Способ перебора трехзначных чисел при котором ни одно число не может быть пропущено

20.03.2020г. гр.836 Практическая работа по теме: «Решение простейших комбинаторных задач»
материал

цель: научиться определять тип выборки, находить число перестановок, число сочетаний, число размещений.

Скачать:

Вложение	Размер
pr_reshenie_prosteyshih_kombinatornyh_zadach.docx	61.94 КБ

Предварительный просмотр:

Практическая работа по теме: «Решение простейших комбинаторных задач».

Цель: научиться определять тип выборки, находить число перестановок, число сочетаний, число размещений.

Комбинаторными задачами называются задачи, в которых необходимо подсчитать, сколькими способами можно сделать тот или иной выбор, выполнить какое-либо условие.

Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов:

Пример. Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть 4 различных урока?

Решение. Число способов равно числу размещений из 7 элементов по 4, т.е. равно . Получаем = .

Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов:

Пример. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?

Решение. Цифра 5 обязана стоять на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е. 5!=5*4*3*2*1=120.

Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов:

Пример. Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз?

Решение. Матчей состоится столько, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 16 элементов, т.е. их число равно .

Требования к отчетности:

1. Выполнять в рабочей тетради;
2. Фотографировать готовые решения;
3. Присылать на почту: vismyt89@mail.ru своевременно (подписывайте ФИО и номер группы), можно в ВКонтакте.

Абдурашидов И., Бобылев А., Глазунов А., Деркач А., Изин Андрей, Изосимов А., Кирпичников А, Котькорло К., Маненков К., Осауленко Г., Плечев К., Тюлькин И., Ахмедов Д.

Алексеев Н., Близняков М., Горсков В., Джапаров Р., Изин Антон, Кириллов П., Ковалевский Д., Лосев А., Мунтян С.,Пошеченков А., Солдатов И., Тулупов А.

1. Сколько существует двузначных чисел, которые записываются различными цифрами?

2. Сколькими способами из отряда в 20 человек можно выбрать командира и знаменосца?

3. Сколькими различными способами можно построить в шеренгу 5 человек?

4. Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 3,4, 5 и 6? Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя при записи числа каждую из указанных цифр только один раз? Запишите эти числа.

5. Сколько трехзначных чисел можно составить из трех различных, не равных нулю цифр? Зависит ли результат от того, какие цифры взяты? Укажите какой-нибудь способ перебора трехзначных чисел, при котором ни одно число не может быть пропущено.

6. Сколько всевозможных трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3 и 4 так, чтобы цифры в записи числа не повторялись? Изменится ли решение этой задачи, если вместо цифры 4 будет дана цифра 0?

7. Покажите, что в следующей задаче рассматривается сочетание из n элементов по k, определите значения n и k и найдите число для задачи: Сколькими способами можно выбрать из 6 человек комиссию, состоящую из трех человек?

б) Сколькими способами можно выбрать 4 краски из 10 различных красок?

8. Из 15 объектов нужно отобрать 10 объектов. Сколькими способами это можно сделать?

1. Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных книг?

2. Сколькими способами из группы в 25 человек можно выбрать менеджера и заместителя менеджера?

3. Сколькими различными способами можно построить в шеренгу 7 человек?

4. Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 2,3, 4 и 5? Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя при записи числа каждую из указанных цифр только один раз? Запишите эти числа.

5. Сколько трехзначных чисел можно составить из трех различных, не равных нулю цифр? Зависит ли результат от того, какие цифры взяты? Укажите какой-нибудь способ перебора трехзначных чисел, при котором ни одно число не может быть пропущено.

6. Сколько всевозможных трехзначных чисел можно составить из цифр 5,6, 7 и 8 так, чтобы цифры в записи числа не повторялись? Изменится ли решение этой задачи, если вместо цифры 8 будет дана цифра 0?

7. Покажите, что в следующей задаче рассматривается сочетание из n элементов по k, определите значения n и k и найдите число для задачи: Сколькими способами можно выбрать 4 краски из 10 различных красок?

8. Из 18 объектов нужно отобрать 9 объектов. Сколькими способами это можно сделать?

Источник

Правила суммы и произведения.(8ч.)

1.Л.Г.Петерсон Математика 1,2,3 кл.

В обыденной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения называются комбинаторными.

Комбинаторные задачи в начальном курсе систематически решаются как правило, методом перебора. Для облегчения этого процесса нередко используются таблицы и графы. В связи с этим учителю начальных классов необходимы определенные навыки решения комбинаторных задач. Прежде всего, он должен, решая несложные комбинаторные задачи, уметь грамотно осуществлять перебор всевозможных вариантов и при этом быть уверенным в том, что перебор осуществлен правильно. Учителю надо знать общие правила комбинаторики (суммы, произведения), некоторые виды комбинаций, число которых может быть подсчитано с помощью формул.

