Способ построения квадрата одной линейкой с двумя засечками

Глава 1. Историческая справка

1.1. Биография Наполеона

1.3. Наполеон и математика

1.4. Любимая головоломка Наполеона

Глава 2. Теорема Наполеона

2.1. Теорема Наполеона и ее доказательства

2.2. Другие задачи Наполеона

К успеху в любом деле ведёт

только один путь – труд,

Прошлый 2012 год для нашей Родины проходил под знаком 200-летия со дня победы в одной из самых известных важных кровавых и судьбоносных битв в истории России – Бородинской битве. До сих пор историки спорят о значении и этого сражения. Вспоминая и отдавая почести героям Отечественной войны 1812 года, великим полководцам и простым солдатам, руководителям партизанского движения и крестьянам (часто крепостным), вставшим на защиту свободы своей Родины, нельзя не вспомнить и о противниках, и их предводителе – всесторонне одаренном великом полководце и реформаторе Наполеоне Бонапарте, который, несмотря на все предыдущие блистательные победы, не смог сломить силу и дух русского народа, и в России его армия получила сокрушительный удар. Надо знать поверженного врага, чтобы лучше понять свою историю, историю великого русского народа.

Малоизвестным фактом для многих учеников является то, что французский император Наполеон Бонапарт был любителем математики и внес определенный вклад в ее развитие. Французский император Он находил время заниматься ею для собственного удовольствия, чувствовал в ней красоту и объект, достойный приложения остроумия и изобретательности. Одно из свидетельств тому – несколько, составленных им геометрических задач. Некоторые задачи Наполеона отличаются простотой постановки и допускают изящные решения.

В работе представлен оригинальный нетрадиционный подход к доказательству теоремы Наполеона с использованием формул тригонометрии. Работа носит исследовательский характер. Большое место в работе занимает экскурс в историю и знакомство с достижениями Наполеона в области математики.

Исследовательская работа состоит из 2-х разделов. Первый раздел содержит краткую историческую справку. Во втором приведены различные доказательства теоремы.

Актуальность. Выбранная нами тема исследования не включена в школьную программу, поэтому малоизученна. Мало литературы, посвященных ей. Основная опора была сделана на книгу «Новые встречи с геометрией». В этой работе дана общая характеристика изучаемого нами вопроса. Данная работа весьма актуальна, так как она расширяет и углубляет знания о произвольном треугольнике, полученные учениками на уроках математики. Так же представленная здесь исследовательская работа способствует тому, что, познакомившись с ней на школьной научной конференции, учащиеся школы могут применять полученные знания при решении задач. Кроме того, результаты работы могут использоваться на уроках геометрии и на занятиях математического кружка.

Объектом исследования в данной работе является произвольный треугольник.

Предмет исследования – свойство внутреннего треугольника, построенного на сторонах исходного треугольника.

Цель проекта – изучить геометрические задачи, составленные и решенные Наполеоном.

1) изучить имеющуюся литературу по данной теме;

2) доказать задачу императора с использованием геометрических преобразований;

3) рассмотреть современные способы доказательств задачи Наполеона;

4) разгадать головоломки Наполеона.

Методы исследования: описательный метод, прием решения, прием сопоставления.

Гипотеза. Думаем, что теорема Наполеона — утверждение евклидовой планиметрии о равносторонних треугольниках.

Практическая значимость проекта состоит:

— в использовании результатов работы на уроках математики, на занятиях математического кружка;

— в повышении интереса к математике у учеников школы после доклада авторов проекта на конференции школьного научного общества;

— в расширении математического кругозора у учащихся школы

Глава 1. Историческая справка

1.1 Биография Наполеона

Наполеон I Бонапарт (годы жизни ) родился в городке Аяччо на острове Корсика в дворянской семье.

Он был вторым из 13 детей Карло Буонапарте и Летиции Рамолино, пятеро из которых умерли в раннем возрасте. До зрелого возраста кроме самого Наполеона дожили 4 его брата и 3 сестры.

