Способ перемены плоскостей проекций начертательная геометрия

Способы преобразования проекций с примерами и образцами выполнения

Содержание:

На чертежах некоторые элементы изображают­ся в искаженном виде. В некоторых случаях тре­буется определить действительную величину этих элементов, например, при выполнении чертежей разверток поверхностей геометрических тел.

Изучая прямоугольное проецирование отрезков прямых или плоских кривых линий, а также фи­гур (треугольника, круга и др.) на три плоскости V, Н и W,можно отметить, что действительные размеры и вилы этих линий и фигур получаются на той плоскости проекций, параллельно которой расположены эти линии и фигуры (рис. 117). Например, отрезок прямой АВ, параллельный плоскости V (отрезок фронтали), проецируется в действительную длину на плоскость V или, иначе, длина фронтальной проекции а’Ь’ отрезка фрон­тами равна действительной длине этого отрезка.

Если плоскость фигуры, например, треугольни­ка АВС, параллельна фронтальной плоскости проекций, то фронтальная проекция а’Ь’с’ явля­ется его действительной величиной.

В техническом черчении иногда приходится по данным прямоугольным проекциям (комплексному чертежу) детали определять действительную величину какого-либо элемента этой детали, рас­положенного в плоскости общего положения. Для этого применяются особые способы построения, цель которых получить новую проекцию элемента детали, представляющую собой его действитель­ную величину.

Такими способами являются: способ вращения, способ совмещения (частный случай предыдущего способа) и способ перемены плоскостей проекций.

Способ вращения

Способ вращения заключается в том. что задан­ные точка, линия или плоская фигура вращаются вокруг оси, перпендикулярной к одной из плос­костей проекций, до требуемого положения отно­сительно какой-либо плоскости проекций. Если вращается фигура или тело, то каждая их точка будет перемещаться по окружности.

Рассмотрим вращение простейшего геометри­ческого элемента — точки А (рис. 118, а). Пусть ось вращения MN будет перпендикулярна плос­кости Н. При вращении вокруг оси MN точка А перемешается по окружности, лежащей в плоскос­ти, перпендикулярной оси вращения. Точка пере­сечения этой плоскости с осью называется центром вращения.

Так как окружность, по которой движется точ­ка А, расположена в плоскости, параллельной плоскости Н, то горизонтальная проекция этой окружности является ее действительным видом, а фронтальная проекция — отрезком прямой, парал­лельной оси х. Длина этого отрезка равна диамет­ру окружности, лежащей в плоскости вращения.

Таким образом, при вращении точки А вокруг оси, перпендикулярной какой-либо плоскости проекций, проекция точки на эту плоскость пере­мещается по окружности, а вторая проекция — по прямой, параллельной оси проекций.

Повернем данную точку А вокруг оси MN, перпендикулярной плоскости Н, на заданный угол α. Для этого на комплексном чертеже необходимо выполнить следующие построения (рис. 118, б).

Фронтальную проекцию оси вращения — точку т’ п’ — соединяют прямей линией с фронтальной проекцией а’ точки А и получают отрезок т’ а’, равный действительной величине (длине) радиуса окружности вращения. Этим радиусом из центра т‘ описывают дугу окружности вращения (рис. 118, б). На плоскости V строят угол α, одна из сторон которого является радиусом вращения а’т’. На пересечении дуги окружности вращения с другой стороной угла α получаем точку а’₁ — новую фронтальную проекцию точки А. Новую горизонтальную проекцию точки А находят, проводя вертикальную линию связи из точки а’₁, до пересечения с прямой, проведенной из точки а параллельно оси х.

Вращение отрезка прямой вокруг оси, перпен­дикулярной плоскости проекций, можно рассмат­ривать как вращение двух точек этого отрезка.

Построения на комплексном чертеже упро­щаются, если ось вращения провести через ка­кую-либо конечную точку вращаемого отрезка прямой. В этом случае достаточно повернуть толь­ко одну точку отрезка, так как другая точка, расположенная на оси вращения, остается непод­вижной.

