Способ определения центр масс

Содержание

Определение центра масс
Радиус-вектор и координаты центра масс
Скорость центра масс
Примеры задач на определение центра масс
iSopromat.ru
Техническая механика
Методы нахождения центра тяжести
Метод симметрии
Метод разбиения
Метод отрицательных масс
Практические методы определения центра тяжести тел
Положение центра тяжести некоторых фигур
Пример решения задачи на определение центра тяжести

Определение центра масс

При исследовании поведения систем частиц, часто удобно использовать для описания движения такую точку, которая характеризует положение и движение рассматриваемой системы как единого целого. Такой точкой служит центр масс.

Для однородных тел обладающих симметрией центр масс часто совпадает с геометрическим центром тела. В однородном изотропном теле одной выделенной точке найдется симметричная ей точка.

Радиус-вектор и координаты центра масс

Предположим, что у нас имеются две частицы с равными массами, им соответствуют радиус-векторы: $<\overline>_1\ и\ <\overline>_2$ . В этом случае центр масс расположен посередине между частицами. Центр масс (точка C) определён радиус-вектором $<\overline>_C$ (рис.1).

Из рис.1 видно, что:

Можно ожидать, что вместе с геометрическим центром системы радиус-вектор, которого равен $<\overline>_C,$ играет роль точка, положение которой определяет распределение массы. Ее определяют так, чтобы вклад каждой частицы был пропорционален ее массе:

Радиус -вектор $<\overline>_C$, определенный выражением (2) — средне взвешенная величина радиус-векторов частиц $<\overline>_1$ и $<\overline>_2$. Это становится очевидным, если формулу (2) представить в виде:

Выражение (3) показывает, что радиус-вектор каждой частицы входит в $<\overline>_C$ с весом, который пропорционален его массе.

Выражение (3) легко обобщается для множества материальных точек, которые расположены произвольным образом.

Если положения N материальных точек системы задано при помощи их радиус-векторов, то радиус — вектор, определяющий положение центра масс находим как:

Выражение (4) считают определением центра масс системы.

При этом абсцисса центра масс равна:

Ордината ($y_c$) центра масс и его аппликата ($z_c$):

Формулы (4-7) совпадают с формулами, которые используют для определения тяжести тела. В том случае, если размеры тела малы в сравнении с расстоянием до центра Земли, центр тяжести считают совпадающим с центром масс тела. В большинстве задач центр тяжести совпадает с центром масс тела.

Скорость центра масс

Выражение для скорости центра масс ($<\overline>_c=\frac>_c>

$) запишем как:

где $\overline

$ — суммарный импульс системы частиц; $M$ масса системы. Выражение (8) справедливо при движениях со скоростями которые существенно меньше скорости света.

Если система частиц является замкнутой, то сумма импульсов ее частей не изменяется. Следовательно, скорость центра масс при этом величина постоянная. Говорят, что центр масс замкнутой системы перемещается по инерции, то есть прямолинейно и равномерно, и это движение не зависимо от движения составных частей системы. В замкнутой системе могут действовать внутренние силы, в результате их действия части системы могут иметь ускорения. Но это не оказывает влияния на движение центра масс. Под действием внутренних сил скорость центра масс не изменяется.

Примеры задач на определение центра масс

Задание. Система составлена из материальных точек (рис.2), запишите координаты ее центра масс?

Решение. Рассмотрим рис.2. Центр масс системы лежит на плоскости, значит, у него две координаты ($x_c,y_c$). Найдем их используя формулы:

Вычислим массу рассматриваемой системы точек:

Тогда абсцисса центра масс $x_\ $равна:

Ответ. $x_c=0,5\ b$; $y_с=0,3\ b$

Задание. Космонавт, имеющий массу $m$, неподвижен относительно корабля массы $M$. Двигатель космического аппарата выключен. Человек начинает подтягиваться к кораблю при помощи легкого троса. Какое расстояние пройдет космонавт ($s_1$), какое корабль ($s_2$) до точки встречи? В начальный момент расстояние между ними равно $s$.

Решение. Центр масс корабля и космонавта лежит на прямой, соединяющей эти объекты.