Семья относилась к мелким аристократам и жила на острове с начала XVI века. Хотя в прошлом Карло Буонапарте был одним из составителей Конституции Корсики, он подчинился французской верховной власти, чтобы иметь возможность дать детям образование во Франции. Первоначально дети учились в городской школе Аяччо, позже Наполеон и некоторые его братья и сёстры обучались письму и математике у аббата.

Благодаря сотрудничеству с французами Карло Буонапарте удалось добиться королевских стипендий для двух старших сыновей, Жозефа и Наполеона (всего в семье было 5 сыновей и 3 дочери). В то время как Жозеф готовился стать священником, Наполеону была предназначена военная карьера. В декабре 1778 года оба мальчика покинули остров и были взяты в колледж в Отёне, главным образом с целью обучения французскому языку, хотя Наполеон всю свою жизнь говорил с сильным акцентом. На следующий год Наполеон поступил в кадетскую школу в Бриен-ле-Шато. Друзей в колледже у Наполеона не было, так как он происходил из не слишком богатой семьи, да и к тому же был корсиканцем, причем с ярко выраженным патриотизмом к родному острову и неприязнью к французам как поработителям Корсики. Более того, в школе у него нередко случались драки. Наполеон часто оказывался победителем, но и столь же часто проигравшим. Драки его были отчаяными. Именно в Бриенне имя Наполеоне Буонапарте стало произноситься на французский манер — «Наполеон Бонапарт».

Благодаря победе в конкурсе «Ожерелье королевы», он был принят в Королевскую кадетскую школу в Париже. Там он изучал следующие предметы: гидростатика, дифференциальное исчисление, вычисление интегралов, а также государственное право.

Особых успехов Наполеон добился в математике. Гуманитарные науки, напротив, давались ему с трудом. Например, в латыни он был настолько не силён, что учителя даже не допускали его до экзаменов. Кроме того, он делал довольно много ошибок при написании, зато стиль его стал намного лучше благодаря его любви к чтению. Больше всего Наполеона интересовали такие персонажи, как Александр Великий и Юлий Цезарь. Уже с того раннего времени Наполеон чрезвычайно много трудился и читал книги в различных областях знаний: путешествия, география, история, стратегия, тактика, артиллерийское дело, философия.

Бонапарт проявлял необыкновенную работоспособность и трудолюбие.

Выпущенный в 1785 году из Парижской военной школы в армию в чине лейтенанта, Бонапарт за 10 лет прошёл всю иерархию чинопроизводства в армии тогдашней Франции. В 1788 году, будучи лейтенантом, он пытался поступить на русскую службу, но получил отказ руководившего набором волонтёров для участия в войне с Турцией генерал-поручика И. Заборовского. Буквально за месяц до прошения Наполеона о принятии в Русскую армию был издан указ о принятии иноземцев на службу чином ниже, на что Наполеон не согласился. Благодаря этому указу Россия лишилась величайшего полководца. В запале он выбежал от Заборовского, крикнув, что предложит свои услуги королю Пруссии: «Мне король Пруссии даст чин капитана».

Окончив военную школу, он стал быстро делать карьеру, и в 1796 году уже был командующим французской армией в Италии.

В 1802 году он стал первым консулом Французской республики, а спустя два года, императором Франции.

Блестящий полководец, великий государственный деятель, он значительно расширил территорию империи, поставил в зависимость от Франции большинство стран Западной и Центральной Европы. Провел множество военных кампаний, самые яркие из которых – Бородинское сражение и битва при Ватерлоо.

Жизнь показала: фигур подобного масштаба в мире тогда просто не было.

