционных системах счисления величина,обозначаемая цифрой,зависит от позиции цифры в числе.Разряд числа возрастает от младших разрядов к старшим справа налево. Рассмотрим пример: десятичное число 555.Цифра 5 встречается трижды,причем самая правая обозначает пять единиц,вторая справа-пять десятков и,наконец,третья-пять сотен.Такая запись числа является записью в сокращенной форме.В полной форме запись должна выглядеть так: = 5* * *10 0 Как видно из примера,число в позиционных системах счисления записывается в виде суммы ряда степеней основания(в данном случае 10) с коэффициентами,в качестве которых выступают цифры данной системы счисления.

6 В двоичной системе основание равно 2,а алфавит цифр включает два числа 0 и 2.Следовательно число в двоичной системе счисления в полной форме записываются в виде суммы ряда степеней основания 2 с коэффициентами,в качестве которых выступают цифры 0 или 1. Сравним двоичную и десятичную системы счисления.Обе системы позиционные,т.е «вес» цифры в числе зависит от ее позиции,однако они различаются набором используемых цифр и основанием.Основание в системе счисления определяет перенос в старший разряд числа.Чем меньше основание,тем быстрее растет разрядность числа. Например, число 5 в двоичной системе в полной форме записывается следующим образом: 5=1* * *2 0 В сокращенной и более привычной форме число 5 в двоичной системе записывается так: 5=101 2

7 В непозиционных системах счисления,самой распространенной из которых является римская,значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе ХХХ(30) цифра Х встречается трижды и,в каждом случае,обозначает одну и ту же величину-число 10, три раза по 10 в сумме дают 30. Величина числа в непозиционных системах счисления определяется как сумма или разность цифр в числе.Если меньшая цифра стоит слева от большей,то она вычитается,если справа-прибавляется. Например, запись десятичного числа 1998 в римской системе счисления будет выглядеть следующим образом: МСМХСV111= ( ) + (100-10)

8 Преобразование чисел из двоичной,восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную выполнить довольно легко.Для этого необходимо записать число в полной форме и вычислить его значение. Например, возьмем двоичное число Запишем его в полной форме и произведем вычисления: =1* * * *2 0 =1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = Возьмем любое восьмеричное число,например Запишем его в полной форме и произведем вычисления: Возьмем любое шестнадцатеричное число,например 19F 16.Запишем его в полной форме и произведем вычисления: = 6* * *8 0 = 6*64 + 7*8 + 5*1 = F 16 = 1* * F*8 0 = 1* * *1 =

9 Перевод чисел из десятичной системы в двоичную,восьмеричную и шестнадцатеричную более сложен. Исходное десятичное число многократно(до тех пор,пока Рассмотрим алгоритм перевода числа из десятичной системы в двоичную. частное не станет равным нулю)делится на основание двоичной системы,т.е на 2.Если при делении образуется остаток,то в соответствующей двоичный разряд записывается 1,если делится без остатка,то записывается 0.Запись остатков в двоичное число ведется слева направо,т.е от младшего разряда к старшим. Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная

10 1) Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных? 2) Запишите двоичное число в полной форме. 3) Запишите число 1999 в римской системе счисления. 4)Переведите в десятичную систему следующие числа: Двоичные: 101 2,110 2,111 2 Восьмеричные:9 8,11 8,22 8 Шестнадцатеричный:1А 16,BF 16,9C 16 5) Переведите из десятичной системы в двоичную следующие числа: 7,9,13. Завершить показ

Источник

Система счисления

Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над числами. Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Содержание

Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Такие символы называют цифрами.

Системы счисления

Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления

Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек. Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путём повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, какое количество полосок нашито на его рукаве. Сами того не осознавая, единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст, а счетные палочки используется для обучения учеников 1–го класса счету. Рассмотрим различные системы счисления.

Единичная система – не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления. Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки – иероглифы. Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной. В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа. Например, чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку.

Римская система счисления. Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum – сто, Demimille – половина тысячи, Мille – тысяча). Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (два десятка, пяток, три единицы).

Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. Например, IX – обозначает 9, XI – обозначает 11.

