Способ представления графов матрица инцидентности

Матрица инцидентности.

Говорить о том, что ребро g и каждая из вершин u и y инцидентна g, стоит лишь в том случае, если g соединяет u и y. Уяснив это, перейдем к рассмотрению данного метода. Матрица инцидентности строиться по похожему, но не по тому же принципу, что и матрица смежности. Так если последняя имеет размер n×n, где n – число вершин, то матрица инцидентности – n×m, здесь n – число вершин графа, m – число ребер. То есть теперь чтобы задать значение какой-либо ячейки, нужно сопоставить не вершину с вершиной, а вершину с ребром.

В каждой ячейки матрицы инцидентности неориентированного графа стоит 0 или 1, а в случае ориентированного графа, вносятся 1, 0 или -1. То же самое, но наиболее структурировано:

1) Неориентированный граф

a. 1 – вершина инцидентна ребру

b. 0 – вершина не инцидентна ребру

2) Ориентированный граф

a. 1 – вершина инцидентна ребру, и является его началом

b. 0 – вершина не инцидентна ребру

c. -1 – вершина инцидентна ребру, и является его концом

Построим матрицу инцидентности сначала для неориентированного графа, а затем для орграфа.

Ребра обозначены буквами от a до e, вершины – цифрами. Все ребра графа не направленны, поэтому матрица инцидентности заполнена положительными значениями.

Для орграфа графа матрица имеет немного другой вид. В каждую из ее ячеек внесено одно из трех значений. Обратите внимание, что нули в двух этих матрицах (рис. 1 и 2) занимают одинаковые позиции, ведь в обоих случаях структура графа одна. Но некоторые положительные единицы сменились на отрицательные, например, в неориентированном графе ячейка (1, b) содержит 1, а в орграфе -1. Действительно, это уместно, т. к. в первом случае ребро b не направленное, а во втором – направленное, и, причем вершиной входа для него является вершина «1».

Каждый столбец отвечает за какое-либо одно ребро, поэтому граф, описанный при помощи матрицы инцидентности, всегда будет иметь следующий признак: любой из столбцов матрицы инцидентности содержит две единицы, либо 1 и -1 когда это ориентированное ребро, все остальное в нем – нули.

В программе матрица инцидентности задается, также как и матрица смежности, а именно при помощи двумерного массива. Его элементы могут быть инициализированы при объявлении, либо по мере выполнения программы.

Источник

Способ представления графов матрица инцидентности

Граф – совокупность точек, соединенных линиями. Точки называются вершинами , или узлами , а линии – ребрами , или дугами .

Степень входа вершины – количество входящих в нее ребер, степень выхода – количество исходящих ребер.

Граф, содержащий ребра между всеми парами вершин, является полным .

Встречаются такие графы, ребрам которых поставлено в соответствие конкретное числовое значение, они называются взвешенными графами , а это значение – весом ребра .

Когда у ребра оба конца совпадают, т.е. оно выходит из вершины и входит в нее, то такое ребро называется петлей .

Классификация графов

Графы делятся на

• связные
  
• несвязные
  

В связном графе между любой парой вершин существует как минимум один путь.

В несвязном графе существует хотя бы одна вершина, не связанная с другими.

Графы также подразделяются на

• ориентированные
  
• неориентированные
  
• смешанные.

В ориентированном графе ребра являются направленными, т.е. существует только одно доступное направление между двумя связными вершинами.

В неориентированном графе по каждому из ребер можно осуществлять переход в обоих направлениях.

Частный случай двух этих видов – смешанный граф. Он характерен наличием как ориентированных, так и неориентированных ребер.

Способы представления графа

Граф может быть представлен (сохранен) несколькими способами:

• матрица смежности;
• матрица инцидентности;
• список смежности (инцидентности);
• список ребер.

Использование двух первых методов предполагает хранение графа в виде двумерного массива (матрицы). Размер массива зависит от количества вершин и/или ребер в конкретном графе.

Матрица смежности графа — это квадратная матрица, в которой каждый элемент принимает одно из двух значений: 0 или 1.
Число строк матрицы смежности равно числу столбцов и соответствует количеству вершин графа.

• 0 – соответствует отсутствию ребра,
• 1 – соответствует наличию ребра.

Когда из одной вершины в другую проход свободен (имеется ребро), в ячейку заносится 1, иначе – 0. Все элементы на главной диагонали равны 0 если граф не имеет петель.

Матрица инцидентности (инциденции) графа — это матрица, количество строк в которой соответствует числу вершин, а количество столбцов – числу рёбер. В ней указываются связи между инцидентными элементами графа (ребро(дуга) и вершина).

