Способ отсчета от условного нуля называется

Учебно-справочное руководство по статистическим расчетам в изучении курса «Математическая статистика» , страница 5

По результатам таблиц записываем статистические ряды для признаков Х и У.

Таблица 4. Признак Х

Таблица 5. Признак У

Графически статистические данные представляем гистограммой и полигоном относительных частот, а также кумулятой. При построении гистограммы на оси абсцисс откладывают интервалы разбиения признака Х, при построении полигона – середины интервалов разбиения признака х _i . По оси ординат в каждом случае откладывают ординаты w_i/h.. Полученную ступенчатую фигуру называют гистограммой, ломаную линию – полигоном.

2 Точечные оценки параметров распределения.

Точечная оценка некоторого параметра распределения определяется по выборке, записывается одним числом и служит оценкой параметра распределения генеральной совокупности. Такая оценка называется выборочной.

Приведем основные точечные оценки параметров распределения.

Математическое ожидание случайной величины оценивается по выборочной средней ; дисперсия – по выборочной дисперсии D_в и исправленной выборочной дисперсии S 2 ; среднее квадратическое отклонение (СКО) оценивается по выборочному среднему квадратическому отклонению s_в и исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению S; асимметрия распределения оценивается по выборочному коэффициенту асимметрии А_s ; эксцесс – по выборочному эксцессу E_к ; мода распределения – по выборочной моде М_о ; медиана распределения – по выборочной моде М_е . Вероятность события в моделях, подчиняющихся схеме Бернулли, оценивается по выборочной доле w .

Для трактовки полученных результатов расчета параметров выборки следует знать смысл каждой оценки. Приведем краткую их характеристику:

· – характеризует среднее значение признака по выборке;

· D_в и S 2 – характеризуют средний квадрат отклонения признака от среднего значения по выборке, только вторая характеристика является еще и несмещенной;

· s_в и S – характеризуют среднее отклонение признака от среднего значения по выборке;

· А_s – характеризует асимметрию распределения по выборке;

· E_к – характеризует “крутость” (островершинность или плосковершинность) распределения про выборке.

· М_о – характеризует наиболее часто встречающуюся варианту или то значение признака, которому соответствует точка максимума плотности распределения по выборке;.

· М_е – характеризует то значение признака, на которое приходится середина вариационного рядя по выборке;

· w – характеризует вероятность появления события А в одном испытании.

На практике для расчета перечисленных величин применяют различные формулы в зависимости от вида выборки.

2.1 Несгруппированные статистические данные

Пусть выборка значений признака Х представляет собой не сгруппированный ряд чисел: х₁ ; x₂ ; … ; х_i ; …; x_n .

В этом случае расчет ведут по следующим формулам:

,

,

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

Исправленная выборочная дисперсия:

Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение:

.

2.2 Статистические дискретный и интервальный ряды

Пусть выборка задана дискретным статистическим рядом:

Источник

Моменты распределения

Дисперсия: способы ее расчета, виды дисперсии, правило сложения дисперсии.

Дисперсия обладает рядом математических свойств, позволяющих упростить ее расчет.

Первое свойство заключается в том, что если из всех вариант вычесть какое-то постоянное число, то дисперсия от этого не изменится. Оно позволяет рассчитывать дисперсию не по отклонениям вариант от средней (часто имеющей дробное значение), а по отклонениям от целого числа. Второе свойство позволяет все варианты разделить на какое-то постоянное число, например на значение интервала, и исчислить дисперсию уменьшенных вариант, а полученную величину умножить на квадрат этого числа.

, .

где: s 2 _x – дисперсия отклонений вариантов от средней арифметической;

– дисперсия отклонений вариантов от произвольной величины А.

1. На этих свойствах основан расчет дисперсии способом отсчета от условного нуля или способ моментов, который заключается в нахождении вариант, уменьшенных на условно постоянную величину А и в k раз, где k – интервал, т.е. х₁=(х – А)/k, и последующем расчете дисперсии по формуле:

способ отсчета от условного нуля: ;

способ моментов: , где

условный момент первого порядка: ;

условный момент второго порядка: ,

2. Дисперсия равна среднему квадрату значений признака за вычетом квадрата среднего значения признака:

Расчеты дисперсии различными способами дают одинаковые результаты, что позволяет исследователю выбрать наиболее эффективный способ.

В ряде случаев изучают не среднюю величину признака, а долю единиц, обладающих тем или иным признаком. Например, доля междугородных телефонных соединений (разговоров), предоставленных с ожиданием до 1 часа. Это примеры альтернативных вариаций, когда имеются лишь два взаимоисключающих варианта: наличие или отсутствие признака у данной единицы совокупности (1 наличие признака, 0 отсутствие). В таких случаях определяется дисперсия альтернативного признака. Пусть доля единиц, обладающих данным признаком, равна р, а доля единиц, не обладающих этим признаком, 1–р, тогда

Естественно, средняя постоянная величины р есть сама эта величина, а дисперсия равна:

Средняя и дисперсия это частные случаи более широкого понятия обобщающих характеристик любого распределения моментов.

Момент распределения – это средняя арифметическая тех или иных степеней отклонений вариантов х от некоторой постоянной величины А:

m_z = .

Порядок момента определяется величиной z, т.е. степенью, в которую возводится отклонение вариант. В зависимости от принятой величины А различают три вида моментов:

начальные (при А=0): ; центральные (при А=): ;

условные (при А≠0, А≠): .

Начальный момент первого порядка представляет собой среднюю арифметическую: ;

центральный момент второго порядка – дисперсию: . Центральный момент первого порядка m₁ всегда равен нулю (сумма отклонений вариант от средней равна нулю); центральный момент третьего порядка равен нулю в симметричном распределении.

Условные моменты самостоятельного значения не имеют, ими пользуются для упрощения вычисления центральных моментов: m₂ = m₂ – m 2 ₁; m₃ = m₃ – 3m₁ m₂ + 2m 3 ₁; m₄ = m₄ – 4m₃ m₁ + 6m₂ m 2 ₁ – 3 m 4 ₁.

Для исчисления условных моментов используется условная величина:

; ; ; ; где

В этом случае центральные моменты корректируются на величину k z :

Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом часто возникает необходимость проследить количественные изменения признака по группам, на которые разбита вся совокупность, а также и между группами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных дисперсий: общей, межгрупповой, внутригрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту вариацию:

.

Межгрупповая дисперсияхарактеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки:

, где

— соответственно средние и численности по отдельным группам,

— средняя всей совокупности.

Внутригрупповая дисперсияотражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основу группировки:

, где

— варианты групп, — численность группы, — средняя группы

Средняя из внутригрупповых дисперсийопределяется по формуле:

.

Общая дисперсия определяется как сумма средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсии:

.

Данная сумма называется правилом сложения дисперсий.

Согласно этому правилу общая дисперсия, возникающая под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, возникающих под влиянием прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет группировочного признака.

На основании правила сложения дисперсий можно определить показатель тесноты связи между группировочным (факторным) и результирующим признаками. Он называется эмпирическим корреляционным отношением и рассчитывается как корень квадратный из отношения межгрупповой дисперсии к общей дисперсии:

.

Отношения межгрупповой дисперсии к общей дисперсии называется эмпирическим коэффициентом детерминациии показывает долю группировочного признака в общей вариации:

.

Источник