В космосе, где внешние силы отсутствуют, центр масс замкнутой системы (корабль-космонавт) либо покоится, либо движется с постоянной скоростью. В избранной нами (инерциальной) системе отсчета он покоится. При этом:

Источник

iSopromat.ru

Способы определения координат центров тяжести твердых объёмных тел и плоских фигур можно получить исходя из полученных ранее общих формул для расчета положения центра тяжести.

Существует 5 способов:

Аналитический (путем интегрирования).
Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
Экспериментальный. (метод подвешивания тела).
Этот способ подходит в основном для плоских и линейных тел.

Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S₁ и S₂ (S = S₁+ S₂). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C₁(x₁, y₁) и C₂(x₂, y₂). Тогда координаты центра тяжести тела равны:

Дополнение (Метод отрицательных площадей или объемов).
Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Техническая механика

Методы нахождения центра тяжести

Наиболее часто для нахождения центра тяжести тела или фигуры применяют следующие методы:

метод симметрии;
метод разбиения;
метод отрицательных масс.

Рассмотрим приемы, применяемые в каждом из перечисленных методов.

Метод симметрии

Представим себе однородное тело, которое имеет плоскость симметрии. Выберем такую систему координат, чтобы оси x и z лежали в плоскости симметрии (см. рисунок 1) .

В этом случае каждой элементарной частице силой тяжести G_i с абсциссой y_i = +a соответствует такая же элементарная частица с абсциссой y_i = -a , тогда:

Отсюда вывод: если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости.

Аналогично можно доказать и следующие положения:

Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела лежит на этой оси;
Если однородное тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести тела находится в точке их пересечения;
Центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.

Метод разбиения

Этот метод заключается в том, что тело разбивают на наименьшее число частей, силы тяжести и положение центров тяжести которых известны, после чего применяют приведенные ранее формулы для определения общего центра тяжести тела.

Допустим, что мы разбили тело силой тяжести G на три части G’ , G» , G»’ , абсциссы центров тяжести этих частей x’_C, x»_C, x»’_C известны.
Формула для определения абсциссы центра тяжести всего тела:

Перепишем ее в следующем виде:

Последнее равенство запишем для каждой из трех частей тела отдельно:

Сложив левые и правые части этих трех равенств, получим:

Но правая часть последнего равенства представляет собой произведение Gx_C , так как

Следовательно, x_C = (G’x’_C + G»x»_C + G»’x»’_C)/G , что и требовалось доказать.
Аналогично определяются координаты центра тяжести на координатных осях y и z :

Полученные формулы аналогичны формулам для определения координат цента тяжести, выведенные выше. Поэтому в исходные формулы можно подставлять не силы тяжести элементарных частиц G_i , а силы тяжести конечных частей; под координатами x_i , y_i , z_i понимают координаты центров тяжести частей, на которые разбито тело.

Метод отрицательных масс

Этот метод заключается в том, что тело, имеющее свободные полости, считают сплошным, а массу свободных полостей – отрицательной. Вид формул для определения координат центра тяжести тела при этом не меняется.

Таким образом, при определении центра тяжести тела, имеющего свободные полости, следует применять метод разбиения, но считать массу полостей отрицательной.

Практические методы определения центра тяжести тел

На практике для определения центра тяжести плоских тел сложной формы часто применяют метод подвешивания , который заключается в том, что плоское тело подвешивают на нити за какую-нибудь точку. Прочерчивают вдоль нити линию, и тело подвешивают за другую точку, не находящуюся на полученной линии.
Затем вновь проводят линию вдоль нити.
Точка пересечения двух линий и будет являться центром тяжести плоского тела.

Еще один способ определения центра тяжести, применяемый на практике, называется метод взвешивания . Этот метод часто применяется для определения центра тяжести крупных машин и изделий – автомобилей, самолетов, колесных тракторов и т. п., которые имеют сложную объемную форму и точечную опору на грунт.
Метод заключается в применении условий равновесия, исходя из того, что сумма моментов всех сил, действующих на неподвижное тело равна нулю.
Практически это осуществляется взвешиванием одной из опор машины (задние или передние колеса устанавливаются на весы), при этом показания весов, по сути, являются реакцией опоры, которая учитывается при составлении уравнения равновесия относительно второй точки опоры (находящейся вне весов).
По известной массе (соответственно – весу) тела, показанию весов в одной из точек опоры, и расстоянию между точками опоры можно определить расстояние от одной из точек опоры до плоскости, в которой расположен центр тяжести.
Чтобы найти подобным образом линию (ось), на которой расположен центр тяжести машины, необходимо произвести два взвешивания по принципу, изложенному выше для метода подвешивания (см. рис. 1а) .