Впервые во 2 классе II часть Ур. 37-42. К настоящему времени дети уже достаточно подготовлены к усвоению мысли о целесообразности упорядоченного перебора правила суммы и произведения.

1. Правило суммы – для нахождения числа элементов в объединении непересекающихся конечных множеств. Если объект а можно выбрать m способом, а объект в – k способом, то выбор» либо а, либо в» –( m + k) способом.

Задача: На тарелке лежит 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?

Так как в задаче речь идет о выборе либо яблок, либо апельсинов, то согласно правилу суммы, можно осуществить 5 + 4 = 9 способом.

2. Правило произведения – для нахождения элементов в декартовом произведении. Если объект а можно выбрать m способом, а объект а, в – k способом, то пару (а,в)можно выбрать – m х k способом.

Задача1: На тарелке 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать пару плодов из апельсинов и яблок.

Решение, т.к. речь идет о выборе пары (яблоки, апельсины), то согласно правилу произведения 4 х 5 = 20 способов.

Задача 2: Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 7,4,5?

Решение: О подсчете числа наборов из трех элементов (кортеш), согласно правилу произведения получим 3 х 3 х 3 = 27 способов.(т.к. цифры в записи числа могут повторяться, то цифру сотен, цифру десятков и цифру единиц можно подобрать 3 разными способами каждую.)

Задача. Сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3?

Решение. Запись четырехзначного числа представляет собой упорядоченный набор (кортеж) из четырех цифр. Пер­вую цифру — цифру тысяч можно выбрать только одним спо­собом, так как запись числа не может начинаться с нуля. Цифрой сотен может быть либо ноль, либо три, т.е. имеется два способа выбора. Столько же способов выбора имеется для цифры десятков и цифры единиц.

Итак, цифру тысяч можно выбрать одним способом, цифру сотен — двумя, цифру десятков — двумя, цифру единиц — двумя. Чтобы узнать, сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3, согласно правилу произведения, спосо­бы выбора каждой цифры надо перемножить: 1х2х2х2 = 8.

Таким образом, имеем 8 четырехзначных чисел.

Задача . Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 3, 6, 7 и 9, если каждая из них может быть использована в записи только один раз?

Решение. Так как запись числа не может начинаться с нуля, то цифру сотен можно выбрать пятью способами; выбор цифры десятков можно осуществить также пятью способами, поскольку цифры в записи числа не должны повторяться, а одна из шести данных цифр будет уже использована для запи­си сотен; после выбора двух цифр (для записи сотен и десят­ков) выбрать цифру единиц из данных шести можно четырьмя способами. Отсюда, по правилу произведения, получаем, что трехзначных чисел (из данных шести цифр) можно образовать 5х5х4= 100 способами.

Дерево возможностей – наиболее универсальное средство для поиска решения.

Т.к. детям самим сложно отыскать логику, то надо показать детям использование «дерева».

*
0	1	2	3
II

Типовые примеры

Пример. В вазе для фруктов лежало 6 яблок, 5 груш и 4 персика. Сколькими способами можно выбрать один плод для угощения?

Решение. В задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо груша, либо персик». Число способов осуществить такой выбор определяется по правилу суммы:

6 + 5 + 4 = 15 (способов).

Пример. Нужно купить подарок для первоклассника, состоящий из ранца, пенала, подставки для книг и дневника. Сколькими способами это можно сделать, если магазин предла­гает 4 вида ранцев, 5 видов пеналов, 3 вида подставок и 2 вида дневников?

Решение. Ответ на вопрос задачи сводится к подсчету числа способов осуществить выбор «и ранец, и пенал, и подставка, и дневник». Очевидно, что задача решается по правилу произве­дения, а значит, подарок можно составить

4 • 5 • 3 • 2 = 120 (способами).

1. Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 3, 4, 5 и 6? Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя при записи числа каждую из указанных цифр только один раз? Запишите эти числа.

4. Сколько трехзначных чисел можно составить из трех различных, не равных нулю цифр? Зависит ли результат от того, какие цифры взяты? Укажите какой-нибудь способ пе­ребора трехзначных чисел, при котором ни одно число не может быть пропущено.

Сколько всевозможных трехзначных чисел можно соста­вить из цифр 1, 2, 3 и 4 так, чтобы цифры в записи числа не повторялись? Изменится ли решение этой задачи, если вместо цифры 4 будет дана цифра О?

