Способ построения графика квадратичной функции

Квадратичная функция. Парабола

Прежде чем перейти к разбору квадратичной функции рекомендуем вспомнить, что называют функцией в математике.

Если вы прочно закрепите общие знания о функции (способы задания, понятие графика) дальнейшее изучение других видов функций будет даваться значительно легче.

Что называют квадратичной функцией

Квадратичная функция — это функция вида

Другими словами можно сказать, что если в функции старшая (то есть самая большая) степень, в которой стоит « x » — это « 2 », то перед нами квадратичная функция.

Рассмотрим примеры квадратичных функций и определим, чему в них равны коэффициенты « a », « b » и « с ».

Квадратичная функция	Коэффициенты
y = 2x 2 − 7x + 9	a = 2 b = −7 с = 9
y = 3x 2 − 1	a = 3 b = 0 с = −1
y = −3x 2 + 2x	a = −3 b = 2 с = 0

Как построить график квадратичной функции

График квадратичной функции называют параболой.

Парабола выглядит следующим образом.

Также парабола может быть перевернутой.

Существует четкий алгоритм действий при построении графика квадратичной функции. Рекомендуем при построении параболы всегда следовать этому порядку действий, тогда вы сможете избежать ошибок при построении.

Чтобы было проще понять этот алгоритм, сразу разберем его на примере.

Построим график квадратичной функции « y = x 2 −7x + 10 ».

Если « a > 0 », то ветви направлены вверх.

Если « a », то ветви направлены вниз.

В нашей функции « a = 1 », это означает, что ветви параболы направлены вверх.

Координаты вершины параболы

Чтобы найти « x₀ » (координата вершины по оси « Ox ») нужно использовать формулу:

Найдем « x₀ » для нашей функции « y = x 2 −7x + 10 ».

x₀ =

− (−7)

2 · 1

=

7

2

= 3,5

Теперь нам нужно найти « y₀ » (координату вершины по оси « Oy »). Для этого нужно подставить найденное значение « x₀ » в исходную функцию. Вспомнить, как найти значение функции можно в уроке «Как решать задачи на функцию» в подразделе «Как получить значение функции».

Выпишем полученные координаты вершины параболы.

(·) A (3,5; −2,25) — вершина параболы.

Отметим вершину параболы на системе координат. Проведем через отмеченную точку ось симметрии, так как парабола — это симметричный график относительно оси « Oy ».

Для начала давайте разберемся, что называют нулями функции.

Нули функции — это точки пересечения графика функции с осью « Ox » (осью абсцисс).

Наглядно нули функции на графике выглядят так:

Свое название нули функции получили из-за того, что у этих точек координата по оси « Oy » равна нулю.

Теперь давайте разберемся, как до построения графика функции рассчитать координаты точек нулей функции.

Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо « y = 0 ».

Подставим в заданную функцию « y = x 2 −7x + 10 » вместо « y = 0 » и решим полученное квадратное уравнение относительно « x » .

0 = x 2 −7x + 10
x 2 −7x + 10 = 0
x_1;2 =

7 ± √ 49 − 4 · 1 · 10

2 · 1

x_1;2 =

7 ± √ 9

2

x_1;2 =

7 ± 3

2

x1 = 7 + 3 2	x2 = 7 − 3 2
x1 = 10 2	x2 = 4 2
x1 = 5	x2 = 2

Мы получили два корня в уравнении, значит, у нас две точки пересечения с осью « Ox ». Назовем эти точки и выпишем их координаты.

Отметим полученные точки («нули функции») на системе координат.

Возьмем четыре произвольные числовые значения для « x ». Целесообразно брать целые числовые значения на оси « Ox », которые наиболее близки к оси симметрии. Числа запишем в таблицу в порядке возрастания.

Для каждого выбранного значения « x » рассчитаем « y ».

• y(1) = 1 2 − 7 · 1 + 10 = 1 − 7 + 10 = 4
• y(3) = 3 2 − 7 · 3 + 10 = 9 − 21 + 10 = −2
• y(4) = 4 2 − 7 · 4 + 10 = 16 − 28 + 10 = −2
• y(6) = 6 2 − 7 · 6 + 10 = 36 − 42 + 10 = 4

Запишем полученные результаты в таблицу.

x	1	3	4	6
y	4	−2	−2	4

Отметим полученные точки графика на системе координат (зеленые точки).