Положение центра тяжести некоторых фигур

Прямоугольник. Так как прямоугольник имеет две оси симметрии, то центр тяжести его площади находится в точке пересечения этих осей, иначе говоря, в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

Треугольник. Пусть дан треугольник АBD (см. рисунок 2) .
Разобьем его на элементарные (бесконечно узкие) полоски, параллельные стороне AD . Центр тяжести каждой полоски будет лежать на медиане Bd (т. е. в середине каждой полоски) , следовательно, на этой медиане будет лежать и центр тяжести всей площади треугольника. Разбив треугольник на элементарные полоски, параллельные стороне AB , увидим, что искомый центр тяжести лежит и на медиане aD .
Проделав аналогичное действие с треугольником относительно стороны ВD , получим тот же результат – центр тяжести находится на соответствующей медиане.
Следовательно, центр тяжести всей площади треугольника лежит на точке пересечения его медиан, поскольку эта точка является единственной общей точкой для всех трех медиан данной геометрической фигуры.

Из геометрии известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в соотношении 1:2 от основания. Следовательно, центр тяжести треугольника расположен на расстоянии одной трети высоты от каждого основания.

Дуга окружности. Возьмем дугу окружности АВ радиусом R с центральным углом 2α (см. рисунок 3) . Систему координат выберем так, чтобы начало координат было в центре окружности, а ось x делила дугу пополам, тогда y_C = 0 вследствие симметрии дуги относительно оси x . Определим координату центра тяжести x_C .

Разобьем дугу АВ на элементарные части l_i , одна из которых изображена на рисунке. Тогда, согласно сделанным выше выводам,

Дугу l_i вследствие малости примем за отрезок прямой. Из подобия треугольника OD_iC_i и элементарного треугольника S (на рисунке заштрихован) получим:

поскольку RΣΔy_i = AB , а Σl_i = l – длина дуги АВ . Но АВ = 2R sinα , а l = 2Rα , следовательно,

При α = π/2 рад (полуокружность) , x_C = 2R/π .

Круговой сектор. Возьмем сектор радиусом R с центральным углом 2α (см. рисунок 3а) . Проведем оси координат, как показано на рисунке (ось x направлена вдоль оси симметрии сектора), тогда y_C = 0 .

Определим x_C , для чего разобьем сектор на ряд элементарных секторов, каждый из которых из-за малости дуги l_i можно принять за равнобедренный треугольник с высотой R . Тогда центр тяжести каждого элементарного сектора будет находиться на дуге радиуса 2R/3 и задача определения центра тяжести сектора сводится к определению центра тяжести этой дуги.
Очевидно, что

При α = π/2 рад (полукруг) : x_C = 4R/(3π) .

Пример решения задачи на определение центра тяжести

Задача:
Определить положение центра тяжести сечения, составленного из двутавра № 22 и швеллера № 20, как показано на рисунке 4 .

Решение.
Из курса инженерной графики известно, что номер проката соответствует наибольшему габаритному размеру его сечения, выраженного в сантиметрах.

Так как сечение, составленное из двутавра и швеллера, представляет собой фигуру, симметричную относительно оси y , то центр тяжести такого сечения лежит на этой оси, т. е. x_C = 0 .
По справочнику определим площади и координаты центров тяжести двутавра 1 и швеллера 2.

Для двутаврового сечения: А₁ = 15,2 см 2 ; y₁ = 22/2 = 11 см.
Для швеллерного сечения: А₂ = 12 см 2 ; y₂ = 22 + d – z₀ = 22 + 0,32 – 1,25 = 21,07 см ,
где d – толщина стенки швеллера; z₀ – размер, определяющий положение центра тяжести швеллера.

Применим формулу для определения координаты центра тяжести всего сечения:

Источник