Есть версия, что Наполеон был отравлен. Эту гипотезу выдвинул шведский стоматолог Стен Форсхувуд, исследовавший волосы Наполеона и нашедший в них мышьяк. Однако авторы книги «Химия в криминалистике» Л. Лейстнер и П. Буйташ пишут, что «повышенное содержание мышьяка в волосах все ещё не дает основания безоговорочно утверждать факт умышленного отравления, потому что такие же данные могли быть получены, если бы Наполеон систематически использовал лекарства, в состав которых входит мышьяк». Недавние исследования волос Наполеона показали интересные результаты. Учёные исследовали волосы не только периода последней ссылки, но и волосы 1814 года и даже 1804, когда его короновали. Исследования показали многократное превышение дозы мышьяка во всех образцах. Это даёт повод сомневаться, что Наполеона отравили. Однако в наше время ученые провели дополнительные исследования. С помощью неофициального вскрытия, они нашли на стенках кишечника бактерии, которые можно обнаружить только с помощью очень сильных современных микроскопов.

1.2. Наполеон и математика

Обладая аналитическим умом, Наполеон добился определенных успехов в области математики. Своими знаниями он поражал многих великих математиков того времени. За заслуги в математике он был избран академиком Французской академии наук и стал магистром математики.

Через десять с лишним лет генерал Лассаль вспоминал тот первый итальянский поход и молодого республиканского генерала Бонапарта: «В Италии у него было мало людей, да и те без оружия, без хлеба, без сапог, без денег, без администрации. Наружность его была незначительна, он имел репутацию математика и мечтателя. Никакого еще дела не было за ним, и ни одного друга; он слыл медведем, потому что был всегда один и погружен в свои мысли. Он должен был создать все, и создал. Вот где он был всего изумительнее».

«…Он имел репутацию математика». Увлечение Наполеона наукой вообще известно. Менее известны его математические успехи. Занимаясь математикой для собственного удовольствия, Наполеон, например, доказал теорему, которая теперь так и называется — теорема Наполеона. Звучит она так: «На сторонах произвольного треугольника построены внешние равносторонние треугольники. Центры этих внешних треугольников образуют равносторонний треугольник».

Ещё Наполеон предложил простой способ построения квадрата одной линейкой с двумя засечками. Это решение стало существенным шагом к доказательству возможности при помощи только циркуля или только линейки с двумя засечками делать любые построения, выполнимые циркулем и линейкой без засечек.

Бонапарт считается также автором задачи о делении на четыре равные части окружности с помощью одного лишь циркуля.

Данная тема не включена в школьную программу и очень мало изучена, да и литературы не так много.

В Наполеоновскую эпоху блистали и восходили такие звезды, как Гумбольдт, Гей-Люссак, Лаплас, Кулон, Араго, Ампер, Фурье, Френель, Коши, Пуассон. Более привычно звучат для нашего слуха эти фамилии не в сочетаниях со своими именами, коих порой и специалисты не могут вспомнить, а в следующих формах: «теорема Коши», «ряды Фурье», «зоны Френеля», «закон Гей-Люссака», «распределение Пуассона».

1.3. Любимая головоломка Наполеона

Рассмотрим одну из головоломок — «Танграм».

Очевидцы рассказывают, что среди прочих математических, шахматных и тактических задач по военному искусству император Наполеон любил задавать своим офицерам и эту головоломку: какие плоские геометрические фигуры можно построить из девяти предложенных в россыпь деталей?

Это игра-головоломка, направленная на воссоздание из геометрических фигур образных изображений. Наборы фигур представляют собой части разрезанной фигуры: квадрата, прямоугольника и т. п. Суть игры заключается в том, чтобы на плоскости из семи частей квадрата создавать самые разнообразные фигуры, более сложные. Головоломка используются для улучшения зрительной памяти.

Простую с виду задачу решить удавалось не каждому. Маршал Даву, говорят, сумел собрать из предложенных деталей квадрат, а Мюрат — и квадрат, и прямоугольник. Позже нашелся полковник, построивший звезду. Но никто до сих пор не сумел построить из этих деталей треугольник, ромб или трапецию. Да и есть ли решение вообще?

