Способ построения биссектрисы угла

Мы дали ответ на поставленный вопрос — как построить биссектрису данного угла.

Доказательство

Теперь, разобравшись, как построить биссектрису данного угла, стоит вспомнить еще одно определение биссектрисы, используя термин «геометрическое место точек». Биссектрисой называется геометрическое место точек, которые равноудалены от лучей, образующих угол.

Согласно выполненному построению в пунктах 4-6, точка, принадлежащая построенной биссектрисе, также принадлежит двум окружностям, равным по радиусу, центр которых располагается на лучах, образующих угол на одинаковом расстоянии от вершины угла (согласно пунктам 1-3 построения). Опустим перпендикуляр из отмеченной в пункте 6 точки на лучи, образующие угол. Докажем, что получившиеся прямоугольные треугольники равны, и выясним, что опущенные перпендикуляры также равны, как соответствующие элементы треугольников. Таким образом, их общая гипотенуза является биссектрисой угла по определению. Что и требовалось доказать.

Источник

Построение биссектрис в треугольнике их свойство. Построение биссектрисы угла. Полные уроки — Гипермаркет знаний

Умение разделить любой угол биссектрисой нужно не только для того, чтобы получить «пятерку» по математике. Эти знания очень пригодятся строителю, дизайнеру, землемеру и портнихе. В жизни многое надо уметь делить пополам.

Все в школе учили шуточное определение про крысу, которая бегает по углам и делит угол пополам. Звали этого шустрого и умного грызуна Биссектрисой. Не известно, каким образом крыса делила угол, а для начинающих математиков в школьном учебнике «Геометрия» могут быть предложены следующие способы.

На них влияет магнитное склонение, которое зависит от положения на Земле. Они определяются на земле компасом. Как мы только что видели, инструментами, которые мы используем для определения направлений, являются гониометр или конвейер для картографического направления и компас для магнитного направления. Следует отметить, что в проекции Гаусса-Крюгера картографическое направление приближается к азимуту в окрестности авто-линии. Азимут может быть рассчитан путем измерения компаса на земле или конвейера на графике, если мы сделаем правильную коррекцию путем склонения и магнитного отклонения.

С помощью транспортира

С помощью циркуля

С помощью линейки

Без инструментов

Развернутый угол

Углы в треугольнике

Биссектрисой угла называют луч, который начинается в вершине угла и делит его на две равные части. Т.е. чтобы провести биссектрису , нужно найти середину угла . Наиболее простой способ это сделать — при помощи циркуля. В этом случае вам не нужно проводить никаких вычислений, и результат не будет зависеть от того, является ли величина угла целым числом.

Одна из особенностей заключается в том, что это направление постоянно меняется, когда вы путешествуете по маршруту. До этого нам приходилось довольствоваться прохождением лаксодромических направлений, для которых используется компас, но дорога была не кратчайшей. Самолеты были вынуждены, пока не так давно, пересечь полигоналы, чтобы попытаться приблизиться к ортодромической или более короткой дороге.

Направления определяются по-разному, в основном двух типов: инструментальные и неинструментальные. Считается, что следующие инструменты. Магнитный: используя компас в земле, определяя магнитные направления. Позднее мы увидим обработку компаса. Геометрический: используя гониометр или конвейер на графике, определяя картографические направления.

Вам понадобится

Инструкция

Установите иглу циркуля в вершину угла . Ширина раствора циркуля должна быть тем больше, чем тупее угол, для которого вы проводите биссектрису .

Отложите циркулем на каждой стороне угла по отрезку одинаковой длины. Чтобы отложить равные отрезки, достаточно не смещать иглу и не менять раствора циркуля.

Другие: они избегают нашего интереса, как инерционные методы, используемые самолетами с использованием гироскопов или радиомаяков. Классический способ ориентироваться в инструментах на природе — объединить использование буквы и конвейера с компасом. Это дает возможность «перевести» то, что мы измерили в письме, местности и наоборот. В основном он состоит из следующего.

Нарисуйте прямую линию на графике, соединяя начальную точку с желаемым пунктом назначения. Конвейер размещается с центром над пересечением линии или ее продолжением и меридианом. Конвейер поворачивается, пока нуль не совпадает с северным направлением меридиана.

Оставив ширину раствора циркуля прежней, установите иглу в конце отрезка на одной из сторон и начертите часть окружности так, чтобы она располагалась внутри угла . То же самое сделайте и со второй стороны. У вас получится две части окружностей, которые будут пересекаться внутри угла — примерно посередине. Пересекаться части окружностей могут в одной или двух точках.