Теперь мы готовы построить график. На забудьте после построения подписать график функции.

Краткий пример построения параболы

Рассмотрим другой пример построения графика квадратичной функции. Только теперь запишем алгоритм построения коротко без подробностей.

Пусть требуется построить график функции « y = −3x 2 − 6x − 4 ».

Направление ветвей параболы « a = −3 » — ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы

x₀ =

−b

2a

x₀ =

−(−6)

2 · (−3)

=

6

−6

= −1

y₀(−1) = (−3) · (−1) 2 − 6 · (−1) − 4 = −3 · 1 + 6 − 4 = −1

(·) A (−1; −1) — вершина параболы.

Точки пересечения с осью « Ox » ( y = 0 ).

−3x 2 − 6x − 4 = 0 |·(−1)

x_1;2 =

−6 ± √ 6 2 − 4 · 3 · 4

2 · 1

x_1;2 =

−6 ± √ 36 − 48

2

x_1;2 =

−6 ± √ −12

2

Ответ: нет действительных корней.

Так как корней нет, значит, график функции не пересекает ось « Ox ».

Вспомогательные точки для: « x = −3 »; « x = −2 »; « x = 0 »; « x = 1 ». Подставим в исходную функцию « y = −3x 2 − 6x − 4 ».

• y(−3) = −3 · (−3) 2 − 6 · (−3) − 4 = −3 · 9 + 18 − 4 = −27 + 14 = −13
• y(−2) = −3 · (−2) 2 − 6 · (−2) − 4 = −3 · 4 + 12 − 4 = −12 + 12 − 4 = −4
• y(0) = −3 · 0 2 − 6 · 0 − 4 = −4
• y(1) = −3 · 1 2 − 6 · 1 − 4 = −3 −6 − 4 = −13

x	−3	−2	0	1
y	−13	−4	−4	−13

Отметим вспомогательные точки. Отмечаем на системе координат только те точки, которые не выходят за масштаб нашей системы координат, то есть точки « (−2; −4) » и « (0; −4) ». Построим и подпишем график функции.

Источник

График квадратичной функции (ЕГЭ 2022)

Чтобы понять то, что здесь будет написано, тебе нужно хорошо знать, что такое квадратичная функция.

Проверь себя, ответь на эти вопросы:

• Как выглядит квадратичная функция в общем виде (формула)?
• Как называется график квадратичной функции?
• Как влияет старший коэффициент на график квадратичной функции?

Если ты сходу смог ответить, продолжай читать.

Если хоть один вопрос вызвал затруднения, повтори тему «Квадратичная функция».

График квадратичной функции — коротко о главном

Определение

Квадратичная функция – функция вида \( y=a<^<2>>+bx+c\), где \( a\ne 0\), \( b\) и \( c\) ­– любые числа (коэффициенты), \( c\) – свободный член.

График квадратичной функции – парабола.

Если коэффициент \( \displaystyle a 0\) – ветви параболы направлены вверх.

Чем больше значение \( \displaystyle a\) (по модулю), тем у́же становится парабола (ветви становятся более крутыми). И наоборот, чем меньше \( \displaystyle a\), тем парабола шире.

Вершина параболы

\( \displaystyle <_<в>>=\frac<-b><2a>\), т.е. чем больше \( \displaystyle b\), тем левее смещается вершина параболы.

Подставляем \( \displaystyle <_<в>>\) в функцию \( y=a<^<2>>+bx+c\), и получаем:

\( \displaystyle <_<в>>=-\frac<<^<2>>-4ac><4a^2>\), т.е. чем \( \displaystyle b\) больше по модулю, тем выше будет вершина параболы

Свободный член \( \displaystyle c\) – это координата пересечения параболы с осью ординат.

Квадратичная функция и её коэффициенты

Итак, ты уже умеешь обращаться с квадратичной функцией, анализировать ее график и строить график по точкам.

Ну что же, вот она: \( y=a<^<2>>+bx+c\).

Давай вкратце вспомним, что делают коэффициенты.

• Старший коэффициент \( \displaystyle a\) отвечает за «крутизну» параболы, или, по-другому, за ее ширину: чем больше \( \displaystyle a\), тем парабола у́же (круче), а чем \( \displaystyle a\) меньше, тем парабола шире (более пологая).
• Свободный член \( \displaystyle c\) – это координата пересечения параболы с осью ординат.
• А коэффициент \( \displaystyle b\) каким-то образом отвечает за смещение параболы от центра координат. Вот об этом сейчас подробнее.

