Способ определения линии пересечения поверхностей эксцентрических сфер

Способ определения линии пересечения поверхностей эксцентрических сфер

Способ эксцентрических сфер основан на том, что около всякой окружности можно описать бесчисленное множество сфер, геометрическим местом центров которых является прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная плоскости окружности. Этот способ применяется в следующих случаях:

• при определении линии пересечения поверхностей вращения со скрещивающимися осями;

• при определении линии пересечения поверхности вращения с поверхностью, имеющей круговые сечения.

В обоих случаях обязательным является наличие общей плоскости симметрии. Рассмотрим способ эксцентрических сфер на примере построения линии пересечения поверхностей конуса и кольца (рис. 113). Конус и кольцо имеют общую плоскость симметрии δ(δ₁), и их оси вращения i(i₁,i₂) и q(q₁,q₂ – скрещивающиеся прямые.

1. Определить опорные точки (рис. 114). Так как обе данные поверхности имеют общую плоскость симметрии δ(δ₁), параллельную плоскости проекций П₂, то их очерковые образующие, по отношению к плоскости П₂, пересекаются. Точки A(A₁,A₂) и B(B₁,B₂) пересечения этих образующих являются опорными точками.

Точка пересечения осей поверхностей принимается за центр вспомогательных концентрических сфер.

2. Для определения промежуточных точек в качестве вспомогательных поверхностей выбраны эксцентрические сферы, центры которых лежат на оси конуса.

Положение центров определяется следующим образом (рис. 115, 116): через ось кольца q(q₁,q₂) проводят плоскость σ(σ₂) ⊥ П₂ и заменяют «кривой цилиндр» (кольцо) соприкасающимся с ним по окружности прямым цилиндром (фронтальная проекция этого цилиндра показана на рис. 112 штрихпунктирными линиями). Ось этого цилиндра c ⊥ σ(c₂ ⊥ σ₂) и пересекает ось конуса в точке O:

Из точки O(O₂) проведена сфера такого радиуса r, чтобы она пересекала кольцо по окружности m(m₂).

Эта же сфера пересекает конус по окружности n (n₁,n₂). В пересечении окружностей m и n получаются точки C и D, принадлежащие искомой линии пересечения:

Чтобы построить горизонтальные проекции точек C и D, принадлежащих искомой линии пересечения, следует использовать окружность n (n₁,n₂) конической поверхности, так как она не искажается на плоскости проекций П₁:

3. Для определения точек E,F,G и H, принадлежащих искомой линии пересечения, проведены плоскости η(η₂) и μ(μ₂) (рис. 117). Центрами вспомогательных сфер являются точки O'(O’₂) и O»(O»₂) соответственно. Все остальные построения выполнены аналогичным образом.

4. Определить видимость очерковых образующих и линии пересечения поверхностей. На фронтальной проекции видимы будут те точки линии пересечения, которые лежат перед горизонтальной проекцией плоскости симметрии δ(δ₁), — точки A, G, C и B. На горизонтальной проекции поверхность конуса невидима, следовательно, невидима и вся линия пересечения. Искомая линия пересечения данных поверхностей u(u₁,u₂) приведена на рис. 117.

Рассмотрим также способ эксцентрических сфер на примере построения линии пересечения поверхности тора и наклонного (эллиптического) цилиндра (рис. 118).

В этом случае можно использовать способ эксцентрических сфер, так как одна из поверхностей является поверхностью вращения (тор), а другая (наклонный цилиндр) – поверхностью, имеющей круговые сечения, параллельные основанию цилиндра. Через любое круговое сечение можно провести бесконечное число сфер с центрами на перпендикуляре, восстановленном из центра кругового сечения. В данном случае центрами вспомогательных сфер будут точки пересечения оси вращения тора с перпендикулярами, восстановленными в центре произвольно выбранного кругового сечения цилиндра.

Причем обе поверхности имеют общую плоскость симметрии δ(δ₁), на которую круговые сечения поверхности цилиндра проецируются в виде отрезков прямых линий. Осями данных поверхностей являются прямые i(i₁,i₂) и q(q₁,q₂).

Алгоритм решения данной задачи состоит в следующем:

1. Сначала определяются опорные точки (рис. 119). Так как очерковые образующие обеих поверхностей лежат в одной плоскости – плоскости симметрии δ(δ₁), параллельной плоскости проекций П₂, точки A(A₁,A₂) и B(B₁,B₂) пересечения этих образующих являются опорными. .

