Способ построения серединного перпендикуляра

Урок-лаборатория «Построение серединного перпендикуляра к отрезку как геометрического места точек с использованием графической среды компас-3D»

Разделы: Математика

Цели:

Дать представление о новом классе задач — построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки без масштабных делений.

Ввести понятие ГМТ.

Дать определение серединного перпендикуляра научить строить его и доказать терему о серединном перпендикуляре, а так же обратную ей.

С помощью системы компьютерного черчения “Компас-3D” выполнить геометрические построения, которые рекомендуется проводить в курсе геометрии с помощью циркуля и линейки.

Раздаточный материал (Приложение №1)

Задачи на построение циркулем и линейкой без делений решаются чаще всего по определённой схеме:

I. Анализ: Чертят искомую фигуру схематично и устанавливают связи между данными задачи и искомыми элементами.

II. Построение: По намеченному плану выполняют построение циркулем и линейкой.

III. Доказательство: Доказывают, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

IV. Исследование: Проводят исследование, при любых ли данных задача имеет решение и если имеет, сколько решений (выполняют не во всех задачах).

Вот несколько примеров элементарных задач на построение, которые мы с вами будем рассматривать:

1. Отложить отрезок, равный данному (изучено ранее).

2. Построение серединного перпендикуляра к отрезку:

• построить середину данного отрезка;
• построить прямую, проходящую через заданную точку и перпендикулярно заданной прямой (точка может лежать или не лежать на заданной прямой).

3. Построение биссектрисы угла.

4. Построение угла равного данному.

Серединный перпендикуляр к отрезку.

Определение: Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Задача: “Построить серединный перпендикуляр к отрезку”. Презентация

I. Анализ (слайд №2)

II. Построение (слайд №3)

MN AB

MN AB

Описание построения (слайд №4):

Луч а; А – начало луча

Окружность (А; r =m)

Окружность а = В; АВ = m

Окружность₁ Окружность₂ =

MN ; MN AB =0, (МN = L)

где MN AB, O – середина AB

III. Доказательство (слайд №5, 6)

1. Рассмотрим AMN и BNM:

AM = MB=BN=AN=r₂ , следовательно AM = BN , AN = BM MN – общая сторона

Следовательно, AMN = BNM (по 3-м сторонам),

1= 2 (по определению равных )

3= 4 (по определению равных )

2. MAN и NBM – равнобедренные (по определению) —>

1 = 4 и 3 = 2 (по свойству равнобедренных )

3. Из пунктов 1 и 2 —> 1 = 3 следовательно MO – биссектриса равнобедренного AMB

Следовательно, по свойству равнобедренных

MO – медиана, т.е. O – середина AB

MO – высота, т.е. MO AB (MO = MN)

4. Таким образом мы доказали, что MN – серединный перпендикуляр к отрезку AB

IV. Исследование

Данная задача имеет единственное решение, т.к. любой отрезок имеет только одну середину, и через заданную точку можно провести единственную прямую перпендикулярную данной.

Определение: Геометрическое множество точек (ГМТ) — это множество точек, обладающих некоторым свойством. (Приложение №2)

Известные вам ГМТ:

1. Серединный перпендикуляр к отрезку – это множество точек, равноудаленных от концов отрезка.
2. Окружность – это множество точек, равноудаленных от заданной точки – центра окружности.
3. Биссектриса угла – множество точек, равноудаленных от сторон угла

Итак, докажем теорему:

Теорема: “Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка”.

Дано: АВ; МО – серединный перпендикуляр

Доказать: АМ = ВМ

Доказательство: 1. МО – серединный перпендикуляр (по условию) —> O – середина отрезка АВ , MOАВ 2. Рассмотрим АМО и ВМО — прямоугольные МО – общий катет

АО = ВО (О – середина АВ) —> АМО = ВМО (по 2-м катетам) —>АМ=ВМ (по определению равных треугольников, как соответствующие стороны) Что и требовалось доказать

Домашнее задание: “Доказать теорему, обратную данной”

Теорема: “Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку”.

Доказать: Точка М лежит на серединном перпендикуляре

Доказательство:

1. Т.к. МА=МВ (по условию) —>АМВ – равнобедренный (по определению).
2. Проведем МО АВ, т.е. опустим h_АВ.
3. Т.к. АВ – основание равнобедренного АМВ, то МО – медиана —> АО=ОВ (по cвойству равнобедренного треугольника).

Т.о. МО – серединный перпендикуляр, содержащий все точки, равноудаленные от концов отрезка.

Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

Они пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной окружности около треугольника, мы изучим в восьмом классе.

Материально техническое оснащение:

Дистрибутив: 29 574 Кбайт

Авторские права: АО АСКОН

ОС: Windows 9x/2000/XP

Теперь перенесем построение в графическую среду компьютера (слайд №7)

Полученные ранее знания и умения необходимо применить на конкретной задаче. Вы увидите, что построение займет у вас времени не больше, чем построение в тетради. Кроме всего прочего интересно посмотреть, как компьютерная среда выполняет команды человека по построению плоскостных фигур. Перед вами приложение №3, в котором подробным образом расписаны ваши шаги построения. Загрузить программу и открыть новый чертеж (слайд №8, 9).