В неориентированном графе если вершина инцидентна ребру то соответствующий элемент равен 1, в противном случае элемент равен 0.

В ориентированном графе если ребро выходит из вершины, то соответствующий элемент равен 1, если ребро входит в вершину, то соответствующий элемент равен -1, если ребро отсутствует, то элемент равен 0.

Матрица инцидентности для своего представления требует нумерации рёбер, что не всегда удобно.

Список смежности (инцидентности)
Если количество ребер графа по сравнению с количеством вершин невелико, то значения большинства элементов матрицы смежности будут равны 0. При этом использование данного метода нецелесообразно. Для подобных графов имеются более оптимальные способы их представления.

По отношению к памяти списки смежности менее требовательны, чем матрицы смежности. Такой список можно представить в виде таблицы, столбцов в которой – 2, а строк — не больше, чем вершин в графе.
В каждой строке в первом столбце указана вершина выхода, а во втором столбце – список вершин, в которые входят ребра из текущей вершины.

Преимущества списка смежности:

• Рациональное использование памяти.
• Позволяет быстро перебирать соседей вершины.
• Позволяет проверять наличие ребра и удалять его.

Недостатки списка смежности:

• При работе с насыщенными графами (с большим количеством рёбер) скорости может не хватать.
• Нет быстрого способа проверить, существует ли ребро между двумя вершинами.
• Количество вершин графа должно быть известно заранее.
• Для взвешенных графов приходится хранить список, элементы которого должны содержать два значащих поля, что усложняет код:
  • номер вершины, с которой соединяется текущая;
  • вес ребра.

Список рёбер
В списке рёбер в каждой строке записываются две смежные вершины и вес соединяющего их ребра (для взвешенного графа).
Количество строк в списке ребер всегда должно быть равно величине, получающейся в результате сложения ориентированных рёбер с удвоенным количеством неориентированных рёбер.

Какой способ представления графа лучше? Ответ зависит от отношения между числом вершин и числом рёбер. Число ребер может быть довольно малым (такого же порядка, как и количество вершин) или довольно большим (если граф является полным). Графы с большим числом рёбер называют плотными , с малым — разреженными . Плотные графы удобнее хранить в виде матрицы смежности, разреженные — в виде списка смежности.

Алгоритмы обхода графов

Основными алгоритмами обхода графов являются

Поиск в ширину подразумевает поуровневое исследование графа:

• вначале посещается корень – произвольно выбранный узел,
• затем – все потомки данного узла,
• после этого посещаются потомки потомков и т.д.

Вершины просматриваются в порядке возрастания их расстояния от корня.
Алгоритм прекращает свою работу после обхода всех вершин графа, либо в случае выполнения требуемого условия (например, найти кратчайший путь из вершины 1 в вершину 6).
Каждая вершина может находиться в одном из 3 состояний:

• 0 — оранжевый – необнаруженная вершина;
• 1 — зеленый – обнаруженная, но не посещенная вершина;
• 2 — серый – обработанная вершина.

Фиолетовый – рассматриваемая вершина.

Применения алгоритма поиска в ширину

• Поиск кратчайшего пути в невзвешенном графе (ориентированном или неориентированном).
• Поиск компонент связности.
• Нахождения решения какой-либо задачи (игры) с наименьшим числом ходов.
• Найти все рёбра, лежащие на каком-либо кратчайшем пути между заданной парой вершин.
• Найти все вершины, лежащие на каком-либо кратчайшем пути между заданной парой вершин.

Алгоритм поиска в ширину работает как на ориентированных, так и на неориентированных графах.
Для реализации алгоритма удобно использовать очередь.

Реализация на C++ (с использованием очереди STL)

Результат выполнения

Задача поиска кратчайшего пути
Реализация на С++

Поиск в глубину – это алгоритм обхода вершин графа.

Поиск в ширину производится симметрично (вершины графа просматривались по уровням). Поиск в глубину предполагает продвижение вглубь до тех пор, пока это возможно. Невозможность продвижения означает, что следующим шагом будет переход на последний, имеющий несколько вариантов движения (один из которых исследован полностью), ранее посещенный узел (вершина).

Отсутствие последнего свидетельствует об одной из двух возможных ситуаций:

• все вершины графа уже просмотрены,
• просмотрены вершины доступные из вершины, взятой в качестве начальной, но не все (несвязные и ориентированные графы допускают последний вариант).