Десятичное число 99 имеет следующее представление:

Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система счисления сегодня используется, в основном, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.

Алфавитные системы счисления. Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита. В алфавитной системе счисления Древней Греции числа 1, 2, . 9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, и т.д. Для обозначения чисел 10, 20, . 90 применялись следующие 9 букв а для обозначения чисел 100, 200, . 900 – последние 9 букв.

У славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, который использовал сначала глаголицу, а затем кириллицу.

В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах.

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

• Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

• Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

• Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления – количественный эквивалент каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в коде(записи) числа. Ныне мы привыкли пользоваться десятичной позиционной системой — числа записываются с помощью 10 цифр. Самая правая цифра обозначает единицы, левее — десятки, ещё левее — сотни и т.д.

Например: 1) шестидесятеричная (Древний Вавилон)– первая позиционная система счисления. До сих пор при измерении времени используется основание равное 60 (1мин = 60с, 1ч = 60мин); 2) двенадцатеричная система счисления (широкое распространение получила в XIX в. число 12 – “дюжина”: в сутках две дюжины часов). Счёт не по пальцам, а по суставам пальцев. На каждом пальце руки, кроме большого, по 3 сустава – всего 12; 3) в настоящее время наиболее распространёнными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная (широко используется в низкоуровневом программировании и вообще в компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами).

В любой позиционной системе число может быть представлено в виде многочлена.

Покажем, как представляют в виде многочлена десятичное число:

Типы систем счисления

Самое главное, что нужно знать о системе счисления – её тип: аддитивная или мультипликативная. В первом типе каждая цифра имеет своё значение, и для прочтения числа нужно сложить все значения использованных цифр:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

Во втором типе каждая цифра может иметь разные значения в зависимости от своего местоположения в числе:

(иероглифы по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Здесь дважды использован иероглиф “2”, и в каждом случае он принимал разные значения “2000” и “20”.

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

Для аддитивной (“добавительной”) системы нужно знать все цифры-символы с их значениями (их бывает до 4-5 десятков), и порядок записи. Например, в Латинской записи если меньшая цифра записана перед большей, то производится вычитание, а если после, то сложение (IV = (5–1) = 4; VI = (5+1) = 6).

Для мультипликативной системы нужно знать изображение цифр и их значение, а так же основание системы счисления. Определить основание очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Если проще, то это число, с которого начинается второй разряд у числа. Мы, например, используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание нашей системы счисления тоже 10, и система счисления называется “десятичная”. В вышеприведенном примере используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (вспомогательные 10, 100, 1000, 10000 и т. д. не в счет). Основных цифр здесь тоже 10, и система счисления – десятичная.

Как можно догадаться, сколько есть чисел, столько же может быть и оснований систем счисления. Но используются только самые удобные основания систем счисления. Как вы думаете, почему основание самой употребительной человеческой системы счисления 10? Да, именно потому, что на руках у нас 10 пальцев. “Но на одной то руке всего пять пальцев” – скажут некоторые и будут правы. История человечества знает примеры пятеричных систем счисления. “А с ногами – двадцать пальцев” – скажут другие, и будут тоже абсолютно правы. Именно так считали индейцы Майя. Это даже видно по их цифрам.

Очень интересно понятие “дюжина”. Всем известно, что это 12, но откуда появилось такое число – мало кто знает. Посмотрите на свои руки, вернее, на одну руку. Сколько фаланг на всех пальцах одной руки, не считая большого? Правильно, двенадцать. А большой палец предназначен отмечать отсчитанные фаланги.

А если на другой руке откладывать пальцами количество полных дюжин, то получим всем известную шестидесятеричную вавилонскую систему.

В разных цивилизациях считали по–разному, но и сейчас можно даже в языке, в названиях и изображениях цифр найти остатки совсем других систем счисления, когда–то использовавшихся этим народом.

Так у французов когда-то была двадцатеричная система счисления, поскольку 80 по-французски звучит как “четырежды двадцать”.

Римляне, или их предшественники использовали когда-то пятеричную систему, так как V ни что иное, как изображение ладони с отставленным большим пальцем, а X – это две таких же руки.

Источник