Способ пересечения прямой линии с плоскостью

Содержание

Пересечение прямой с плоскостью
61. Пересечение прямой с плоскостью
Пересечение прямой с плоскостью в начертательной геометрии с примерами
Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения
Пересечение прямой общего положения с проецирующей плоскостью
Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

Пересечение прямой с плоскостью

Задача на пересечение прямой с плоскостью — это одна из основных задач, с ее применением сталкиваются при рассмотрении сечения тел плоскостями и пересечения поверхностей.

Нахождение точки встречи прямой с плоскостью, заданной пересекающимися прямыми

Плоскость и пересекающая ее прямая занимают общее положение.

(γ ∩ α) = l — прямая, пересекающаяся с прямой b.

На пересечение прямой с плоскостью составляем алгоритм нахождения их точки встречи :

1) проводим через b` горизонтальный след γ_H — горизонтально-проецирующей плоскости γ;

2) определяем фронтальную проекцию линии пересечения l, вспомогательной секущей плоскости γ с данной плоскостью α, используя для этого точки 1` и 2` (принадлежащие данной прямой), в которых горизонтальный след γ_H пересекает прямые c` и d`;

3) определяем точку K»=l»∩b». Зная K», находим K` на пересечении b` с линией проекционной связи.

Нахождение точки встречи прямой с плоскостью, заданной параллельными прямыми

Задача по нахождению точки встречи прямой с плоскостью заданной следами.

Алгоритм решения не меняется, если плоскость будет задана параллельными прямыми или прямыми, по которым она пересекает плоскости проекций (следы плоскости).

При решении задач на пересечение прямой с плоскостью в качестве вспомогательных плоскостей применяют проецирующие плоскости. Но в случае, например, профильной прямой они бесполезны и тогда надо применить плоскость общего положения.

Найти точку встречи профильной прямой AB с плоскостью α заданной следами

Алгоритм выполнения геометрических построений: 1) Заключаем отрезок AB во вспомогательную секущую плоскость общего положения β; 2) Определяем проекции линии пересечения 1-2, вспомогательной секущей плоскости β с данной плоскостью α; 3) Определяем проекцию K» точки K на пересечении 1″-2″ с прямой A»B». Проекция K` точки K может быть найдена: — на пересечении A`B` с 1`-2`; — или как принадлежащая плоскостям α и β.

Найти точку встречи прямой d с плоскостью α(b, c), определить видимость

Алгоритм выполнения геометрических построений: 1) Заключаем прямую d во вспомогательную секущую фронтально проецирующую плоскость δ; 2) Определяем проекции линии пересечения 1-2, вспомогательной секущей плоскости δ с данной плоскостью α; 3) Определяем проекцию K` точки K на пересечении 1`-2` с прямой d`. Проекцию K» точки K находим в пересечении d» с линией проекционной связи.

Данный способ решения задачи — найти точку встречи профильной прямой с плоскостью заданной следами применен в статье: Сечение пирамиды плоскостью

Определение видимости пересечения прямой с плоскостью на плоскостях проекций выполняем, используя Конкурирующие точки 2, 3 и 4, 5.

Источник

61. Пересечение прямой с плоскостью

§ 61. Пересечение прямой с плоскостью

Прямая пересекает плоскость в одной точке. Точку пересечения прямой с плоскостью определяют путем построения вспомогательной прямой линии, лежащей в одной проецирующей плоскости с заданной прямой. На рис. 119, а приведен комплексный чертеж прямой l и плоскости 9 (ABC), причем т

Q (ABC). Через горизонтальную проекцию прямой l₁ проводим проекцию вспомогательной горизонтально проецирующей плоскости Sum₁. В пересечении плоскостей Q и Sum получаем линию т, то есть т =Sum ^ Q. Горизонтальная проекция прямой т определяется горизонтальными проекциями точек 1 и 2 пересечения линий ЕС и АС со вспомогательной плоскостью Sum , то есть В₁С₁ ^ Sum = l₁; А₁С₁ ^ Sum₁=2₁; т₁ = l₁^2₁.