С луной существует быстрый и грубый метод, основанный на фазах. На самом деле это вариант использования солнца. Он широко известен как метод часов и очень распространен. Проблема в том, что не так широко распространена очень низкая точность, которую она может дать в некоторых случаях. Поэтому здесь мы ограничимся тем, что будем описывать это больше всего, чтобы советовать ему советовать. То, как мы описываем, — это книга, которую цитируют книги для южного полушария. Это также неточно: он работает только для субтропических регионов южного полушария, для южного тропического он работает с меньшей точностью и только между равноденствием с марта по сентябрь.

Он считывает угловое значение, которое обозначает линию, первоначально нарисованную на конвейере. Это направление корректируется путем добавления или вычитания локального магнитного склонения, таким образом, получения курса. Мы увидим эту операцию позже.

Он «записывает» это направление в конечности компаса, если он является моделью, которая позволяет оставить лимбоблокировку в позиции курса. Если это тарелка, ожидается, что баланс будет сбалансирован, а ценность подшипника на шкале будет запрошена с помощью системы прицеливания.

Для этих операций компас должен быть в идеальном балансе и горизонтали. Затем стрелка или ось направления компаса указывают в следующем порядке. Точка интереса на земле указана на компас. Эта операция зависит от типа компаса. В одной из игл мы должны сделать, чтобы совпасть до того, как проделать 0º с севера иглы. В одном из блюд достаточно прочитать курс, который обозначает индикатор.

От вершины угла через точку пересечения окружностей начертите луч. В случае, если у вас получилось две точки пересечения окружностей, он должен проходить через обе. Полученный луч и будет являться биссектрисой данного угла .

Для построения биссектрисы угла можно использовать транспортир, но этот способ требует большей точности. При этом, если величина угла не будет являться целым числом, вероятность погрешностей в построении биссектрисы возрастает.

Курс преобразуется в азимут путем локального склонения. Затем он поворачивается так, что направление 0º — 180º совпадает с меридианом или 90º — 270º с параллелью. Участок, обозначающий угловое значение, найденное на конвейерной шкале, обозначается точкой.

Наша цель теперь будет нарисованной линии в смысле объективного момента, если мы сосредоточимся на нашей позиции, или наоборот. Мы можем исследовать эту линию, сравнивая то, что мы видим под ней в письме, и то, что показывает нам рельеф. Это подробно видно на курсах.

Этот факт не заменяет классический инструмент ориентации, а дополняет его. Это позволяет отключить электронное устройство и сэкономить время и энергию. Кроме того, в случае отказа или сбоя питания электронного устройства компас всегда будет продолжать работать.

Углом называется геометрическая фигура, которая образована двумя лучами – сторонами угла, исходящими из одной точки – вершины угла. Обычно для построения плоского угла в планиметрии используется транспортир, с помощью которого можно легко отложить угол с заданной градусной мерой, но как быть, если под рукой этого инструмента нет?Для построения угла можно воспользоваться тригонометрическими функциями и построением прямоугол ьного треугол ьника.

Когда у нас нет конкретных инструментов, как описано выше, некоторые импровизации и наблюдения природы позволяют нам ориентироваться с некоторой независимостью. Существует два типа неинтерактивного метода. Рациональное: когда есть научная основа, которая гарантирует точность и точность мер. Обычно это астрономические методы. Звезды всегда были типичным методом ориентации и навигации и единственными доступными для позиции. Здесь мы увидим только самые полевые методы, очевидно, не попадая в использование звезд, где требуются специальные инструменты, как в случае с навигацией, использующей секстанты, астролябии и другие материалы.

• Полная таблица тангенсов, линейка

Пусть стоит задача построить угол некоторой размерности?.
Построим отрезок AB произвольной длины. Использую соотношение катетов в прямоугол ьном треугол ьнике можно получить сторону BC этого треугол ьника по формуле BC = AB tg?, значение тангенса угла? можно узнать по таблице тангенсов .
Далее от точки A необходимо отложить отрезок длины BC перпендикулярно отрезку AB.

Эмпирический: когда научное пропитание слабее или замаскировано многими переменными. Таков случай направлений роста растений, доминирующих ветров, орографии и т.д. Самый быстрый и простой способ заключается в следующем. Палка, палочка, карандаш или любой другой заостренный элемент размещаются на определенной высоте на земле. Он не должен быть вертикальным: его можно разместить горизонтально на скале, например. Это также может быть остроконечная скала. Условием является то, что он проецирует свою тень на гладкую поверхность, плоскую и горизонтальную.

