Уравнивание превышений нивелирной сети способом последовательных приближений
5.5 Уравнивание превышений нивелирной сети способом последовательных приближений
Этот способ уравнивания разработан профессором В. В. Поповым и назван им способом узлов. Решение нормальных уравнений при уравнивании производится способом последовательных приближений, в связи с чем и сам способ получил соответствующее название. Принят параметрический (посредственный) способ уравнивания, при котором поправки к непосредственно измеренным величинам находятся через поправки к приближенным значениям определяемых величин. Поскольку параметрический способ уравнивания будет рассматриваться позже (в курсе «Теория математической обработки геодезических измерений»), то здесь не будем рассматривать составление нормальных уравнений, а рассмотрим лишь порядок вычисления неизвестных величин способом последовательных приближений.
Ход уравнительных вычислений проследим на примере уравнивания сети нивелирования с двумя узловыми точками способом эквивалентной замены (рис. 5.3).
Обозначим уравненные отметки узловых реперов:
, 
(5.45)
Если бы отметка узлового репера F равная « y » была известна, то « x « можно было бы вычислить по формуле среднего арифметического по весам
согласно формулам (5.33) и (5.37)
, (5.46)
а полагая известной отметку репера Е , равную x , можно вычислить отметку репера F
(5.47)
По этим формулам непосредственно вычислить неизвестные x и y (отметки узловых реперов) нельзя, т.к. неизвестные x и y входят в левую и правую части формул. Однако неизвестные x и y можно вычислить по приведенным выше формулам методом последовательных приближений. Для этого по формуле (5.46) вычисляем x , пользуясь только двумя ходами 1 и 2
(5.48)
Это будет приближенное значение отметки репера Е . Подставляя его в формулу (5.47) получим приближенное значение отметки репера F
(5.49)
Полученные значения x ‘ и y ‘ являются отметками реперов Е и F в первом приближении.
Для получения отметок реперов Е и F во втором приближении, в формулы (5.46) и (5.47) подставляются полученные значения x ‘ и y ‘ из первого приближения (5.48) и (5.49)
Абсолютные отметки узловых реперов из второго приближения ( x» и y» ) используются для получения отметок в третьем приближении, подставляя их в формулы (5.46) и (5.47). Такие вычисления отметок узловых реперов производят до тех пор пока последнее приближение даст значение отметок не отличающееся от предыдущего (в пределах точности вычислений), т.е.
мм;
мм.
Количество приближений зависит от сложности сети и количества исходных пунктов (обычно ограничиваются 3 — 4 приближениями).
Для оценки качества измерений необходимо вычислить поправки в превышения отдельных ходов нивелирной сети, через уравненные значения отметок
Правильность вычислений проверяют по выражению 
. По полученным величинам v вычисляется согласно формуле (5.40) средняя квадратическая ошибка единицы веса , которая будет иметь вид
и в соответствии с (5.41) ошибка самой ошибки
При этом необходимо иметь ввиду, невязки f (5.40) и поправки v одинаковы по абсолютной величине , но противоположны по знаку.
Ошибка уравненных значений отметок узловых реперов вычисляются согласно формуле (5.43), которую можно записать так:
; 
Вычисление весов абсолютных отметок узловых реперов несколько усложняется. Однако при необходимости веса можно вычислить так как и в способе эквивалентной замены, т.е.
; 
К достоинствам этого способа уравнивания относится простота и однообразность вычислений, а к недостаткам — трудность производства оценки точности уравненных отметок пунктов.
Как и раньше уравнивание превышений в секциях ходов производится как в одиночном ходе.
Источник
Способ последовательных приближений
Для иллюстрации способа последовательных приближений рассмотрим схему нивелирных ходов примера § 141 (способ эквивалентной замены).
1. В ведомость уравнивания (табл. 14.33, столбцы 1-6) выписать исходные данные со схемы нивелирной сети (рис. 14.13) для каждой узловой точки (А, В, С), а также из табл. 14.31 – значения весов превышений.
2. 1-е приближение. Точка А.
Вычислить высоту узловой точки В по результатам измерений.
Получить арифметическую середину высоты точки А по ходам (1) и (5): НА(1) = 80,5054 м.