Для получения фронтальной проекции линии l построим фронтальные проекции точек 1 и 2, соединив которые, получим фронтальную проекцию m₂. В пересечении фронтальных проекций прямых т и l получим фронтальную проекцию точки К, принадлежащей и прямой l, и прямой т, лежащей в плоскости Sum. Значит, точка К и принадлежит плоскости Sum, и является точкой пересечения прямой l с плоскорью Sum.

Видимость прямой и плоскости относительно горизонтальной плоскости проекций определяется с помощью горизонтально конкурирующих точек 2 и 3, а видимость относительно фронтальной плоскости проекции — с помощью фронтально конкурирующих точек 3 и 4.

Если плоскость занимает частное положение, то одна проекция точки пересечения прямой с плоскостью определяется сразу в пересечении вырожденной проекции плоскости с соответствующей проекцией прямой (рис. 119, б).

Если прямая пересекает плоскость под прямым углом, то на комплексном чертеже проекции этой прямой располагаются перпендикулярно проекциям соответствующих линий уровня плоскости на основании теоремы о проецировании прямого угла (см. § 29).

На рис. 120 построены проекции основания М перпендикуляра п, проведенного к плоскости 9 (ABC) из точки К пространства. В AВС имеем: АВ — горизонталь (A₂B₂ _|_ A₂A₁), AC — фронталь (А₁С₁ _|_A₁A₂). Поэтому проекции перпендикуляра n э К располагаются: п₁ _|_A₁B₁и n₂ _|_ А₂С₂. Основание перпендикуляра на плоскости построено с помощью вспомогательной линии а плоскости, лежащей в одной с перпендикуляром п горизонтально проецирующей плоскости (а ^ п = М).

Если прямая пересекает плоскость в бесконечности, то имеет место параллельность прямой с плоскостью. На рис. 121 построена прямая т, проходящая через точку N u параллельная плоскости треугольника KLM. На комплексном чертеже параллельность прямой и плоскости доказывается тем, что m₁ || а₁и m₂|| а₂; a

Источник

Пересечение прямой с плоскостью в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Пересечение прямой с плоскостью:

Рассмотрим три варианта, а соответственно и три алгоритма решения задачи по определению точки пересечения прямой с плоскостью:

прямая — проецирующая, плоскость — общего положения;

прямая — общего положения, плоскость — проецирующая;

прямая и плоскость — общего положения.

Читайте также: Назовите способы приобретения гражданства тест
Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения

При решении задач на определение точки пересечения проецирую- щей прямой с плоскостью общего положения используется собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей прямой. Вырожденная проекция прямой совпадает с одноименной проекцией искомой точки. Другая проекция точки пересечения прямой с плоскостью определяется по принадлежности точки заданной плоскости.

Задача:

На эпюре Монжа построить проекции точки пересечения проецирующей прямой

Алгоритм решения

Так как прямая — горизонтально- проецирующая, то вторая проекция точки пересечения заданной прямой с плоскостью совпадает с вы- рожденной проекцией прямой Отметим горизонтальную проекцию

Фронтальную проекцию определим по принадлежности точки K плоскости (задача 3).

Видимость прямой относительно плоскости при проецировании на фронтальную плоскость проекций определим с помощью конкурирующих точек 3 и 4.

Пересечение прямой общего положения с проецирующей плоскостью

При решении задач на определение точки пересечения проецирующей плоскости с прямой общего положения используется собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей плоскости. Одна из проекций искомой точки определяется на пересечении вырожденной проекции плоскости с одноименной проекцией заданной прямой. Другая проекция точки пересечения прямой с плоскостью определяется по принадлежности точки заданной прямой.

Задача:

На эпюре Монжа построить проекции точки пересечения прямой общего положения с проецирующей плоскостью (рис. 51).