Соединив точки A и C, получим угол заданной величины?, с вершиной в точке A.

Обратите внимание, что должны выполняться три условия: гладкий — это не то же самое, что и плоскость, а плоскость не совпадает с горизонтальной. Эту поверхность можно получить, поместив лист бумаги, блюдо или камень на место или сгладьте землю рукой. Он не требует гораздо большего размера, чем ладонь. Другое условие заключается в том, что тень резкого конца объекта острая. Это достигается путем размещения элемента на не слишком большом расстоянии от плоскости. Не слишком близко, потому что, как мы увидим, требуется, чтобы тень «двигалась» на определенное расстояние, когда солнце или луна пробегали от влияния вращения Земли.

Для построения углов ∠α ≥ 90º, необходимо построить угол ∠β

Биссектрисой угла называют луч, который начинается в вершине угла и делит его на две равные части. Т.е. чтобы провести биссектрису , нужно найти середину угла . Наиболее простой способ это сделать — при помощи циркуля. В этом случае вам не нужно проводить никаких вычислений, и результат не будет зависеть от того, является ли величина угла целым числом.

Хорошее расстояние — от 1 до 1, 5 метров. Знак делается в точке, где падает тень остроконечного конца объекта. Это можно сделать карандашом или просто прибивать зубочисткой или класть камешек. Ожидается, что тень будет двигаться из-за вращения Земли. Всего несколько сантиметров.

Точка тени снова обозначается на плоскости. Между двумя метками рисуется линия. Конец линии, которая находится в первом знаке, — Запад. Это так в любом полушарии, в любое время суток и в любое время года, хотя оно более чувствительно в низких широтах, около полудня и летом. Эти чувствительности очень скомпенсированы, если мы будем осторожны, чтобы быть ближе к полудню, то есть, если мы находимся в высоких широтах, более важно делать измерения в течение дня, избегая раннего утра или сумерек.

Установите иглу циркуля в вершину угла . Ширина раствора циркуля должна быть тем больше, чем тупее угол, для которого вы проводите биссектрису .

Отложите циркулем на каждой стороне угла по отрезку одинаковой длины. Чтобы отложить равные отрезки, достаточно не смещать иглу и не менять раствора циркуля.

Этот метод хорошо работает с луной и вряд ли чувствителен к широте или времени года, но лучше всего делать это с высокой луной над горизонтом. Другой метод намного точнее. Настолько, что это позволяет нам рассчитать магнитное склонение места, и если мы применим его с солнцем, мы получим очень полезную информацию для вычисления широты и длины с очень простыми формулировками с использованием двух таблиц, которые мы можем сделать фотокопированными в кошельке. Как длинный метод, так и эти дополнительные методы не будут разработаны в этом резюме.

Оставив ширину раствора циркуля прежней, установите иглу в конце отрезка на одной из сторон и начертите часть окружности так, чтобы она располагалась внутри угла . То же самое сделайте и со второй стороны. У вас получится две части окружностей, которые будут пересекаться внутри угла — примерно посередине. Пересекаться части окружностей могут в одной или двух точках.

С луной существует быстрый и грубый метод, основанный на фазах. На самом деле это вариант использования солнца. Он широко известен как метод часов и очень распространен. Проблема в том, что не так широко распространена очень низкая точность, которую она может дать в некоторых случаях. Поэтому здесь мы ограничимся тем, что будем описывать это больше всего, чтобы советовать ему советовать. То, как мы описываем, — это книга, которую цитируют книги для южного полушария. Это также неточно: он работает только для субтропических регионов южного полушария, для южного тропического он работает с меньшей точностью и только между равноденствием с марта по сентябрь.

Он считывает угловое значение, которое обозначает линию, первоначально нарисованную на конвейере. Это направление корректируется путем добавления или вычитания локального магнитного склонения, таким образом, получения курса. Мы увидим эту операцию позже.

Он «записывает» это направление в конечности компаса, если он является моделью, которая позволяет оставить лимбоблокировку в позиции курса. Если это тарелка, ожидается, что баланс будет сбалансирован, а ценность подшипника на шкале будет запрошена с помощью системы прицеливания.

Для этих операций компас должен быть в идеальном балансе и горизонтали. Затем стрелка или ось направления компаса указывают в следующем порядке. Точка интереса на земле указана на компас. Эта операция зависит от типа компаса. В одной из игл мы должны сделать, чтобы совпасть до того, как проделать 0º с севера иглы. В одном из блюд достаточно прочитать курс, который обозначает индикатор.