Начертить геометрические объекты, заданные в условии задачи: луч а с началом в точке А и отрезок равный m – произвольной длины (слайд №10).

Ввести обозначение луча, отрезка, начала луча на чертеже с помощью вкладки «Инструменты» текст.

Построить окружность радиусом равным отрезку m с центром в вершине заданной точкой А (слайд №11).

Построить окружность радиусом равным отрезку больше 1/2 m с центром в вершине заданной точкой А (слайд №12, 13).

Построить окружность радиусом равным отрезку больше 1/2 m для этого выбрать в контекстном меню ПКМ пункт “Между 2 точками” (слайд №14, 15, 16).

Через точки пересечения окружностей M и N провести прямую (слайд №17,18).

Используемая литература:

Угринович Н.Д “Информатика. Базовый курс” 7 класс. — М.: БИНОМ – 2008 – 175 с.

Угринович Н.Д “Практикум по информатике и информационным технологиям”. Учебное пособие. – М.: БИНОМ, 2004-2006. —

Угринович Н.Д “Преподавание курса “Информатика и ИКТ” в основной и старшей школе 8-11 классы М.: БИНОМ Лаборатория знаний, 2008. — 180 с.

Угринович Н.Д Компьютерный практикум на CD-ROM. – М.: БИНОМ, 2004-2006.

Богуславский А.А., Третьяк Т.М. Фарафонов А.А. “Компас – 3D v 5.11-8.0 Практикум для начинающих” – М.: СОЛОН – ПРЕСС, 2006 – 272 с.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., и др “Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных школ” – М: Просвещение 2006 – 384 с.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., и др “Изучение геометрии 7-9 класс. Методические рекомендации к учебнику” – М: Просвещение 1997 г. – 255 с.

Афанасьева Т.Л., Тапилина Л.А. “Поурочные планы по учебнику 8 класса Атанасяна Л.С.” — Волгоград “Учитель” 2010 г., 166 с.

Приложение № 1

План решения задач на построение циркулем и линейкой.

1. Анализ.
2. Построение.
3. Доказательство.
4. Исследование.

При выполнении анализа схематично чертят искомую фигуру и устанавливают связь между данными задачи и искомыми элементами.

По намеченному плану выполняют построение циркулем и линейкой.

Доказывают, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

Проводят исследование: при любых ли данных задача имеет решение и если имеет, то сколько решений?

Примеры элементарных задач на построение

Отложить отрезок, равный данному.

Построить серединный перпендикуляр к отрезку.

Построить середину отрезка.

Построить прямую, проходящую через данную точку, перпендикулярно заданной прямой (Точка может лежать или не лежать на заданной прямой).

Построить биссектрису угла.

Построить угол равный данному.

Приложение №2

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество точек, обладающих некоторым свойством.

Примеры ГМТ:

Серединный перпендикуляр к отрезку – это множество точек, равноудалённых от концов отрезка.

Окружность – это множество точек, равноудаленных от заданной точки – центра окружности.

Биссектриса угла – это множество точек, равноудалённых от сторон угла.

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Дано: отрезок АВ, МО – серединный перпендикуляр.

Сформулировать и доказать обратную теорему.

Приложение №3

Геометрическое построение серединного перпендикуляра к отрезку в графической среде “Компас 3D”.

Начертить геометрические объекты, заданные в условии задачи: луч а с началом в точке А и отрезок равный m – произвольной длины.

1. Построить произвольный горизонтальный луч а.
2. Построить произвольный отрезок m.
3. Ввести обозначение луча, отрезка, начала луча на чертеже с помощью вкладки Инструменты “текст”. Построить окружность радиусом равным отрезку m с центром в вершине заданной точкой А.
4. Выбрать на панели “Геометрия” инструмент “Окружность” и построить окружность радиусом равным отрезку m .для этого выбрать в контекстном меню ПКМ пункт Длина кривой.
5. Точку пересечения луча а и радиуса окружности обозначить В. Построить окружность радиусом равным отрезку больше 1/2 m с центром в вершине заданной точкой А.
6. Выбрать на панели Геометрия инструмент Окружность и построить окружность радиусом равным отрезку больше 1/2 m для этого выбрать в контекстном меню ПКМ пункт “Между 2точками”.
7. Перенести окружность поместив ее в центр А.
8. Аналогично построить окружность с центром в точке В.
9. Точки образованные в процессе пересечения двух окружностей обозначить соответственно M, N. Через точки пересечения окружностей M и N провести прямую.
10. Соединить точки пересечений отрезком MN.
11. Точку пересечения MN и АВ обозначить точкой О.

Источник