Способ неопределенных коэффициентов интегралы

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь вида

– многочлены степени m и n соответственно. Рациональная дробь называется правильной , если степень числителя меньше степени знаменателя (m Пример 1

Интегралы, содержащие в знаменателе квадратный трехчлен, можно вычислить, применяя прием выделения полного квадрата разности или суммы. Рассмотрим пример такого интеграла.

Алгоритм интегрирования рациональной дроби

1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен, т.е. представить в виде:

2. Знаменатель разложим на простейшие сомножители: Q_n(x)

3. Представим дробь

виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

1. Приведем все дроби в разложении к общему знаменателю и приравняем числители в обеих частях равенства.
2. Составим систему уравнений, используя равенство многочленов, стоящих в числителе, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x.
3. Решим систему уравнений, находя некоторые коэффициенты методом частных значений, полагая равным действительным корням знаменателя.
4. Подставим найденные коэффициенты A₁,A₂,…,C_s,D_s в разложение дроби.
5. Проинтегрируем простейшие дроби.

Примеры интегрирования рациональных функций

Пример 4.

Корни знаменателя: x=1, а x 2 +1 = 0 не имеет действительных корней.

Тогда разложение для данной дроби имеет вид:

Приводя полученные дроби к общему знаменателю, получим тождество:

Вычислим коэффициенты разложения, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях. Так как знаменатель имеет три действительных различных корня, то три коэффициента найдем методом частных значений.

Подставим найденные коэффициенты в разложение и проинтегрируем дроби.

Источник

Способ неопределенных коэффициентов интегралы

Если дробь неправильная (т.е. степень \(\) больше степени \(\)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

Разложить знаменатель \(\) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов ;

Вычислить интегралы от простейших дробей.

Рассмотрим указанные шаги более подробно.

Если дробь неправильная (т.е. степень числителя \(\) больше степени знаменателя \(\)), разделим многочлен \(\) на \(.\) Получим следующее выражение: \[\frac<><> = F\left( x \right) + \frac<><>,\] где \(\large\frac<><>\normalsize\) − правильная рациональная дробь.

Запишем многочлен знаменателя \(\) в виде \[ = <<\left( \right)^\alpha > \cdots <\left( \right)^\beta > <\left( <+ px + q> \right)^\mu > \cdots <\left( <+ rx + s> \right)^\nu >,> \] где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.

Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель \(\) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями \(x.\) В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов \(,\) \(,\) \(,\) \(,\) \(,\) \(, \ldots\) Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов .

Источник

Знакомимся с методом неопределённых коэффициентов!

Приветствую всех, дорогие друзья!

Ну что, поздравляю! Мы с вами благополучно добрались до основного материала в интегрировании рациональных дробей — метода неопределённых коэффициентов. Великого и могучего.) В чём же заключается его величество и могущество? А заключается оно в его универсальности. Имеет смысл ознакомиться, правда? Предупреждаю, что уроков по данной теме будет несколько. Ибо тема очень длинная, а материал крайне важный. )

Сразу скажу, что в сегодняшнем уроке (и последующих тоже) мы будем заниматься не столько интегрированием, сколько… решением систем линейных уравнений! Да-да! Так что те у кого проблемы с системами, повторите матрицы, определители и метод Крамера. А тех товарищей, у кого и с матрицами туго, призываю, на худой конец, освежить в памяти хотя бы «школьные» методы решения систем — метод подстановки и метод почленного сложения/вычитания.

Для начала нашего знакомства отмотаем плёнку немного назад. Ненадолго вернёмся к прошлым урокам и проанализируем все те дроби, которые мы с вами интегрировали до этого. Напрямую, безо всякого метода неопределённых коэффициентов! Вот они, эти дроби. Я рассортировал их по трём группам.

Группа 1

В знаменателе — линейная функция либо сама по себе, либо же в степени. Одним словом, в знаменателе стоит произведение одинаковых скобок вида (х-а).

И так далее. Кстати, пусть вас не смущают скобки (4х+5) или (2х+5) 3 с коэффициентом k внутри. Это всё равно, по своей сути, скобки вида (х-а). Ибо это самое k из таких скобок всегда можно вынести наружу.

Вот и всё.) И неважно, что именно при этом стоит в числителе — просто dx или же многочлен какой. Мы всегда раскладывали числитель по степеням скобки (x-a), превращали большую дробь в сумму маленьких, подводили (где надо) скобку под дифференциал и интегрировали.

Группа 2

Что общего у этих дробей?

А общее то, что во всех знаменателях стоит квадратный трёхчлен ax 2 +bx+c. Но не просто, а именно в единственном экземпляре. И неважно здесь, положительный у него дискриминант или отрицательный.

Такие дроби всегда интегрировались одним из двух способов — либо разложением числителя по степеням знаменателя, либо выделением полного квадрата в знаменателе с последующей заменой переменной. Всё зависит от конкретной подынтегральной функции.

Группа 3

Это были самые нехорошие для интегрирования дроби. В знаменателе — неразложимый квадратный трёхчлен, да ещё и в степени n. Но, опять же, в единственном экземпляре. Ибо, кроме трёхчлена, других множителей в знаменателе нету. Такие дроби интегрировались по рекуррентной формуле . Либо напрямую, либо сводились к ней после выделения полного квадрата в знаменателе и последующей замены переменной.

Однако, к сожалению, всё богатое многообразие рациональных дробей не ограничивается только лишь этими тремя рассмотренными группами.