2. Далее определяются промежуточные точки линии пересечения поверхностей (рис. 120). Порядок их определения сводится к следующему алгоритму:

2.1. Для определения кругового сечения поверхность цилиндра пересекается вспомогательной плоскостью β(β₂). Окружность d = β(β₂)∩ Ф kон – круговое сечение цилиндра.

2.2. Из точки L(L₂)=q₂ × β₂ , центра кругового сечения d(d₂), провести перпендикуляр до пересечения с осью i(i₁,i₂) тора. Точка O(O₂) является центром вспомогательной сферы.

2.3. Из точки O₂ радиусом, равным /O₂K₂/, построить окружность m(m₂) – фронтальную проекцию вспомогательной сферы. Затем определить линии пересечения вспомогательной сферы с данными поверхностями. С цилиндром сфера пересекается по окружности d(d₂), которая является его круговым сечением, а с поверхностью тора – по окружности l(l₁,l₂):

2.4. В пересечении окружностей d и l получаются точки C и D, принадлежащие искомой линии пересечения:

2.5. Чтобы построить горизонтальные проекции точек C и D, принадлежащих искомой линии пересечения, следует воспользоваться окружностью l(l₁,l₂) поверхности вращения, так как она не искажается на плоскости проекций П₁.

3. Аналогично определяются остальные точки линии пересечения поверхностей. Для определения точек E, F, G и H, принадлежащих искомой линии пересечения, проведены плоскости γ(γ₂) и η(η₂) (рис. 121). Пределы этих плоскостей по ширине определяют правая и левая опорные точки линии пересечения поверхностей – фронтальные проекции точек A и B. Центрами вспомогательных сфер являются точки O'(O’₂) и O»(O»₂) соответственно. Все остальные построения выполнены аналогичным образом.

4. В данном случае линия пересечения поверхностей цилиндра и тора представляет собой кривую второго порядка v(v₁,v₂) (см. рис. 121).

5. Точки S и P являются точками смены видимости. Их фронтальные проекции лежат на оси вращения цилиндра q(q₁,q₂), а горизонтальные проекции – на очерковых образующих цилиндра.

На фронтальной плоскости проекций видимы будут те точки линии пересечения, которые лежат перед горизонтальной проекцией очерковых образующих, проекции которых совпадают с плоскостью симметрии δ(δ₁), – точки A, G, S, E, С, B.

На горизонтальной плоскости проекций видимы точки P, H, A, G, S, фронтальные проекции которых лежат выше фронтальной проекции образующих, проекции которых совпадают с осью вращения цилиндра q(q₂).

Источник

Пересечение поверхностей. Метод секущих плоскостей

Пересечение поверхностей. Метод секущих сфер.

Для определения линии пересечения двух произвольных поверхностей вращения целесообразно воспользоваться одним свойством, присущим поверхностям вращения, которое состоит в том, что две любые соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, проходящим через точки пересечения меридианов поверхностей.

В частном случае, если одна из поверхностей вращения – сфера, приведенное выше предложение может быть сформулировано иначе: если центр секущей сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера пересечет данную поверхность по окружностям, число которых равно числу точек пересечения главных меридианов поверхностей.

Построить линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих сфер можно двумя способами:

1. Способом концентрических сфер;

2. Способом эксцентрических сфер.

Способ концентрических сфер.

Этот способ применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются. Для упрощения графического решения необходимо, чтобы плоскость, определяемая осями поверхностей вращения, была параллельной какой0либо плоскости проекции.

Способ эксцентрических сфер.

Способ эксцентрических сфер может быть использован для построения линии пересечения двух поверхностей, имеющих общую плоскость симметрии. При этом каждая поверхность, имеющих общую плоскость симметрии. При этом каждая поверхность должна иметь семейство окружностей. Как и в способе концентрических сфер, плоскость симметрии должна быть параллельна одной из плоскостей проекции.

Способ эксцентрических сфер можно применять и в тех случаях, когда из пересекающихся поверхностей не является поверхностью вращения. Необходимым условием является наличие на этой поверхности семейства окружностей, которые можно рассматривать как результат пересечения поверхности со сферой. В число условий входит также условие, чтобы перпендикуляры, восстановленные из центров круговых сечений, пересекали ось поверхности вращения.

Пересечение поверхностей. Метод секущих плоскостей.

В качестве поверхностей-посредников используют секущие плоскости. Этот способ применяется в тех случаях, когда можно найти в качестве поверхностей-посредников такие плоскости, которые пересекали бы обе заданные поверхности по геометрически простым линиям — окружностям и прямым (рис. 21). Чаще всего в качестве вспомогательных секущих плоскостей выбираются плоскости уровня, то есть плоскости, параллельные плоскостям проекций. Следует отметить, что способ вспомогательных секущих плоскостей применяется во всех случаях, то есть каждая из пересекающихся поверхностей может быть как гранной, так и поверхностью вращения.