Каждая вершина может находиться в одном из 3 состояний:

• 0 — оранжевый – необнаруженная вершина;
• 1 — зеленый – обнаруженная, но не посещенная вершина;
• 2 — серый – обработанная вершина;

Фиолетовый – рассматриваемая вершина.

Применения алгоритма поиска в глубину

• Поиск любого пути в графе.
• Поиск лексикографически первого пути в графе.
• Проверка, является ли одна вершина дерева предком другой.
• Поиск наименьшего общего предка.
• Топологическая сортировка.
• Поиск компонент связности.

Алгоритм поиска в глубину работает как на ориентированных, так и на неориентированных графах. Применимость алгоритма зависит от конкретной задачи.
Для реализации алгоритма удобно использовать стек или рекурсию.

Реализация на C++ (с использованием стека STL)

Результат выполнения

Задача поиска лексикографически первого пути на графе.
Реализация на C++

Результат выполнения

Поиск в глубину также может быть реализован с использованием рекурсивного алгоритма.

Реализация обхода графа в глубину на C++ (с использованием рекурсии)

Источник

Инцидентность и смежность в графах, матрицы смежности, матрицы инцидентности, списки инцидентности

Инцидентность вершин и рёбер графа, смежность вершин графа

Инцидентность — это когда вершина a является либо началом либо концом ребра e. Две вершины называются инцидентными, если у них есть общее ребро.

Для того, чтобы задать граф аналитически, множества V вершин графа и множества U рёбер графа, которые фигурировали в определении графа, будет недостаточно. Потребуется ещё и множество P троек вида (a, u, b) , указывающих какую пару a, b элементов множества вершин V соединяет тот или иной элемент u множества рёбер U графа. Элементы множества P называются инциденциями графа. Вот мы и подошли к одному из первых понятий теории графов — инцидентности.

Понятие инцидентности — одно из главных при создании структур данных для представления графов в памяти ЭВМ, к которым мы перейдём после примера 1.

Пример 1. Задать аналитически граф, представленный на рисунке ниже. (рис. А)

Решение. Распространённые ошибки — не заметить вершины графа, которые не соединены ни с одной другой вершиной, в том числе с самой собой, и не включить их во множество вершин графа, а также указать не все рёбра графа, соединяющие две вершины. Поэтому вершину f данного графа обязательно включаем во множество вершин графа V , а, рёбра 6 и 7, хотя они соединяют одну и ту же вершину саму с собой и обе не имеют направления, включаем во множество рёбер U .

Итак, задаём граф следующими множествами:

множество рёбер: U =

Смежность вершин графа — это когда две вершины графа соединены ребром.

Зададимся вопросом: можно ли поместить слона в компьютер? Ответ: можно, если слона смоделировать в виде графа, в котором вершинами являются части его тела, а рёбра соединяют те части тела, которые соединены в слоне как биологическом объекте. При этом получившийся граф должен быть представлен в памяти компьютера в понятном компьютеру виде.

В связи с широким применением графов в программировании и информационных технологиях вообще возникает вопрос о представлении графа в виде структуры данных. Различные способы представления графов в памяти компьютера отличаются объёмом занимаемой памяти и скоростью выполнения операций над графами.

Наиболее часто используются три такие структуры данных — матрица смежности, матрица инцидентности и список инцидентности.

Матрицы смежности

Матрица смежности, как и матрица инцидентности, позволяет установить множество вершин, соседних с заданной (то есть рассматриваемой в конкретной задаче), не прибегая к полному просмотру всей матрицы. Матрицы смежности обычно представляются двумерным массивом размера n x n , где n — число вершин графа.

Матрица смежности S — это квадратная матрица, в которой и число строк, и число столбцов равно n — числу вершин графа. В ячейки матрицы смежности записываются некоторые числа в зависимости от того, соединены соответствующие вершины рёбрами или нет, и от типа графа.

Матрица смежности для неориентированного графа

Элемент матрицы смежности s ij неориентированного графа определяется следующим образом:

— равен единице, если вершины v i и v j смежны;

— равен нулю, если вершины v i и v j не смежны.

Если для элемента матрицы v ij имеет место i = j , то есть элемент находится на диагонали, то этот элемент равен единице, если этот элемент имеет петлю, и нулю, если элемент не имеет петли.

Пример 2. Составить матрицу смежности для графа, представленного на рисунке ниже.

V	1	2	3	4	5
1	0	1	1	0	0
2	1	0	0	1	1
3	1	0	0	0	1
4	0	1	0	0	0
5	0	1	1	0	0

Таким образом, матрица смежности неориентированного графа симметрична относительно главной диагонали.