Пусть требуется определить способом вращения действительную длину отрезка АВ прямой общего положения (рис. 119. а).

Через конец отрезка А (рис. 119. б) проводят ось вращения МА перпендикулярно плоскости Н. Относительно этой оси вращается второй конец отрезка — точка В. Чтобы получить на комплек­сном чертеже действительною длину отрезка, надо повернуть его так. чтобы он был параллелен плоскости V.

После вращения горизонтальная проекция от­резка должна быть параллельна оси х, поэтому на этой плоскости проекций и начинается построе­ние. Из точки а радиусом ab описывают дугу ок­ружности до пересечения с прямой, проведенной из точки а параллельно оси х (рис. 119, б). Точка пересечения Ь₁ — новая горизонтальная проекция точки В. Фронтальную проекцию b‘₁ точки В находят, проводя вертикальную линию связи из точки Ь₁, до пересечения с прямой, проведенной из точки b‘ параллельно оси х (в данном случае эта прямая совпадает с осью х). Соединив точки b‘₁ и а‘, на плоскости V получают действительную длину а’ b‘₁ отрезка АВ.

Эту задачу можно решить вращением отрезка АВ относительно оси, перпендикулярной плоскоcти V. Через конец отрезка А проводят оси враще­ния ММ (рис. 119, в). Из точки а‘ радиусом, равным а’Ь’, проводят дугу окружности до пере­сечения с прямой, проведенной из точки а’ па­раллельно оси х, и получают новую фронтальную проекцию b‘₁, точки В. Проведя из точки Ь пря­мую, параллельную оси х, а через точку b‘₁, вер­тикальную линию связи, на их пересечении полу­чают новую горизонтальную проекцию Ь₁ точки В (после поворота отрезка АВ). Соединив точки Ь₁ и а, находят действительную длину aЬ₁, от­резка АВ.

Способом вращения можно определить действи­тельный вид фигуры. На рис. 120, а изображена стойка поддерживающего ролика ленточного кон­вейера. Пусть требуется определить действительный вид ребра стойки ролика — прямоугольного треугольника АВС.

Как видно из рис. 120, плоскость треугольника горизонтальио-проецирующая, поэтому действи­тельный вид треугольника можно получить на плоскости V вращением этого треугольника вокруг вертикальной оси до тех пор, пока плоскость тре­угольника нс станет параллельной плоскости V.

На комплексном чертеже (рис. 120, 6) ось вра­щения, перпендикулярная плоскости Н, проведена через вершину треугольника А. Вращаются одно­временно две вершины треугольника — В и С. После поворота новая горизонтальная проекция треугольника должна быть параллельна оси х. Фронтальные проекции — точки b’₁ и с’₁ — вершин В и С после поворота находят, проводя вертикальные линии связи из точек с₁ и b₁. Сое­динив точки а 1 , b’₁ и с’₁, получим на плоскости V действительный вид треугольника АВС.

Способом вращения на комплексном чертеже можно найти действительный вид фигуры криво­линейного контура, например, лопасти мешалки (рис. 121, б). На рис. 121, а дано наглядное изо­бражение одной лопасти этой мешалки и части вала. Так как лопасть расположена под углом к оси вала, на котором она установлена, а ось вала на комплексном чертеже должна быть параллель­на оси х, то на фронтальной и профильной проек­циях лопасть будет изображена в искаженном виде.

Действительный вид контура лопасти находят вращением лопасти вокруг оси, перпендикулярной плоскости Н. Для этого на фронтальной проекции контура берут несколько произвольных точек — а’, е‘, т’, d’, с‘, п’ (рис. 122). Проводя из этих точек вертикальные линии связи, находят их го­ризонтальные проекции — а, е, т, d, с, к, п, кото­рые будут располагаться на горизонтальной про­екции контура лопасти, т.е. на прямой ab, на­клонной под углом α к оси х. Вертикальная ось вращения проведена через точку А. Горизонталь­ную проекцию ab контура лопасти поворачивают вокруг центра вращения (точки а) на угол α и получают новую горизонтальную проекцию ab₁ лопасти.