4. Сколько всевозможных четырехзначных чисел можно составить, используя для записи цифры 1, 2, 3 и 4? Какова разность между самым большим и самым маленьким из них?

5. Сколько пятизначных чисел, первые (слева) три цифры которых 2, 3 и 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5? Изме­нится ли ответ в этой задаче, если цифры в записи числа не будут повторяться?

6. Из цифр 0, 1, 2, 3, 4 составляют всевозможные пятизнач­ные числа, причем так, что в записи каждого числа содержат­ся все данные цифры. Сколько можно составить таких чисел? Чему будет равна разность между наибольшим и наименьшим из полученных чисел?

7. Сколько натуральных чисел, меньших 1000, можно запи­сать, используя цифры 7, 4 и 5? Сколько среди них четных? Нечетных? Кратных 5?

Источник

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ

Цель.Рассмотреть основные этапы усвоения решения комбинаторных задач и основные правила: правило суммы, произведения, подсчета числа различных размещений из m элементов по k элементов, подсчета числа сочетаний из m элементов по k элементов, подсчета числа перестановок из k элементов без повторений. Раскрыть основные методические подходы к решению комбинаторных задач по математике в начальной школе.

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. Роль комбинаторных задач в курсе начальной математики.

2. Правила суммы и произведения.

3. Размещения и сочетания.

Основные понятия темы

Ø способ выбора объекта;

Ø дерево возможных вариантов;

Ø размещение из m элементов по k — элементов (с повторением без повторений);

Ø сочетание из m элементов по k — элементов (без повторений).

Основные правила решения комбинаторных задач

Ø правило суммы;

Ø правило произведения;

Ø правила подсчета числа различных размещений из т элементов

Ø по k элементов (с повторениями и без повторений): и

Ø правило подсчета числа сочетаний из m элементов по k элементов без повторений): ;

Ø правило подсчета числа перестановок из k элементов без повторений: Р = k !

Практическая часть

1. Сколько существует двузначных чисел, которые записываются различными цифрами?

2. Сколькими способами из отряда в 20 человек можно выбрать командира и знаменосца?

3. Сколькими различными способами можно построить в шеренгу 5 человек?

4. Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 3,4, 5 и 6? Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя при записи числа каждую из указанных цифр только один раз? Запишите эти числа.

5. Сколько трехзначных чисел можно составить из трех различных, не равных нулю цифр? Зависит ли результат от того, какие цифры взяты? Укажите какой-нибудь способ перебора трехзначных чисел, при котором ни одно число не может быть пропущено.

6. Сколько всевозможных трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3 и 4 так, чтобы цифры в записи числа не повторялись? Изменится ли решение этой задачи, если вместо цифры 4 будет дана цифра 0?

7. Сколько всевозможных четырехзначных чисел можно составить, используя для записи цифры 1,2.3 и 4? Какова разность между самым большим и самым маленьким из них?

8. Покажите, что в нижеприведенных задачах рассматриваются размещения из k элементов по m; определите значения k и m и найдите число размещений: а) Из 20 учащихся класса надо выбрать старосту, его заместителя и редактора газеты. Сколькими способами это можно сделать? б) В классе изучаются 7 предметов. В среду 4 урока, причем все разные. Сколькими способами можно составить расписание на среду? в) В соревновании участвуют 10 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места? г) Сколько всевозможных трехзначных чисел можно записать, ис­пользуя цифры 3, 4, 5 и 6?

9. Покажите, что в следующих задачах рассматриваются сочетания из k элементов по m, определите значения k и m и найдите число для каждой задачи: а) Сколькими способами можно выбрать из 6 человек комиссию, состоящую из трех человек? б) Сколькими способами можно выбрать 4 краски из 10 различных красок?

10. Два человека обменялись своими фотокарточками. Сколько бы­ло всего фотокарточек?

11. Два человека пожали друг другу руки. Сколько было рукопожатий? А если 15 человек пожали друг другу руки, то сколько будет рукопожатий?

12. Сколькими способами можно расставить на полке 3 различные книги? Переставить три различные буквы, три различные цифры?

13. 15 человек сыграли друг с другом по одной партии в шахматы. Сколько было сыграно партий?

14. На плоскости отметили 7 точек. Каждые две точки соединили отрезком. Сколько получилось отрезков?

15. Решите следующие задачи, используя формулы. Ответ проверьте с помощью перебора всех возможных вариантов:

а) Сколько словарей необходимо переводчику, чтобы он мог пе­реводить непосредственно с любого из четырех языков — русского, английского, немецкого и французского — на любой другой из этих языков?