На чертеже (рис. 21, 22) прямой конус вращения пересекается с полусферой.

Построение проекций линии взаимного пересечения поверхностей осуществляется в следующей последовательности:

Определяют на чертеже положения опорных точек кривой пересечения. Фронтальная проекция A2 самой высшей точки кривой пересечения определяется на пересечении главных меридианов пересекающихся поверхностей: для конуса главным меридианом является очерковый треугольник, а для полусферы — очерковая полуокружность во фронтальной плоскости проекций.

Проведя линию связи из точки A2 до пересечения с горизонтальной проекций главных меридианов, получаем горизонтальную проекцию A1 самой высшей точки кривой пересечения. То обстоятельство, что основания фигур располагаются непосредственно в горизонтальной плоскости проекций (рис. 22) позволяет выявить положения самых низших точек 1 и 2 кривой пересечения.

Действительно, точки 11 и 21 пересечения проекций оснований фигур являются горизонтальными проекциями самых низших точек 1 и 2 кривой персечения. Их фронтальные проекции 12 и 22 располагаются на оси ОХ и определяются пересечением оси ОХ с линиями связи, проведенными из точек 11 и 21. В тоже время по отношению к наблюдателю точки 1(11;12) и 2(21;22) являются самой близкой и самой дальней точками кривой пересечения соответственно.

Все точки, кроме A, 1 и 2 являются регулярными точками кривой пересечения. Для определения на чертеже положения их проекций используют способ вспомогательных секущих плоскостей. При этом необходимо удачно выбрать положение секущей плоскости. Это положение выбирают таким образом, чтобы в сечении каждой из заданных поверхностей вращения получались графически простые линии — прямые или окружности.

В данной задаче в качестве вспомогательных секущих плоскостей выбирают горизонтальные плоскости уровня, так как они пересекают обе поверхности: конус и полусферу, по графически простым линиям — окружностям. На чертеже проводят одну секущую плоскость α1, задав ее фронтальным следом α21. Далее строят проекции параллелей — окружностей сечения секущей плоскостью α1 конуса и полусферы. На чертеже фронтальные проекции этих параллелей l2 и m2 располагаются на следе α21 секущей плоскости α1.

Горизонтальные проекции l1 и m1 этих параллелей представляют собой окружности с центрами S1 и O1, радиусами R и R′ соответственно. В пересечении горизонтальных проекций l1 и m1 параллелей получают горизонтальные проекции 41 и 51 регулярных точек кривой пересечения. Проведя линии связи из точек 41 и 51 до пересечения со следом α21 секущей плоскости α1, получают фронтальные проекции 42 и 52 кривой пересечения. Построенные точки 4(41; 42) и 5(51; 52) являются регулярными точками кривой пересечения. Аналогичным образом проводят несколько ниже секущие плоскости α2 — α6, задав их на чертеже фронтальными следами α22 — α26, и строят регулярные точки 6(61; 62) — 15(151; 152) кривой пересечения поверхностей.

После построения на чертеже проекций опорных и регулярных точек кривой соединяют их одноименные проекции плавной кривой (при помощи лекала) и получают горизонтальную и фронтальную проекции кривой взаимного пересечения заданных поверхностей. По чертежу устанавливают, что конус и полусфера имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций. Тогда горизонтальные проекции точек кривой пересечения окажутся расположенными симметрично относительно горизонтального следа главной меридианальной плоскости, являющейся общей для обеих фигур.

Фронтальные проекции точек кривой пересечения будут совпадать, так как в этом случае они являются конкурирующими по отношению к фронтальной плоскости проекций. Причем проекции точек, расположенных перед главной меридианальной плоскостью фигур, будут видимыми на фронтальной плоскости проекций, а расположенных за ней — невидимыми. Горизонтальные проекции точек кривой пересечения являются видимыми, поэтому горизонтальная проекция кривой пересечения проводится на чертеже сплошной линией.

В заключение отметим, что способ вспомогательных секущих плоскостей уровня используется тогда, когда оси вращения обеих поверхностей (если обе поверхности являются поверхностями вращения) располагаются перпендикулярно одной из плоскостей проекций.

В том случае, когда при пересечении обеих поверхностей одной секущей плоскостью невозможно получить в сечениях графически простые линии — прямые или окружности применяется способ вспомогательных секущих сфер.

Источник