Танграм был любимой игрой Наполеона, который, лишившись трона, в изгнании проводил долгие часы за этой забавой, упражняя свое терпение и находчивость.

Часто приходится слышать: «Талантливый человек – талантлив во всём!».

«… Что было бы, если бы Наполеон в качестве своего поприща избрал бы не политику с военным делом, а науку, ту же математику? Пожалуй, был бы ещё один великий математик! Можно было бы добиться всемирной славы и самоутвердиться без массового кровопускания!»

Особых успехов Наполеон добился в математике. Гуманитарные науки, напротив, давались ему с трудом.

Бонапарт проявлял необыкновенную работоспособность и трудолюбие.

Блестящий полководец, великий государственный деятель, он значительно расширил территорию империи, поставил в зависимость от Франции большинство стран Западной и Центральной Европы. Провел множество военных кампаний, самые яркие из которых – Бородинское сражение и битва при Ватерлоо.

Жизнь показала: фигур подобного масштаба в мире тогда просто не было.

Именно при Наполеоне в стране возникли профессиональные ученые.

Наполеон придал ускорение исследованиям в области электричества в двадцатые годы XIX века.

За заслуги в математике он был избран академиком Французской академии наук и стал магистром математики.

Занимаясь математикой для собственного удовольствия, Наполеон, например, доказал теорему, которая теперь так и называется — теорема Наполеона. Звучит она так: «На сторонах произвольного треугольника построены внешние равносторонние треугольники. Центры этих внешних треугольников образуют равносторонний треугольник».

Ещё Наполеон предложил простой способ построения квадрата одной линейкой с двумя засечками. Бонапарт считается также автором задачи о делении на четыре равные части окружности с помощью одного лишь циркуля.

Глава 2. Теорема Наполеона

2.1. Теорема Наполеона и ее доказательства

Эту красивую теорему приписывают известному великому полководцу и государственному деятелю Наполеону Бонапарту. Тем не менее, впервые опубликовал эту теорему У. Резерфорд в публикации в “The Ladies’ Diary” в 1825 году, спустя 4 года после смерти Наполеона, так что возможно, что ее автором является и не полководец.

План исследования задачи:

1. Построить произвольный треугольник;

2. На стороне AB построить равносторонний треугольник;

3. Построить центр M равностороннего треугольника;

4. На стороне BC построить равносторонний треугольник;

5. Построить центр N равностороннего треугольника;

6. На стороне AC построить равносторонний треугольник;

7. Построить центр K равностороннего треугольника;

8. Соединить центры M, N, K;

9. Сравнить отрезки MN, NK, MK;

.

Теорема Наполеона звучит так: «Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников — тоже равносторонний».

Обозначим длины сторон треугольника следующим образом: .

Центры построенных равносторонних треугольников обозначим через P, Q и R (рис. 1).

Из треугольника CRQ найдем |QC|:

,

(медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, кроме того, в равностороннем треугольнике медиана является и высотой).

.

Кроме того,

По теореме косинусов из ΔABC:

.

Из формулы для площади треугольника ABC:

,

.

Поскольку выражение для |QR| симметрично относительно a, b, c (можно еще два раза проделать выкладки), получаем

.

То есть все стороны треугольника PQR равны, что и требовалось доказать.

Теорема Наполеона: «На сторонах произвольного треугольника ABC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники. Центры этих треугольников М, N, K являются вершинами еще одного равностороннего треугольника».

Пусть М, N, К — центры равносторонних треугольников. Выполним дополнительное построение: соединим точки М, N, К с ближайшими (к каждой из них) двумя вершинами треугольника АВС и между собой (рис.1)

По свойствам равностороннего (правильного) треугольника АМ=МВ, ВN=NС, СК= КА; угол АМВ равен углу ВNС равен углу СКА равен 120°, а их сумма равна 360°. Выделим шестиугольник АМВNСК, а внешние к нему невыпуклые четырёхугольники отбросим. Получим фигуру, изображённую на рис.2 .