Для определения новой фронтальной проекции какой-либо точки контура, например точки b’₁, через точку b₁ проводят вертикальную линию связи до пересечения с прямой, проведенной из b‘ параллельно оси х. Также находят и остальные новые фронтальные проекции точек контура — e’₁, m’₁, d’₁, c’₁, k’₁, n’₁. Соединяя их плавной кривой по лекалам, получим действительный вид контура лопасти.

Способ совмещения

Способ совмещения заключается в том, что плоскость, заданную следами, вращают вокруг одного из следов этой плоскости до совмещения с соответствующей плоскостью проекций, например, вокруг следа Р_H до совмещения с горизонтальной плоскостью проекций (рис. 123, а). Изображения отрезка прямой или плоской фигуры, лежащей в заданной плоскости Р, получаются без искажения.

Построения на комплексном чертеже упроща­ются, если через совмещаемые геометрические элементы можно провести какую-либо проециру­ющую плоскость, например горизонтально-проецирующую. При любом расположении горизонтально-проецирующей плоскости Р относитель­но V и Н ее следы после совмещения будут располагаться под прямым углом (рис. 123, а и б). Совмещая горизонтально-проецирующую плоскость с плоскостью Н вращением около горизонтального следа Р_Н, видим, что совме­щенный фронтальный след находится под прямым углом к неподвижному горизонтально­му следу Р_Н (рис. 123, б).

Если на горизонтальном следе Р_Н, который является осью вращения горизонтально-проецирующей плоскости Р и, следовательно, неподвижен, взять какую-либо точку, то после совмещения плоскости Р с плоскостью Н положение точки не изменится.

Если же взять точку В на фронтальном следе P_V плоскости Р (рис. 123, а), то совмещенная точка В будет лежать на совмещенном следе Р_V1, при этом расстояние P_X b’ будет равно расстоянию P_X b’_1.

Отрезок прямой определяется двумя точками. Поэтому, если через отрезок АВ провести, напри­мер, фронтально-проецирующую плоскость Р (рис. 124) и совместить ее с Н, то при этом с плоскостью Н совместятся и концы этого отрезка — точки А и В, т.е. весь отрезок прямой. Тогда на плоскости Н отрезок спроецируется без искаже­ния.

Таким образом, задача определения дей­ствительной длины отрезка прямой АВ способом совмещения решается следующим путем.

Через точку а (рис. 124). расположенную на плоскости Н, проводят перпендикулярно оси x горизонтальный след P_H фронтально-проецирующей плоскости Р. Через точки а’ и Ь’ проводят след Р_V. Плоскость Р совмещают с плоскостью H, совмещенное положение следа Р_V совпадает с осью х. Из точки Р_x радиусом Р_ХЬ’ делают засеч­ку дугой окружности на совмещенном следе Р_V1 и из точки пересечения восставляют перпендику­ляр к оси х. Из точки Ь опускают перпендикуляр на след P_H и, продолжая его до пересечения с прямой, перпендикулярной оси х, получают со­вмещенное положение точки В — точку b’₁. Сое­динив точки а’₁ и b’₁ находят совмещенное поло­жение отрезка АВ. которое и будет его действи­тельной длиной.

Определение действительного вида фигуры кри­волинейного контура, например лопасти мешал­ки. способом совмещения показано на рис. 125.

Проводят вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость, заданную следами Р_V и Р_H. Затем на контуре фигуры берут несколько произ­вольно расположенных точек А, В, С, . через которые проводят горизонтали этой плоскости. Плоскость Р совмещают с плоскостью Н вместе с горизонталями. На совмещенных горизонталях находят точки а’₁, b’₁, c’₁, которые соединяют плавной кривой и получают действительный вил контура лопасти.