От вершины угла через точку пересечения окружностей начертите луч. В случае, если у вас получилось две точки пересечения окружностей, он должен проходить через обе. Полученный луч и будет являться биссектрисой данного угла .

Мы назвали его методом солнечного времени, а не часами, потому что это можно сделать без часов. Достаточно нарисовать часы и руки на земле или на бумаге. Некоторые неумные источники заявляют, что это можно сделать только с аналоговыми часами, а не с цифровыми часами, когда на самом деле очень легко нарисовать часы, если время известно. Другая причина ставить солнечное время, а не просто время, заключается в том, что метод строго работает с солнечным временем, а не с гражданским временем.

Часы установлены с горизонтальной сферой, а 12 — на солнце. Это достигается путем установки вертикальной палочки на 12 и поворота набора до тех пор, пока тень не упадет на. Биссектриса между 12 и маленькой рукой указывает на Север. В той степени, в которой в стране солнечный полдень не достигнут 12, этот метод даст нам ошибку приблизительно 7º за каждый час разницы. Это было особенно заметно во времена, когда Аргентина использовала другое время летом. В этом случае в горной части Мендоцина солнечный полдень был выпущен почти в 3 часа ночи!

Для построения биссектрисы угла можно использовать транспортир, но этот способ требует большей точности. При этом, если величина угла не будет являться целым числом, вероятность погрешностей в построении биссектрисы возрастает.

При строительстве или разработке домашних дизайн-проектов часто требуется построить угол , равный уже имеющемуся. На помощь приходят шаблоны и школьные знания геометрии.

Короче: мы должны взять компас или ориентироваться с тенью и солнцем. В северном полушарии есть звезда, полярная звезда, которая почти точно находится на северном небесном полюсе, хотя она очень мало яркая. Небесные полюса — это точки неба, где проецируется ось земного вращения. В вертикали, перпендикулярной к горизонту, от небесного полюса есть кардинальная точка, северная или южная.

В Южном полушарии у нас нет звезд на полюсе Южного Севера, поэтому мы должны сделать геометрическую конструкцию с созвездиями. Для этого мы используем созвездие Крукс, представляющее собой созвездие 5 звезд, видимых в южном полушарии, следующим образом.

Угол образуют две прямые, исходящие из одной точки. Эта точка будет называться вершиной угла, а линии будут являться сторонами угла.

Для обозначения углов используйте три буквы: одна у вершины, две у сторон. Называют угол , начиная с той буквы, которая стоит у одной стороны, далее называют букву, стоящую у вершины, и затем букву у другой стороны. Используйте и другие способы для обозначения углов, если вам удобнее иначе. Иногда называют только одну букву, которая стоит у вершины. А можно обозначать углы греческими буквами, например, α, β, γ.

Представьте себе крест, начертанный четырьмя яркими звездами Крукса. Увеличьте большую длину креста в направлении основного плеча 5 раз, а результирующая точка 1 больше перпендикулярно правую. Важно, чтобы последние были хорошо поняты: перпендикулярно переднему и правому направлениям переднего направления. Этот второй более короткий сегмент, в зависимости от положения креста, может падать вправо или влево, вверх или вниз.

Полученная таким образом конечная точка является небесным южным полюсом. Спустившись по перпендикуляру к горизонту с небесного южного полюса, получим направление Юг. Другой способ найти небесный Южный полюс — это точка, которая находится на полпути между звездой Ачернар и Бета Центаури. Другой известный метод, который является кинжалом Ориона, не очень точен в Южном полушарии.

Встречаются ситуации, когда необходимо начертить угол , чтобы он был равен уже данному углу. Если при построении чертежа использовать транспортир возможности нет, можно обойтись только линейкой и циркулем. Допустим, на прямой, обозначенной на чертеже буквами MN, нужно построить угол у точки К, так, чтобы он был равен углу В. То есть из точки K необходимо провести прямую, образующую с линией MN угол , который будет равен углу В.

Для начинающих математиков в школьном учебнике «Геометрия» могут быть предложены следующие способы.

С помощью транспортира

С помощью циркуля

С помощью линейки

Без инструментов

Развернутый угол

Угол больше 180 градусов можно разделить биссектрисой такими же способами. Только делить надо будет не его, а прилежащий к нему острый угол, оставшийся от окружности. Продолжение найденной биссектрисы и станет искомой прямой, делящей развернутый угол пополам.

Источник