С чего мы всегда начинаем строить параболу? Какая у нее есть отличительная точка?

Это вершина. А как найти координаты вершины, помнишь?

Абсцисса ищется по такой формуле:

Вот так: чем больше \( \displaystyle b\), тем левее смещается вершина параболы.

Ординату вершины можно найти, подставив \( <_<в>>\) в функцию:

Подставь сам и посчитай. Что получилось?

Если сделать все правильно и максимально упростить полученное выражение, получится:

Получается, что чем \( \displaystyle b\) больше по модулю, тем выше будет вершина параболы.

Перейдем, наконец, к построению графика.
Самый простой способ – строить параболу, начиная с вершины.

Пример №1

Построить график функции \( y=\frac<1><2><^<2>>+2-1\).

Решение:

Для начала определим коэффициенты: \( a=\frac<1><2>;\text< >b=2;\text< >c=-1\).

Теперь вычислим координаты вершины:

А теперь вспоминаем: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом выглядят одинаково.

Значит, если мы построим параболу \( y=\frac<1><2><^<2>>\) и переместим ее вершиной в точку \( \left( -2;-3 \right)\), получится нужный нам график:

Остается только один вопрос. Как быстро рисовать параболу?

Как быстро рисовать график квадратичной функции — параболу?

Даже если мы рисуем параболу с вершиной в начале координат, все равно приходится строить ее по точкам, а это долго и неудобно. А ведь все параболы выглядят одинаково, может, есть способ ускорить их рисование?

Когда я учился в школе, учительница математики сказала всем вырезать из картона трафарет в форме параболы, чтобы быстро ее чертить. Но с трафаретом везде ходить не получится, да и на экзамен его взять не разрешат. Значит, не будем пользоваться посторонними предметами, а будем искать закономерность.

Рассмотрим простейшую параболу \( y=<^<2>>\). Построим ее по \( \displaystyle 7\) точкам:

Закономерность здесь такая.

Если из вершины сместиться вправо (вдоль оси \( \displaystyle Ox\)) на \( \displaystyle 1\), и вверх (вдоль оси \( \displaystyle Oy\)) на \( \displaystyle 1\), то попадем в точку параболы.

Дальше: если из этой точки сместиться вправо на \( \displaystyle 1\) и вверх на \( \displaystyle 3\), снова попадем в точку параболы.

Дальше: вправо на \( \displaystyle 1\) и вверх на \( \displaystyle 5\). Дальше что?

Вправо на \( \displaystyle 1\) и вверх на \( \displaystyle 7\).

И так далее: смещаемся на \( \displaystyle 1\) вправо, и на следующее нечетное число вверх.

То же самое потом проделываем с левой веткой (ведь парабола симметрична, то есть ее ветви выглядят одинаково):

Отлично, это поможет построить из вершины любую параболу со старшим коэффициентом, равным \( \displaystyle 1\).

Пример построения параболы быстрым способом

Например, нам стало известно, что вершина параболы находится в точке \( \displaystyle \left( 1;-2 \right)\). Построй (самостоятельно, на бумаге) эту параболу.

Должно получиться так:

Теперь соединяем полученные точки:

ОК, ну что же, теперь строить только параболы с \( \displaystyle a=1\)?

Конечно, нет. Сейчас разберемся, что с ними делать, если \( \displaystyle a\ne 1\).

Три типичных случая построения параболы

Cлучай 1. \( a=-1\).

То есть функция выглядит как \( y=-<^<2>>\). Ну что же здесь сложного? Просто переворачиваем параболу рогами вниз, и все. То есть, теперь будем двигаться так:

• \( 1\) вправо – \( 1\) вниз
• \( 1\) вправо – \( 3\) вниз
• \( 1\) вправо – \( 5\) вниз и т. д.

И то же самое, только влево.

Случай 2. \( a>1\).

Что делать, если, например, \( a=2\)?

Все просто: начинаем так же: \( 1\) вправо, но когда дело доходит до «вверх», любое число увеличиваем в \( 2\) раза:

• \( 1\) вправо – \( 2\) вверх
• \( 1\) вправо – \( 6\) вверх
• \( 1\) вправо – \( 10\) вверх и т. д.

Аналогично в случае \( a

Источник