б) Государственные флаги некоторых стран состоят из трех горизонтальных полос разного цвета. Сколько различных вариантов флагов с белой, синей и красной полосами можно составить?

в) Мальчик выбрал в библиотеке 5 книг. По правилам библиотеки одновременно можно взять только 2 книги. Сколько у мальчика вариантов выбора двух книг из пяти?

г) Четыре друга собрались на футбольный матч. Но им удалось купить только три билета. Из скольких вариантов им надо выбрать тройку счастливцев? Как осуществить выбор, чтобы у всех ребят равные шансы попасть на матч?

д) В классе три человека хорошо поют, двое других играют на гитаре, а еще один умеет показывать фокусы. Сколькими способами можно составить концертную бригаду из певца, гитариста и фокусника?

е) Задача Леонарда Эйлера. Трое господ при входе в ресторан дали швейцару свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Сколько существует вариантов, при которых каждый из них получит чужую шляпу?

ж) Имеется ткань двух цветов: голубая и зеленая, и требуется обить диван, кресло и стул. Сколько существует различных вариантов обивки этой мебели?

16. Ниже приведены комбинаторные задачи для учащихся начальных классов. Решите их методом перебора и используя формулы комбинаторики. Выбор формул обоснуйте.

а) Аня, Боря, Вера и Гена — лучшие лыжники школы. На соревнования надо выбрать из них троих. Сколькими способами можно это сделать?

б) Круг разделили на две части и решили раскрасить их карандашами разных цветов. Сколькими способами можно это сделать, имеются красный, зеленый и синий карандаши?

в) При изготовлении авторучки корпус и колпачок могут иметь одинаковый или разный цвет. На фабрике есть пластмасса четырех цветов: белого, красного, синего и зеленого. Какие отличающиеся по цвету ручки можно изготовить?

г) На прямой взяли 4 точки. Сколько всего получилось отрезков, концами которых являются эти точки?

д) За свои рисунки ученик получил две положительные отметки. Какими они могут быть?

е) В соревнованиях участвуют 5 футбольных команд. Каждая команда играет один раз с каждой из остальных команд. Сколько матчей будет сыграно?

ВОПРОСЫ ДЛЯ КОЛЛОКВИУМА

1. Математические понятия. Объем и содержание понятия.

2. Отношения рода и вида между понятиями.

3. Определение понятий.

4. Требования к определению понятий.

5. Контекстуальные и остенсивные определения.

6. Высказывания и высказывательные формы.

7. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний.

8. Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм.

9. Высказывания с кванторами.

10. Истинность высказываний с кванторами.

11. Отрицание высказываний и высказывательных форм.

12. Отношения следования между предложениями.

13. Отношения равносильности между предложениями.

14. Структура теоремы.

15. Отличие теоремы от правила.

17. Роль и место задач в начальном курсе математики. Функции текстовых задач.

18. Структура процесса решения задач.

19. Методы и способы решения текстовых задач.

20. Этапы решения и приемы их выполнения.

21. Решение типовых задач: «задач на части», «на движение».

22. Роль комбинаторных задач в курсе начальной математики.

23. Правила суммы и произведения.

24. Размещения и сочетания.

МОДУЛЬ 3. ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Для школьной математики натуральное число является тем понятием, с которого, как правило, начинается обучение. И уже в начальных классах учащиеся знакомятся с различными функциями натурального числа. Отвечая на вопрос: «Сколько машин изображено на рисунке?», — они имеют дело с числом как количественной характеристикой множе­ства предметов. Производя счет предметов, используют натуральное число как характеристику порядка. В задачах, связанных с измерением величин, число выступает как значение величины при выбранной единице, т.е. как мера величины. Большое внимание уделяется в начальном курсе математики и еще одной роли числа — как компоненту вычислений. Таким образом, натуральное число имеет много функций, и многие из них должны быть поняты и усвоены уже младшими школьниками. Поэтому важной задачей учителя является овладение теми теориями, в которых обосновываются различные подходы к определению натурального числа и действий над числами.

В этом модуле мы рассмотрим различные подходы к построению системы натуральных чисел, отвечающее на вопрос, что представляет собой число, как элемент натурального ряда; затем построим ее теоретико-множественную модель и изучим способы записи чисел и алгоритмы действий над ними.

Студент должен уметь:

· иллюстрировать примерами из учебников математики для начальной школы различные подходы к определению натурального числа и действий над числами;

· рационально выполнять и обосновывать устные и письменные вычисления с натуральными и положительными рациональными числами;

· записывать числа в различных позиционных системах счисления и производить над ними арифметические действия.

Источник