Матрица смежности для ориентированного графа

Элемент матрицы смежности s ij ориентированного графа определяется следующим образом:

— равен единице, если из вершины v i в вершину v j входит дуга;

— равен нулю, если из вершины v i в вершину v j дуга не входит.

Как и для неориентированных графов, так и для ориентированных, если для элемента матрицы v ij имеет место i = j , то есть элемент находится на диагонали, то этот элемент равен единице, если этот элемент имеет петлю, и нулю, если элемент не имеет петли.

Пример 3. Составить матрицу смежности для графа, представленного на рисунке ниже.

V	1	2	3	4	5
1	0	1	0	0	0
2	0	1	0	0	0
3	1	0	0	0	0
4	0	1	0	0	0
5	0	1	1	0	0

Таким образом, матрица смежности ориентированного графа не симметрична.

Матрица смежности для графа с кратными рёбрами

Если в графе есть вершины, соединённые между собой несколькими рёбрами, то элемент матрицы смежности s ij равен числу рёбер, соединяющих вершины v i и v j . Из этого следует, что если вершины v i и v j не соединены рёбрами, то элемент матрицы смежности s ij равен нулю.

Пример 4. Составить матрицу смежности для графа, представленного на рисунке ниже.

V	1	2	3	4	5
1	0	3	2	0	0
2	3	0	0	1	1
3	2	0	0	0	1
4	0	1	0	0	0
5	0	1	1	0	0

Матрица смежности для взвешенного графа

В случае взвешенного графа элемент матрицы смежности s ij равен числу w, если существует ребро между вершинами v i и v j с весом w. Элемент s ij равен нулю, если рёбер между вершинами v i и v j не существует.

Пример 5. Составить матрицу смежности для графа, представленного на рисунке ниже.

V	1	2	3	4	5
1	0	11	9	0	0
2	11	0	0	5	8
3	9	0	0	0	2
4	0	5	0	0	0
5	0	8	2	0	0

Матрицы инцидентности

Матрица инцидентности H — это матрица размера n x m , где n — число вершин графа, m — число рёбер графа. Обычно в матрице инцидентности строки соответствуют вершинам графа, а столбцы — рёбрам графа.

Матрица инцидентности для неориентированного графа

Элемент матрицы инцидентности для неориентированного графа h ij определяется следующим образом:

— равен единице, если вершина v i инцидентна ребру e j ;

— равен нулю, если вершина v i не инцидентна ребру e j .

Пример 6. Составить матрицу инцидентности для графа, представленного на рисунке ниже.

V	1-2	1-3	2-4	2-5	3-5
1	1	1	0	0	0
2	1	0	1	1	0
3	0	1	0	0	1
4	0	0	1	0	0
5	0	0	0	1	1

Матрица инцидентности для ориентированного графа

Элемент матрицы инцидентности для ориентированного графа h ij определяется следующим образом:

— равен минус единице, если вершина v i является началом ребра e j ;

— равен единице, если вершина v i является концом ребра e j ;

— равен нулю, если вершина v i не инцидентна ребру e j .

Пример 7. Составить матрицу инцидентности для графа, представленного на рисунке ниже.

V	1-2	1-3	2-4	2-5	3-5
1	1	-1	0	0	0
2	-1	0	-1	-1	0
3	0	1	0	0	-1
4	0	0	1	0	0
5	0	0	0	1	1

Списки инцидентности

Графы значительного объёма целесообразно хранить в памяти компьютера в форме списков инцидентности.

Список инцидентности одной вершины графа включает номера вершин, смежных с ней.

Ссылки на начало этих списков образуют одномерный массив, индексами которого служат номера вершин графа.

Пример 8. Составить списки инцидентности для графа, представленного на рисунке ниже.

Преимущества и недостатки каждого способа

Матрицы смежности и инцидентности целесообразнее использовать когда:

• число вершин графа невелико;
• число рёбер графа относительно большое;
• в алгоритме часто требуется проверять, соединены ли между собой две вершины;
• в алгоритме используются фундаментальные понятия теории графов, например, связность графа.

Из-за последнего обстоятельства матрицы чаще используются в теоретических исследованиях графов.

Списки инцидентности целесообразнее использовать когда:

• число вершин графа велико;
• число рёбер графа относительно невелико;
• граф формируется по какой-либо модели;
• во время действия алгоритма часто требуется модифицировать граф;
• в алгоритме часто используются локальные свойства вершин, например, например, окрестности вершин.

На практике списки чаще используются в прикладных целях.

Источник