Например, для совмещения с плоскостью Н точки В криволинейного контура через точку В проводят горизонталь плоскости Р. Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси х; гори­зонтальная проекция горизонтали совпадает с горизонтальным следом Р_H. Затем эту горизонталь совмещают с плоскостью Н. Совмещение произве­дено таким образом. Фронтальная проекция гори­зонтали пересекает фронтальный след Р_V плоскос­ти Р в точке v’, которая является фронтальным следом горизонтали. Совмещенное положение этого следа находится на совмещенном фронталь­ном следе Р_V1 в точке v₁. Из точки v₁ проведена прямая, параллельная Р_V, которая и будет совме­щенным положением горизонтали, проходящей через точку В.

Из горизонтальной проекции b’₁ точки восста­влен перпендикуляр к Р_H и продолжен далее до пересечения с совмещенной горизонталью в точке b’₁.Эта точка и будет являться искомым совмещенным положением точки В с плос­костью Н.

Способ перемены плоскостей проекций

Способ перемены плоскостей проекций заклю­чается в том. что одна из плоскостей проекций заменяется новой, на которую проецируются дан­ная точка, отрезок или фигура. В отличие от двух предыдущих способов эти элементы не меняют своего положения в пространстве. Например, фронтальная плоскость проекций V может быть заменена новой плоскостью проекции V₁ (рис. 126, а), причем плоскость V₁ должна быть так же, как и плоскость V, перпендикулярна плоскости H.

На комплексном чертеже (рис. 126, б) новая ось проекций Ж|, которая образуется при пересе­чении новей плоскости x₁ которая образуется при пересечении новой плоскости V₁ с плоскостью Н. Новая система плоскостей проекций обозначается

На наглядном изображении проекций точки А (рис. 126. а) видно, что при перемене фронталь­ной плоскости проекций V на новую V₁ расстоя­ние от новой фронтальной проекции а’₁ точки А до новой оси проекций x₁ равно расстоянию от фронтальной проекции а’ точки А до оси проек­ции х, т.е. координате z_A. Это правило надо запо­мнить. В дальнейшем оно применяется при реше­нии различных задач способом перемены плоскос­тей проекций.

Таким образом, при замене плоскости V на плоскость V₁, на комплексном чертеже прежде всего должна быть проведена новая ось проекций x₁ (рис. 126, б), а затем построена новая фрон­тальная проекция точки. Для этого из горизон­тальной проекции а точки А опускают перпенди­куляр на новую ось проекций x₁ и на продолже­нии этого перпендикуляра откладывают от новой оси координату z_A. В результате получают новую фронтальную проекцию а’₁ точки А.

Иногда заменяется и горизонтальная плоскость проекций Н на новую плоскость Н₁.

Если новая фронтальная плоскость проекций V₁, по своему положению являлась, как и замененная V, вертикальной плоскостью, то новая горизон­тальная плоскость проекций Н₁ по своему поло­жению не будет горизонтальной. а называется так только условно.

В некоторых случаях для решения задач на комплексном чертеже приходится последова­тельно заменять две плоскости проекций, например, фронтальную V на V₁, и горизон­тальную Н на Н₁.

Если на комплексном чертеже точки А нужно заменить горизонтальную плоскость проекций, то для нахождения новой горизонтальной проекции а, точки А надо (рис. 127. а и б) из фронтальной проекции а’ опустить на новую ось х₁, перпенди­куляр и на его продолжении отложить координату у_А точки А.

Определим способом перемены плоскостей про­екций действительную длину отрезка АВ (рис. 128). В этом случае новая плоскость проек­ций V₁ или Н₁ должна быть выбрана так. чтобы она была параллельна отрезку АВ. Иначе отрезок АВ относительно новой плоскости проекций до­лжен быть или фронтально (при замене плоскости V на плоскость V₁), или горизонталью (при заме­не плоскости Н на плоскость Н₁).

Решим эту задачу двумя вариантами.

Первый вариант. Заменим плоскость V новой фронтальной плоскостью проекций V₁ (рис. 128. а).