Алгоритм решения

Так как точка K — общий элемент прямой и плоскости, а плоскость — фронтально- проецирующая, следовательно, проекция определится на пересечении фронтальных проекций прямой и плоскости

Горизонтальную проекцию определим по принадлежности точки K прямой (задача 1).

Видимость прямой относительно плоскости при проецировании на горизонтальную плоскость проекций определим с помощью конкурирующих точек 1 и 2.

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

Для построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения выполним следующие операции:

1. Заключим прямую во вспомогательную плоскость (рис. 52). Как правило, плоскость — проецирующая плоскость.

2. Строим линию пересечения заданной плоскости и вспомогательной плоскости — прямую m. 3. Определим точку пересечения K прямой линии с построенной линией m.

Так как линия m принадлежит заданной плоскости следовательно, точка K будет искомой точкой пересечения прямой с плоскостью

Перед решением задачи по определению точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения рассмотрим отдельно реализацию на эпюре Монжа п. 2 — построение линии пересечения проецирующей плоскости с плоскостью общего положения рис. 53, а.

Задача:

На эпюре Монжа построить проекции линии пересечения плоскости общего положения (ABC) с проецирующей плоскостью

При решении этой задачи используем собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей плоскости.

Алгоритм решения

Определим фронтальную проекцию линии m. Так как плоскость — фронтально-проецирующая, то первая проекция линии m совпадает с вырожденной (фронтальной) проекцией плоскости (рис. 53, б).

Горизонтальную проекцию линии m построим, учитывая ее принадлежность плоскости (задача 2).

Заказать чертежи

Читайте также: Способы переработки природного газа таблица
Задача:

На эпюре Монжа построить проекции точки пересечения прямой общего положения l с плоскостью общего положения  (ABC) (рис. 54, а).

Алгоритм решения

1. Заключим прямую линию l во вспомогательную проецирующую плоскость Так как плоскость — фронтально-проецирующая, то первая проекция линии совпадет с вырожденной проекцией плоскости (рис. 54, б).

2. Построим проекции линии пересечения m заданной плоскости и вспомогательной плоскости в соответствии с алгоритмом решения задачи 6 (см. рис. 53).

3. Определим проекции точки пересечения K прямой линии с построенной линией m (рис. 55, а) следующим образом:

отметим проекцию

на пересечении и линии проекционной связи отметим проекцию (рис. 55, б).

4. Определим видимость прямой относительно плоскости

Точка K делит прямую на две части — видимую и невидимую (плоскость считаем бесконечной и непрозрачной). Невидимая часть прямой может находиться за плоскостью при проецировании на и под плоскостью при проецировании на (рис. 56, а). Невидимая часть прямой отмечается на эпюре Монжа штриховой линией.

Определим видимость прямой при проецировании на плоскость по конкурирующим точкам 1 и 3 (рис. 56, б). По расположению горизонтальных проекций можно сделать вывод, что точка 3, принадлежащая — видимая (ближе к центру проецирования), следовательно, часть прямой, содержащая точку 3, тоже видимая. На плоскости проекций эту часть прямой отметим основной линией, а другую часть прямой (за точкой пересечения K) — штриховой линией.

Видимость прямой при проецировании на плоскость определим по конкурирующим точкам 4 и 5. По расположению фронтальных проекций можно сделать вывод, что точка 4, принадлежащая — видимая, следовательно, часть прямой, содержащая точку 4, тоже видимая. На плоскости проекций этот участок прямой отметим основной линией.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Инженерная графика

Начертательная геометрия

Компас

Автокад

Черчение

Проекционное черчение

Аксонометрическое черчение

Строительное черчение

Техническое черчение

Геометрическое черчение

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Пересечение прямой с поверхностью

Пересечение поверхностей

Способы преобразования чертежа

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость

Отображение пространственных объектов на плоскость

Моделирование линии на эпюре Монжа

Моделирование плоскости на эпюре Монжа

Моделирование поверхностей на эпюре Монжа

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник