Тема 27 Методология работы с суждениями
Методы обоснования истинности суждений.
Под обоснованием суждений в общем случае понимается обоснование их истинности, т.е. справедливости приписывания суждению семантической оценки истина. Обоснование теорий обычно понимается как задача обоснования истинности образующих эти теории предложений (утверждений, положений, законов). Истина есть соответствие приписывания (предиката суждения его субъекту) присущности (свойств или отношений, выражаемых предикатом, объекту, выражаемому субъектом). Ложность — это логическое отрицание истинности. Истинность может быть самых разнообразных семиотических типов, видов, индивидуальных для каждой теории характеристик, о чем ниже будет сказано. В соответствии с этим и методы обоснования истинности бывают самые различные.
Кроме истинностных значений «истинно» и «ложно» суждения могут иметь другие семантические оценки, например, «неопределенно», «правдоподобно», «бессмысленно», и т.п., на некоторых из которых в дальнейшем мы остановимся подробнее. Истинность характеризуется принципом относительности к принятым идеализациям и принципом плюрализма.
В науке при обосновании суждений употребляется и принимается оценка истинности, при которой истинность понимается как оценка, имеющая множество градаций. Этой оценкой является правдоподобность. Правдоподобность представляет собой бесконечное упорядоченное множество оценок (градаций) от нуля до единицы. Нулевое значение интерпретируется как крайняя степень ложности, а значение единицы — как крайняя степень истинности.
Гносеологическая интерпретация этих градаций весьма затруднительна, хотя и представляется интуитивно приемлемой. Дело в том, что остается неясным, как приписать значениям правдоподобности степени ложности или истинности как степеней отображения действительности. Например, какого рода истинности приписать самую высокую оценку 1? Вроде бы на эту оценку должна претендовать абсолютная истинность. Если абсолютную истинность понимать как непреходящую во времени истинность при данных идеализациях, то ее нельзя считать наивысшей степенью истинности. Не ясно, как понимать правдоподобность, имеющую степень 1/2. Как полуистинность? Но что это такое? И что такое 1/100 или 1/1000 истинности? Как все это интерпретировать на фактах реального чувственного или рационального мышления — не ясно. Оценка «эмпирически истинно» понимается как определенная степень правдоподобности, т.е. как ее частный случай. Далее мы увидим, что индуктивное обоснование суждения является обоснованием лишь его правдоподобности, а дедуктивное — истинности, что с оценкой аналитических суждений связана оценка истинности, а с оценкой эмпирических суждений — оценка правдоподобности.
Все науки претендуют на истину. Но что такое истина? Каким принципам она отвечает? В этом состоит вопрос, в отечественной литературе почти не решенный.
Чтобы дать ответ на этот вопрос, необходимо дать вербальное определение истины, а также и других понятий, являющихся основными при формулировке принципов, касающихся истинности. Определение термина «истина» можно найти в Философской энциклопедии (М., 1960-1970). Там истинность понимается как «адекватное отражение объективной реальности» (Т.2.- С.345.). Тут надо пояснить, что это такое. Под «реальностью» (действительностью) понимается все существующее на этом свете, даже в мыслях. Реальность подразделяется на два вида: существующее только в мыслях, т.е. в сознании, и существующее независимо от мыслей (в объективной действительности), т.е. вне и независимо от сознания. Последнее называется объективной реальностью, или материей, а первое субъективной реальностью, или идеальным. Материальное может отражаться в сознании в виде идеального образа. Это отражение может быть, по мнению авторов энциклопедии, либо адекватным, либо не адекватным. Адекватное отражение это отражение «точное». Впрочем, трудно сказать, что именно имели в виду авторы энциклопедии под термином «адекватное отражение». Но главное здесь в том, что это отражение только «объективной реальности», а не субъективной (идеальной).
Тогда законы всех наук должны быть законами (т.е. отражением существенных свойств изучаемых науками объектов), отражающими только материальную (объективную) реальность. Значит, истинность не может быть характеристикой отражения субъективной (идеальной) реальности. Но вот это как раз и не так. Например, рассмотрим законы математических теорий, допустим, арифметики действительных чисел. Они отражают свойства и отношения чисел, т.е. объектов отнюдь не материальных, а идеальных. И ни на какой объективной реальности нельзя вычислять интегралы или дифференциалы. Это можно делать только на математических объектах (числах), отнюдь не материальных. То, что предмет математики не материален, а идеален, знали уже в Древней Греции.
В зарубежной литературе и у некоторых логиков в нашей стране истинность определяется как соответствие приписывания (предиката суждения его субъекту) присущности (свойств или отношений, обозначаемых предикатом, предмету, обозначенному субъектом суждения). Поясним сказанное.
Суждение это предложение, в котором утверждается или отрицается у объекта какое-либо свойство или отношение. Иначе говоря, мы в положительной или отрицательной форме приписываем объекту некоторое свойство или отношение. При этом не имеет значения, о каком свойстве, отношении или объекте идет речь о материальном или идеальном. Например, числу 2 мы можем приписать свойства быть четным, быть простым, быть зеленым и т.д. Некоторые из перечисленных свойств действительно присущи числу 2, а некоторые нет. Что имеет место? Примеры материальной присущности или не присущности мы приводить не будем ввиду их общедоступности и известности.
Что такое идеализация?
Под идеализацией иногда понимают доведение каких-то свойств или отношений объекта до «предела», т.е. до бесконечности или до нуля. Будем считать это узким понятием идеализации. Из физики хорошо известны такие идеализации как «абсолютно упругое тело», «идеальный газ», «идеальная жидкость» и т.п.
Вообще, всякое вербальное определение дается через характерный для данного тела признак в отвлечении от всех других признаков. А этот выделенный признак может быть увеличен вплоть до бесконечности. Например, скорость тела может быть увеличена до бесконечности, хотя в материальной действительности такого не бывает.
Напротив, все не существенные признаки могут быть доведены до нуля. Например, если размеры тела не существенны, то масса тела может быть помещена в точку с нулевыми размерами. Так появляется понятие «физической точки».
Однако есть и более широкое понятие идеализации, когда под идеализацией понимается всякое чисто умственное представление о теле. Например, науки рассматривают не отдельные тела, а то, что имеется общего между ними, т.е. обобщают. Но такому пониманию ничего не соответствует в действительности. Это просто абстракция. И все это дается благодаря вербальным определениям. Например, мы уже дали вербальное определение человеку. Это не конкретный человек, а «человек вообще», которого в материальной действительности не существует. Значит, наше определение человека дает нам идеализированного человека. Мы получили понятие о человеке, но не о конкретном человеке.
Теперь можно сформулировать принцип относительности истинности применительно к принятым идеализациям (сокращенно: принцип относительности истинности). Но в начале кратко охарактеризуем требования, предъявляемые к формулировке принципов, т.е. то, что надо выполнить, чтобы ввести какой-то новый принцип. Эти условия следующие:
1. Дать название принципу (но не его определение).
2. Вербально определить основные понятия принципа.
3. Дать формулировку принципа, т.е. дать его вербальное определение.
4. Показать истинность принципа.
5. Показать его применимость для решения задач, стоящих перед наукой, в которой этот принцип формулируется.
Название принципу мы уже дали. Это принцип относительности истинности.
Но мы могли бы дать название, например, путем указания фамилии автора принципа или еще по какому-либо признаку. Это неважно. Существуют названия «Закон (или принцип, что все едино) Архимеда», «Принцип Ома», «Принцип относительности Эйнштейна» и т.п. Однако принцип должен быть сформулирован с помощью понятий, вербальные определения которых нужно представить. Для этой формулировки нужны следующие основные понятия: истинность, идеализация, относительность истинности к принятым идеализациям.
Безотносительное обоснование суждений.
Безотносительно обосновываемые суждения классифицируем на (1А) эмпирически обосновываемые и (1Б) аналитически обосновываемые (1А). Эмпирически обосновываемые суждения есть суждения, истинность которых устанавливается эмпирическими методами наблюдения, измерения, материального (не мысленного) эксперимента. Ясно, что такому обоснованию подлежат суждения только о материальных эмпирически воспринимаемых объектах. Такие суждения называются эмпирическими суждениями, а их истинность — эмпирической истинностью. Из эффективного определения эмпирической истинности следует метод ее установления.
Метод обоснования эмпирической истинности:
1. Выявить логические термины суждения, если они есть, и его дескриптивные эмпирические термины, обозначающие конкретные эмпирически данные объекты.
2. Уточнить значение эмпирических дескриптивных терминов на основе эмпирических восприятий, обозначаемых этими терминами объектов.
3. Установить истинность эмпирического суждения методами наблюдения, измерения или эксперимента.
Например, из эмпирического опыта (многочисленных примеров) нам известно, что такое красный цвет (его вербальное определение может быть неизвестным). Нам эмпирически дано и Солнце. Путем наблюдения мы можем обосновать истинность утверждения о том, что Солнце красное. Эмпирически оно действительно истинно.
Эмпирическая истинность является фактуальной истинностью. Фактуальная эмпирическая истинность — это истинность, устанавливаемая на основе эмпирического восприятия объектов, обозначаемых дескриптивными эмпирическими терминами. В общем случае дескриптивным термином называется термин, который обозначает какие-либо конкретные объекты, свойства, отношения, множества объектов. При этом неважно, материальные это объекты или абстрактные. Если материальные, то не имеет значения, могут они чувственно восприниматься или не могут. Например, дескриптивными терминами будут термины, обозначающие человека (материальный чувственно воспринимаемый объект), кварки (материальные чувственно не могущие быть воспринимаемыми объекты), точку (абстрактный, не могущий быть чувственно воспринимаемым объект), белизну (чувственно воспринимаемое материальное свойство), четность (абстрактное, чувственно не воспринимаемое свойство). В целом дескриптивные термины делятся на эмпирические и аналитические.
Но есть в принципе ненаблюдаемые физические объекты, например, такие как кварки, виртуальные частицы, резонансы. Ясно, что к ненаблюдаемым материальным объектам эмпирические методы установления истинности суждений об этих объектах не применимы. Поэтому такие суждения не являются эмпирическими суждениями (эмпирически истинными суждениями, или просто эмпирическими истинами). Какие конкретно суждения эмпирические, а какие нет — это дело частной методологии конкретных наук, а не общей методологии.
Метод непосредственного обоснования логической истинности высказываний:
1. Выявить логические термины суждения и только их, отвлекаясь от дескриптивных терминов.
2. Уточнить смысл логических терминов. Для этого можно воспользоваться данными формальной логики.
3. На этой основе обосновать логическую истинность суждения, применяя правила определения смысла логических терминов «и», «или», «если. то. «, «не», например, следующие. Высказывание «А и В» истинно, если и высказывание А, и высказывание В истинны. Высказывание «А или В» истинно, если, по меньшей мере, одно из этих высказываний истинно. Высказывание «Если А, то В» истинно, если при истинности А истинно В. Высказывание «не-А» истинно, если ложно высказывание А.
Сложное высказывание логически истинно, если оно истинно при выше определяемом смысле логических терминов при всех значениях (истина, ложь) входящих в него переменных высказываний А, В, и т.п.
Метод обоснования аналитической фактуальной истинности:
1. Выявить логические термины, если они имеются, и уточнить их смысл.
2. Выявить теоретические дескриптивные термины и уточнить их смысл путем уточнения вербальных определений.
3. На этой основе смысла логических и дескриптивных терминов установить истинностное значение суждения: либо обосновать его аналитическую истинность, либо показать ее отсутствие.
В данном случае истинность суждения усматривается из определений входящих в него понятий. При этом способы этого «усмотрения» бывают весьма различными: от интуитивного усмотрения на основе неточных, неэффективных определений до логического вывода суждения из определений входящих в это суждение терминов. Но последнее характерно в основном для логики и математики.
Источник
Способы обоснования истинности суждений
3.7. Способы обоснования истинности суждений
Непременным условием развивающего обучения является формирование у учащихся способности обосновывать (доказывать) те суждения, которые они высказывают. В практике эту способность обычно связывают с умением рассуждать, доказывать свою точку зрения.
Суждения бывают единичными: в них что–то утверждается или отрицается относительно одного предмета. Например: «Число 12 –четное; квадрат АВСD не имеет острых углов; уравнение 23–х = 30 не имеет решения (в рамках начальных классов) и т. д.».
Помимо единичных суждений различают суждения частные и общие. В частных что–то утверждается или отрицается относительно некоторой совокупности предметов из данного класса или относительно некоторого подмножества данного множества предметов. Например: «Уравнение х – 7 = 10 решается на основе взаимосвязи между уменьшаемым, вычитаемым и разностью». В этом суждении речь идет об уравнении частного вида, представляющего собой подмножество множества всех уравнений, изучаемых в начальных классах.
В общих суждениях что–то утверждается или отрицается относительно всех предметов данной совокупности. Например:
«В прямоугольнике противоположные стороны равны». Здесь речь идет о любом, т.е. о всех прямоугольниках. Поэтому суждение является общим, хотя в данном предложении слово «всех» отсутствует. Любое уравнение в начальных классах решается на основе взаимосвязи между результатами и компонентами арифметических действий. Это также общее суждение, так как охватывает всевозможные уравнения, встречающиеся в курсе математики начальных классов.
Предложения, выражающие суждения, могут быть различными по форме: утвердительными, отрицательными, условными (например: «если число оканчивается нулем, то оно делится на 10»).
Как известно, в математике все предложения, за исключением исходных, как правило, доказываются дедуктивно. Суть дедуктивных рассуждений сводится к тому, что на основе некоторого общего суждения о предметах данного класса и некоторого единичного суждения о данном объекте высказывается новое единичное суждение о том же объекте. Общее суждение принято называть общей посылкой, первое единичное суждение – частной посылкой, новое единичное суждение – заключением. Пусть, например, требуется решить уравнение: 7*x=14. Для нахождения неизвестного множителя используется правило: «Если значение произведения разделить на один множитель (известный), то получим другой (значение неизвестного множителя)».
Это правило (общее суждение) – общая посылка. В данном уравнении произведение равно 14, известный множитель 7. Это частная посылка.
Заключение: «нужно 14 разделить на 7, получим 2». Особенность дедуктивных рассуждений в начальных классах заключается в том, что они применяются в неявном виде, т. е. общая и частные посылки в большинстве случаев опускаются (не проговариваются), ученики сразу приступают к действию, которое соответствует заключению.
Поэтому, собственно, и создается впечатление, что дедуктивные рассуждения отсутствуют в курсе математики начальных классов.
Для сознательного выполнения дедуктивных умозаключений необходима большая подготовительная работа, направленная на усвоение вывода, закономерности, свойства в общем виде, связанная с развитием математической речи учащихся. Например, довольно длительная работа по усвоению принципа построения натурального ряда чисел позволяет учащимся овладеть правилом:
«Если к любому числу прибавить 1, то получим следующее за ним число; если из любого числа вычтем 1, то получим предшествующее ему число».
Составляя таблицы П+1 и П – 1, ученик фактически пользуется этим правилом как общей посылкой, выполняя тем самым дедуктивные рассуждения. Примером дедуктивных умозаключений в начальном обучении математике является и такое рассуждение:
«4 или =, чтобы получилась верная запись:
учащиеся предпочитают заменять рассуждения вычислениями:
125–87 . 127–87 246–93 . 249–93 584–121. 588– 121
4. Сравни выражения и поставь знаки или = :
304:8 . 3044 243:9 . 243:3 1088:4 . . 1088:2
5. Как быстро найти сумму в каждом столбике:
9999 12 15 12 16 30 30 32 32 40 40 40 40 Ответ: 91.
Таким образом, дедуктивные рассуждения могут являться одним из способов обоснования истинности суждений в начальном Курсе математики. Учитывая, что они доступны не всем младшим школьникам, в начальных классах используются и другие способы обоснования истинности суждений, которые в строгом смысле нельзя отнести к доказательствам. К ним относятся эксперимент, вычисления и измерения.
Эксперимент обычно связан с применением наглядности и предметных действий. Например, ребенок может обосновать суждение 7 > 6, выложив в одном ряду 7 кругов, под ним – 6. Установив между кругами первого и второго ряда взаимно–однозначное соответствие, он фактически обосновывает свое суждение (в первом ряду один круг без пары, «лишний», значит, 7>6). Ребенок может обращаться к предметным действиям и для обоснования истинности полученного результата при сложении, вычитании, умножении и делении, при ответе на вопросы: «На сколько одно число больше (меньше) другого?», «Во сколько раз одно число больше (меньше) другого?». Предметные действия могут быть заменены графическими рисунками и чертежами. Например, для обоснования результата деления 7:3=2 (ост.1) он может использовать рисунок:
Для формирования у учащихся умения обосновывать свои суждения полезно предлагать им задания на выбор способа действия (при этом оба способа могут быть: а) верными, б) неверными, в) один верным, другой неверным). В этом случае каждый предложенный способ выполнения задания можно рассматривать как суждение, для обоснования которого учащиеся должны использовать различные способы доказательств.
Например, при изучении темы «Единицы площади» учащимся предлагается задание (М2И):
Во сколько раз площадь прямоугольника АВСD больше прямоугольника КМЕО? Запиши ответ числовым равенством.
Маша записала такие равенства: 15:3=5, 30:6=5.
Миша – такое равенство: 60:12=5.
Кто из них прав? Как рассуждали Миша и Маша?
Для обоснования суждений, высказанных Мишей и Машей, учащиеся могут использовать как способ дедуктивных рассуждений, где в качестве общей посылки выступает правило кратного сравнения чисел, так и практический. В этом случае они опираются на приведенный рисунок.
Предлагая способ решения задачи, учащиеся также высказывают суждения, используя для их доказательства математическое содержание, данное в сюжете задачи. Прием выбора готовых суждений активизирует эту деятельность. В качестве примера можно привести такие задания:
Туристы в первый день прошли 18 км, во второй день, двигаясь с той же скоростью, они прошли 27 км. С какой скоростью шли туристы, если они затратили на весь путь 9 ч?
Миша записал решение задачи так:
3) 2+3=5 (км/ч) Маша – так:
2) 45:9=5 (км/ч) Кто из них прав: Миша или Маша?
Сколько картофелин собрали с 10 кустов, если с трех собрали по 7 картофелин, с четырех по 9, с шести по 8, а с семи по 4 картофелины? Маша решила задачу так:
3) 21+28=49 (к.) Ответ: 49 картофелин собрали с 10 кустов. А Миша так решил задачу:
3) 36+48=84 (к.) Ответ: 84 картофелины собрали с 10 кустов. Кто из них прав?
Процесс выполнения любого задания должен всегда представлять цепочку суждений (общих, частных, единичных), для обоснования истинности которых учащиеся используют различные способы.
Покажем это на примере заданий:
V Вставь числа в «окошки», чтобы получились верные равенства:
П : 6 = 27054 П:7= 4083 (ост. 4)
Учащиеся высказывают общее суждение: «если значение частного умножим на делитель, то получим делимое». Частное суждение: «значение частного – 27054, делитель – б». Заключение:
Теперь в качестве общей посылки выступает алгоритм письменного умножения, находится результат: 162324. Высказывается суждение: 162324:6=27054.
Истинность этого суждения можно проверить, выполнив деление «уголком» или воспользовавшись калькулятором.
Аналогично поступают со второй записью.
Составь верные равенства, используя числа: 6, 7, 8, 48, 56.
Учащиеся высказывают суждение:
6*8=48 (обоснование – вычисления) 56 – 48=8 (обоснование – вычисления)
8*6=48 (для обоснования суждения можно воспользоваться общей посылкой: «от перестановки множителей значение произведения не изменится»).
48:8=6 (тоже возможна общая посылка и т.д.)’ Таким образом, в большинстве случаев для обоснования истинности суждений в начальном курсе математики учащиеся обращаются к вычислениям и дедуктивным рассуждениям. Так, обосновывая результат при решении примера на порядок действия, они пользуются общей посылкой в виде правила порядка действий, затем выполняют вычисления.
Измерение как способ обоснования истинности суждений обычно применяется при изучении величин и геометрического материала. Например, суждения: «синий отрезок длиннее красного», «стороны четырехугольника равны», «одна сторона прямоугольника больше другой» дети могут обосновать измерением.
• Задание 93. Опишите способы обоснований истинности суждений. высказанных учащимися при выполнении следующих заданий. При изучении каких вопросов курса математики начальных классов целесообразно предложить эти задания 9
Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что значения выражений в каждом столбике одинаковы:
9*7+9+5 8*6+8+3 7*9+9+5 8*7+3 9*8+5 7*8+3
Можно ли утверждать, что значения выражений в каждом столбике ‘одинаковы:
12*5 16*4 (8+4)*5 (8+8)*4 (7+5)*5 (9+7)*4 (10+2)*5 (10+6)*4
Вставь знаки или =, чтобы получились верные записи:
(14+8)*3 . 14*3+8*3 (27+8)*6 . 27*6+8 (36+4)*18 . 40*18 .
Какие знаки действий нужно вставить в «окошки», чтобы получить верные равенства
8*8=8П7П8 8*3=8П4П8 8*6=6П8П0 8*5=8П0П32
Можно ли утверждать, что значения выражений в каждом столбике одинаковы:
8*(4*6) (9*3)*3 8*24 2*27 (8*4)*6 9*(3*2) 6*32 (2*3)*9
Источник