Для упрощения построений новая ось проекций х, может совпадать с горизонтальной проекцией ab отрезка прямой. Координата z_B точки В равна нулю (так как точка В расположена на плоскости H), поэтому новая фронтальная проекция b’₁ совпадает с горизонтальной проекцией b.

Новая горизонтальная проекция а’₁ точки А находится на перпендикуляре, восставленном к новой оси проекций х₁. Отрезок а’₁ а, отложенный на этом перпендикуляре, равен расстоянию от прежней фронтальной проекции а’ точки А до прежней оси х или координате z_А точки А. Соединив точки а’₁ и b’₁, получим действительную длину отрезка АВ.

Второй вариант. Заменим плоскость Н новой горизонтальной плоскостью проекций Н₁ (рис. 128. б).

Новую ось проекций x₁ проведем (для упроще­ния построений) через фронтальную проекцию отрезка а’Ь’. Координату y_A откладываем на перпендикуляре к новой оси x₁ от точки a‘, a координату у_B—от точки b‘. Отложив эти координаты, получаем новые горизонтальные проекции a₁ и b₁ точек А и В. Соединив точки A и B на новой горизонтальной плоскости проекций H₁, получим действительную длину отрезка АВ.

Действительный вид плоской фигуры также можно определять способом перемены плоскостей проекций. Для примера возьмем прямоугольный треугольник АВС (см. рис. 128, в), который распо­ложен в горизонтально-проецирующей плоскости.

В данном примере заменяется плоскость проек­ций V новой плоскостью V₁ так, чтобы новая фронтальная проекция треугольника АВС была его искомым действительным видом. Новая ось проекций x₁ должна быть проведена на комплек­сном чертеже параллельно горизонтальной проек­ции треугольника или (для упрощения построе­ний) так, как показано на рис. 128, в, где новая ось x₁ совпадает с горизонтальной проекцией abc треугольника. В случае новые фронтальные проекции а’₁ и с’₁ совпадут с горизонтальными проекциями а и с вершин треугольника.

Для определения действительного вида треу­гольника остается найти только одну новую фронтальную проекцию третьей точки — вершины В. Для этого нужно из прежней горизонтальной про­екции b точки В восставить перпендикуляр к но­вой оси проекции x₁ и от нее отложить на пер­пендикуляре расстояние от фронтальной проекции b’₁ до оси х или координату z_B. Соединив точку b’₁ с точками а’₁ и с’₁ прямыми линиями, полу­чим действительный вид треугольника АВС.

Подобными приемами построений можно опре­делить действительный вид горизонтальной про­екции многоугольника 12345, плоскость которого является фронтально-проецирующей (рис. 129).

В этом случае требуется заменить Н на Н₁, ось проекции которой проводится параллельно фрон­тальной проекции многоугольника на произволь­ном расстоянии.

Для нахождения, например, новой горизонталь­ной проекции точки 3 из точки 3′ восставляют перпендикуляр и от оси х₁ откладываем на этом перпендикуляре расстояние, равное расстоянию от точки 3 до оси х. Точка 3₁ будет новой горизон­тальной проекцией точки 3. Так же находят точ­ки 1₁, 2₁, 4₁ и 5_1. Затем, соединив их прямыми линиями, получают действительный вид много­угольника.

Построение действительного вида контура ло­пасти, расположенной в горизонтально-проецирующей плоскости, показано на рис. 130. В этом случае плоскость проекции V заменена новой плоскостью V_1. Для упрощения построений новая ось проекций x₁ проведена через горизонтальную проекцию фигуры, а лопасть опущена вниз до cоприкосновения с плоскостью Н.

Для определения действительного вида контура фигуры строят новые фронтальные проекции не­скольких ее точек способом, описанным выше. Например, для построения новой фронтальной проекции какой-либо точки Е криволинейного контура лопасти из горизонтальной проекцииe e к новой оси проекций x₁ восставляют перпендику­ляр, на котором от точки e откладывают отрезок, равный расстоянию фронтальной проекции е’ до оси x, т.е. координату z точку Е. Точка e’₁— новая фронтальная проекция точки Е.

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Источник