Отсекая теперь от этого шестиугольника треугольники МАК и NСК, перемещая их в плоскости в положение, которое указано на рис.3, получаем четырёхугольник МDNK.

Отрезок МN делит его на два равных (по трем сторонам) треугольника. Углы DNK и DМК равны 120° каждый. Поэтому углы NМК и МNК равны 60° каждый. Следовательно, треугольник МNК равносторонний, что и требовалось доказать.

Существуют так же и другие доказательства (геометрическое (из книги Г. С.М. Коксетера и «Новые встречи с геометрией» (М., «Наука», 1978), с использованием поворота и теоремы Шалля и через комплексные числа)

Лемма. Окружности, описанные около треугольников ABX, BCY и CAZ, пересекаются в одной точке.

Доказательство леммы. Пусть P — точка пересечения окружностей, описанных около треугольников BCY и CAZ. Предположим, что точка P лежит внутри треугольника ABC (другие случаи рассматриваются аналогично). Тогда из свойства вписанного четырехугольника вытекает, что углы BPC и CPA равны 120 градусам. Следовательно, угол APB также равен 120 градусам, и точка P лежит также на окружности, описанной около треугольника ABX.

Решение. Обозначим через K, L и M центры равносторонних треугольников ABX, BCY и CAZ соответственно. Как известно, прямая, соединяющая центры пересекающихся окружностей, перпендикулярна их общей хорде. Отсюда следует, что KL перпендикулярно BP, LM перпендикулярно CP и MK перпендикулярно AP. В доказательстве леммы мы установили, что углы APB, BPC и CPA равны 120 градусам (в случае, если точка P лежит внутри треугольника ABC). По свойству углов с перпендикулярными сторонами отсюда вытекает, что углы KLM, LMK и MKL равны шестидесяти градусам, что и требовалось доказать.

Решение задачи с использованием комплексных чисел

Оно проще геометрического доказательства (для тех, кто знаком с комплексными числами), но зато менее красиво.

Выберем координаты на комплексной плоскости таким образом, чтобы вершины A и B треугольника ABC соответствовали числам 0 и 1; пусть вершина C соответствует числу z.

Если обозначить через c комплексное число, аргумент которого равен 300, а модуль равен (секансу 30 градусов), то точкам K, L и M (обозначения такие же, как в предыдущем доказательстве) соответствуют комплексные числа u=cz/2, v=z+c(1-z)/2 и w=1-c/2 соответственно.

Обозначим z=x+iy, выразим модули разностей чисел u, v и w через x и y. Заметим, что точки, соответствующие комплексным числам u, v и w, являются вершинами равностороннего треугольника тогда и только тогда, когда отношение (v-u):(w-u) имеет модуль 1, а аргумент 600 (или -600). Нетрудно видеть, что в нашем случае это отношение равно

Легко проверить, что

где a — число с модулем 1 и аргументом 600.

Стало быть, и отношение(v-u):(w-u) равно a, что и требовалось.

Решение с использованием теоремы косинусов

Решение. По теореме косинусов определим расстояние между центрами и из четырёхугольника , где и — середины сторон треугольника ABC. В этом четырёхугольнике ,, и .

Поэтому .

Но .

Следовательно, .

Симметрия полученной формулы относительно a, b и c указывает на то, что .

Решение векторным методом.

Задача. Если на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC построены в его плоскости равносторонние однако ориентированные треугольники , то центры то центры этих треугольников являются вершинами равностороннего треугольника или совпадают.

Решение. Рассмотрим для определённости тот случай, когда ориентации треугольников противоположны ориентации треугольника ABC.

Пусть G – центроид данного треугольника ABC. Согласно правилу треугольников имеем:

Отсюда сложением получаем:

Поскольку точка G – центроид треугольника ABC, то

от некоторой точки O, получим соответственно векторы

Треугольник получается из треугольника поворотом то и гомотетией .

то O — центроид треугольника.

Поворот и гомотетия отображают центроид на центроид, а так как при данной гомотетии и данном повороте точка O неподвижна, то O – центроид и треугольника .

Отсюда следует, что

и поэтому из (1) находим, что

.

Из (2) вытекает, что G – центроид треугольника .

Теперь рассмотрим четырёхугольник . Отрезок соединяет центроиды треугольников и , следовательно,

, M-середина стороны BC).

Аналогичным образом обнаруживаем, что

,

Но . Действительно, поворот отображает на , на , поэтому; аналогично , и поэтому .

В таком случае . Следовательно, для треугольника точка G есть и центроид и центр описанной окружности, поэтому — правильный треугольник.

Задача решена и дополнена тем, что центроид треугольника совпадает с центроидом данного.

Следовательно, треугольник также правильный и центр его совпадает с центроидом G данного треугольника.

Так как полученные равносторонние треугольники и симметричны относительно их общего центра G, то шестиугольникправильный и его центр совпадает с центроидом G данного треугольника.

Вывод. В предложенном решении, в котором находят место векторы и преобразования, было обнаружено, что соответсвующих только одной из двух возможностей ориентации треугольников, можно указать два (среди них ), причём вершины обоих треугольников образуют правильный шестиугольник. Аналогичным образом можно построить и второй правильный шестиугольник, который соответствует другой ориентации трёх указанных выше равносторонних треугольников.

2.2. Другие задачи Наполеона

Французский император Наполеон Бонапарт был любителем математики. Он находил время заниматься ею для собственного удовольствия, чувствовал в ней красоту и объект, достойный приложения остроумия и изобретательности. Одно из свидетельств тому — несколько, составленных им геометрических задач.

Задача о равных треугольниках при искомой точке.

Одной из составленных Наполеоном Бонапартом геометрических задач является задача о равных треугольниках при искомой точке.

В треугольнике ABC найти точку F, такую, что сумма расстояний от F до вершин A, B и C будет минимальна.

Решение данной задачи имеет единственное ограничение: наибольший угол треугольника должен быть меньше 120 °.

¡ Пусть F — произвольная точка внутри треугольника. Повернем треугольник ABF вокруг вершины B наружу на 60°.

¡ В этом случае AF = A’F’ и BF = B’F’ по построению, BF = F’F, потому что треугольник BFF’ равносторонний, значит сумма расстояний от F до A, B, C равна длине ломаной A’F’FC.

¡ Эта сумма станет минимальной, если F примет такое положение, что ломаная станет прямой. Для этого нужно, чтобы участок AF’F стал прямым, т. е. чтобы Ð A’F’B и, следовательно, Ð AFB равнялся 120°.

Необходимо еще, чтобы участок F’FC стал прямым, т. е. Ð BFC равнялся 120°. Третий угол при точке F автоматически станет равным 120°. Итак, доказано, что все три угла при искомой точке F равны 120°.

Задача о квадрате, вписанном в окружность

Условие задачи Наполеона: необходимо найти вершины квадрата, вписанного в окружность с отмеченным центром.

Решение, предложенное американским математиком Ф. Чини

1.Выбрать на окружности произвольную точку А. Провести через нее окружность того же радиуса, что и первая.

2. Затем из точки пересечения второй окружности с первой (точки E — первая вершина) провести третью окружность, пересекающую первую окружность (в точке D).

3. Провести из этой точки D первую дугу (DA), пересекающую первую исходную окружность в точке E (вторая вершина квадрата).

4. Из точки F — как из центра пересечения второй и третьей окружности (внешней по отношению к первой) провести дугу радиусом FO в точке G. 5.Оставшиеся две вершины квадрата H, I, вписанного в исходную окружность, получите, проведя дугу радиуса CG с центром в точке C.

На сторонах произвольного треугольника ABC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники. Центры этих треугольников М, N, K являются вершинами еще одного равностороннего треугольника.