| Ход | Точки | Исх. высота, м | Превы-шение, м | Длина хода, км | Вес | Значения высот в приближениях, м | ||||
| 1-е | 2-е | 3-е | 4-е | 5-е | 6-е | |||||
| Точка | А | |||||||||
| Р1 | 76,248 | +4264 | 2,75 | 0,727 | 80,5120 | 80,5120 | 80,5120 | 80,5120 | 80,5120 | 80,5120 |
| В | -1205 | 1,76 | 1,136 | 80,5061 | 80,5046 | 80,5042 | 80,5041 | 80,5040 | ||
| Р2 | 83,786 | -3287 | 2,64 | 0,758 | 80,4990 | 80,4990 | 80,4990 | 80,4990 | 80,4990 | 80,4990 |
| 2,6212 | 80,5054 | 80,5057 | 80,5050 | 80,5049 | 80,5048 | 80,5048 | ||||
| Точка | В | |||||||||
| С | +1652 | 1,81 | 1,105 | 81,7066 | 81,7060 | 81,7059 | 81,7058 | 81,7058 | ||
| А | +1205 | 1,76 | 1,136 | 81,7104 | 81,7107 | 81,7100 | 81,7099 | 81,7098 | 81,7098 | |
| Р2 | 83,786 | -2074 | 2,21 | 0,905 | 81,7120 | 81,7120 | 81,7120 | 81,7120 | 81,7120 | 81,7120 |
| 3,146 | 81,7111 | 81,7096 | 81,7092 | 81,7091 | 81,7090 | 81,7090 | ||||
| Точка | С | |||||||||
| Р1 | 76,248 | +3802 | 2,03 | 0,985 | 80,0500 | 80,0500 | 80,0500 | 80,0500 | 80,0500 | 80,0500 |
| В | -1652 | 1,81 | 1,105 | 80,0591 | 80,0576 | 80,0572 | 80,0571 | 80,0570 | 80,0570 | |
| Р2 | 83,786 | -3732 | 3,26 | 0,614 | 80,0540 | 80,0540 | 80,0540 | 80,0540 | 80,0540 | 80,0540 |
| 2,704 | 80,0546 | 80,0540 | 80,0539 | 80,0538 | 80,0538 | 80,0538 |
1-е приближение. Точка В.
Вычислить арифметическую середину высоты точки В по ходам (6) и (3), используя в данном ходе (3) арифметическую середину высоты точки А: НВ(1) = 81,7111 м.
1-е приближение. Точка С.
Вычислить арифметическую середину высоты точки С по ходам (2) и (7), а также по ходу (4), используя арифметическую середину высоты точки В: НС(1) = 80,0546 м.
3. Во втором приближении используются арифметические середины высот точек А, В и С, полученные в 1-м приближении. В третьем приближении – арифметические середины высот, полученные во втором приближении и т.д. Высоты исходных реперов остаются одинаковыми во всех приближениях.
Второе, третье и последующие приближения выполняются по схеме, приведенной в п.2. Вычисления (приближения) прекращаются до повторения высот точек в двух соседних шагах, т.е. при первом повторении результатов арифметических середин высот узловых точек.
4. Вычислить поправки в измеренные превышения по формуле
, (14.171 )
где H 0 – уравненное значение высоты узловой точки; Hi – значение высоты узловой точки по i-му ходу.
Получим значения поправок в превышения по последнему приближению:
;
;
;
(знак зависит от направления движения);
;
(знак зависит от направления движения);
;
;
.
Как видим, полученные значения поправок совпадают с поправками, полученными в способе эквивалентной замены, и совпадают в пределах округлений с поправками, полученными в способе полигонов В.В.Попова.
Послесловие автора
Специалист подобен флюсу:
полнота его односторонняя.
Козьма Прутков
(Справедливое замечание Балбеса
из «Кавказской пленницы»)
Теперь уж и поздно говорить: короче! Дело сделано. Да, впрочем, и не к Вам это относится. К Вам никак не подходит имя этого героя. Я надеюсь, что это послесловие будет последним из прочитанного и изученного Вами. А это значит, что я полагаю услышать от Вас и другую, обратную просьбу. И всё потому, что узнали Вы только намёки на то, как и чем измерить глубину Восточного океана. А дальше – самим придётся искать других Склифосовских, потому что Вам же и придется решать задачи об измерении этих глубин. Вот и будете справляться то у одного, то у другого, потому что у каждого о всех важных вопросах написано, по просьбе того же героя из «Пленницы», слишком, оказывается коротко, поскольку «нельзя объять необъятного». Не только читающему и изучающему, но и излагающему книги примерно такого же содержания. Где, например, у кого, в какой инструкции найдёте Вы советы. О том, например, как выполнить съёмку пещер с их, порой, узкими проходами, в которые и пролезет разве что только сам прибор с его геодезическими способностями. А такие задачи приходится решать. В этой книге Вы не найдете, как построить рельеф морского дна в шельфовой зоне, но, если поискать, то сможете найти интересующий Вас вопрос в другой специальной литературе. Узнаете из неё, что такие работы выполняют, и выполняют их как геодезисты, так и маркшейдеры. Узнаете, что для этих целей используют морской теодолит, а геодезист (маркшейдер) осваивает ещё и профессию водолаза. Узнаете, что для решения той же задачи используют и другие методы, не такие опасные и сложные для человека. А в каких-то случаях и не удастся найти соответствующую литературу. Тогда придется воспользоваться Вашими знаниями, Вашим опытом, частичку которых, я надеюсь, Вы получили из строк этой книги.
Можно спорить о том, какая профессия появилась раньше, портной с костяной иглой или художник, изображающий места своего обитания. Но не надо спорить, всё это появляется в силу необходимоти. Просто Вы, избрав эти специальности, геодезию и маркшейдерское дело, должны помнить, что профессии эти – одни из древнейших, а значит – необходимых человеку в течение всего времени существования человечества.
Пусть Вы узнали всего лишь начала этой замечательной деятельности, красивой по форме и содержанию. Но я уже могу обратиться к Вам, как коллега к коллеге, говорить с Вами на понятном обоим нам языке, а в будущем и спросить у Вас совета по тому или иному вопросу, потому что и я, как и любой другой человек, не могу объять и знать всех необъятных проблем и, тем более, их решений. Потому и обращусь, что, несомненно, Вы будете впереди, Вы больше будете знать и уметь. Обязаны!
Источник