Эту красивую теорему приписывают известному великому полководцу и государственному деятелю Наполеону Бонапарту. Тем не менее, впервые опубликовал эту теорему У. Резерфорд в публикации в “The Ladies’ Diary” в 1825 году, спустя 4 года после смерти Наполеона, так что возможно, что ее автором является и не полководец.

Существуют так же и другие доказательства (геометрическое (из книги Г. С.М. Коксетера и «Новые встречи с геометрией»), (М., «Наука», 1978), с использованием поворота и теоремы Шалля и через комплексные числа).

Французский император Наполеон Бонапарт был любителем математики. Он находил время заниматься ею для собственного удовольствия, чувствовал в ней красоту и объект, достойный приложения остроумия и изобретательности.

Одной из составленных Наполеоном Бонапартом геометрических задач является задача о равных треугольниках при искомой точке: в треугольнике ABC найти точку F, такую, что сумма расстояний от F до вершин A, B и C будет минимальна.

Наполеон так же рассматривал задач о квадрате, вписанном в окружность: необходимо найти вершины квадрата, вписанного в окружность с отмеченным центром.

Книг о Наполеоне — более двухсот тысяч! Историки знают, во что одевался Наполеон, что было у него на ногах, сколько стоили его носовые платки, что он любил есть и во сколько завтракал, каким был распорядок его дня. Академик Фредерик Массон на рубеже XX века выпустил 13-томное исследование «Наполеон и его семья», посвященное практически всем сторонам жизни Наполеона. Но мало в них написано о математических способностях великого императора. Думаем, что наша работа даст возможность многим узнать о Наполеоне как о математике.

Исследовательская работа позволила познакомиться с достижениями Наполеона Бонапарта в области различных наук.

Мы изучили теорему Наполеона и ее доказательства, рассмотрели геометрические задачи и головоломку Наполеона.

Данные знания позволили нам расширить наши возможности при решении различных геометрических задач, пополнили багаж наших знаний малоизвестными фактами.

В работе представлен оригинальный нетрадиционный подход к доказательству теоремы Наполеона, что, безусловно, вызывает интерес. На наш взгляд, нам удалось проявить при этом смекалку и эрудицию. Работа носит исследовательский характер, открывает возможности решения известных задач новыми нешкольными методами. Большое место в работе занимает экскурс в историю.

Гипотеза, выдвинутая перед началом работы, подтверждена. Поставленная цель достигнута, задачи решены.

1. Ришелье. Оливер Кромвель. Наполеон I. Князь Бисмарк: Биогр. Р 57 очерки. — М.: Республика, 1994.-320 с.: ил.

2. Энциклопедический словарь юного математика, 2-е изд., исп. и доп./Сост. Э-68 . — М.: Педагогика, 1989.-352 с.: ил., стр 298.

3. , , — Геометрические олимпиады им. — М.: МЦНМО, 2007 г.- 152 с.

4. Задача Наполеона. Квант, № 6, 1972,

6. Е. Андреева «Головоломка Наполеона» http://jtdigest. *****/dig2_02/napol. htm

7. , . Сборник задач по геометрии. Задача № 31. http://*****/NiktinZ/d05.htm

8. Анимация теоремы Наполеона http://files. school-collection. *****/dlrstore/02b7798e-607d-88ff-fec4cf0bb/napoleon. html

9. Задача/Теорема Наполеона http://webgrossmeister. dreamwidth. org/5035.html

10. Задача о квадрате, вписанном в окружность. http://uchinfo. /zadachi/zadachi3.htm

11. . Задача Наполеона. // Квант, № 6, 1972

12. Савин Наполеона. «Энциклопедический словарь Юного математика». Москва, издательство «Педагогика», 1985.

13. Скопец А «Геометрические миниатюры.»\ сост. . — М.: Просвещение, 1990

Обложка и статья «Задача Наполеона» из журнала «Квант» №6 1972 г.

Источник