А как быть, если в знаменателе стоят разные скобки? Например, что-нибудь типа:

Или одновременно скобка (х-а) и квадратный трёхчлен, что-то типа (х-10)(х 2 -2х+17)? И в других подобных случаях? Вот, именно в таких случаях и приходит на помощь метод неопределённых коэффициентов!

Сразу скажу: работать мы пока что будем только с правильными дробями. Теми, у которых степень числителя строго меньше степени знаменателя. Как быть с неправильными дробями, подробно рассказано в первом уроке по дробям. Надо выделять целую часть (многочлен). Делением уголком числителя на знаменатель или разложением числителя — как хотите. И даже пример разобран. А многочлен вы уж как-нибудь худо-бедно проинтегрируете. Не маленькие уже поди.) Но на неправильные дроби тоже порешаем примеры!

А теперь начинаем знакомиться. В отличие от большинства учебников по высшей математике, наше знакомство мы начнём не с сухой и грузной теории про основную теорему алгебры, теорему Безу, про разложение рациональной дроби на сумму простейших (об этих дробях позже) и прочего занудства, а начнём мы с несложного примера.

Например, нам требуется найти вот такой неопределённый интеграл:

Первый взгляд на подынтегральную дробь. В знаменателе стоит произведение трёх скобок:

Причём все скобки разные. Поэтому наша старая технология с разложением числителя по степеням знаменателя в этот раз уже не прокатывает: какую именно скобку выделять в числителе? (х-1)? (х+3)? Непонятно… Выделение полного квадрата в знаменателе — тоже не в кассу: там многочлен третьей степени (если перемножить все скобки). Что делать?

При взгляде на нашу дробь возникает вполне естественное желание… Прямо-таки непреодолимое! Из нашей большой дроби, которую неудобно интегрировать, как-то сделать три маленьких. Хотя бы вот так:

Почему именно такой вид надо искать? А всё потому, что в таком виде наша исходная дробь уже удобна для интегрирования! Подводим знаменатель каждой маленькой дроби под дифференциал и — вперёд.)

А можно ли вообще получить такое разложение? Новость хорошая! Соответствующая теорема математики гласит — да, можно! Такое разложение существует и единственно.

Но есть одна проблемка: коэффициенты А, В и С мы пока не знаем. И сейчас нашей основной задачей как раз и будет их определить. Узнать, чему же равны наши буковки А, В и С. Отсюда и название — метод неопределённых коэффициентов. Начнём наше сказочное путешествие!

Итак, у нас есть равенство, от которого мы начинаем плясать:

Давайте приведём справа все три дроби к общему знаменателю и сложим:

Теперь можно смело отбросить знаменатели (ибо они одинаковы) и просто приравнять числители. Всё как в обычном дробно-рациональном уравнении:

Следующим шагом раскрываем все скобки (коэффициенты А, В и С пока лучше оставить снаружи):

Далее вставляем все коэффициенты внутрь скобок и избавляемся от этих самых скобок:

А теперь (важно!) выстраиваем всю нашу конструкцию справа по старшинству степеней: сначала собираем в кучку все члены с х 2 , потом — просто с иксом и, наконец, собираем свободные члены. Фактически, просто приводим подобные и группируем слагаемые по степеням икс.

А теперь осмысливаем результат. Слева — наш исходный многочлен. Второй степени. Числитель нашей подынтегральной дроби. Справа — тоже некоторый многочлен второй степени. Но с неизвестными коэффициентами. Данное равенство должно быть справедливо при всех допустимых значениях икс. Дроби-то слева и справа были одинаковые (по нашему условию)! Это означает, что их числители (т.е. наши многочлены) — тоже одинаковые. Стало быть, коэффициенты при одинаковых степенях икс у этих многочленов обязательно должны быть равны!

Начинаем с самой старшей степени. С квадрата. Смотрим, что за коэффициенты у нас стоят при х 2 слева и справа. Справа у нас стоит сумма коэффициентов А+В+С, а слева — двойка. Так у нас рождается первое уравнение.

Есть. Первое уравнение готово.)

Далее идём по снижающейся траектории — смотрим на члены с иксом в первой степени. Справа при икс у нас стоит 8А+4В+2С. Хорошо. А что у нас при икс стоит слева? Гм… Слева вообще никакого слагаемого с иксом нету! Там только 2х 2 — 3. Как быть? Очень просто! Это значит, что коэффициент при икс слева у нас равен нулю! Мы же можем записать нашу левую часть вот так:

А что? Имеем полное право.) Отсюда второе уравнение выглядит так:

Ну вот, практически, и всё. Осталось приравнять свободные члены:

Одним словом, приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях икса происходит по такой схеме:

Все три наших равенства должны выполняться одновременно. Поэтому собираем из наших выписанных уравнений систему:

Системка не самая трудная для прилежного студента — три уравнения и три неизвестных. Как хотите, так и решайте. Можно методом Крамера через матрицы с определителями, можно методом Гаусса, можно даже обычной школьной подстановкой.

Для начала я решу эту систему так, как обычно решают такие системы культурные студенты. А именно — методом Крамера.

Решение начинаем с составления матрицы системы. Напоминаю, что эта матрица — просто табличка, составленная из коэффициентов при неизвестных.

А вот дальше начинаем вычислять определители. Муторно немного, но ничего не поделать. Не школьники уже поди.)

Первым делом вычисляем определитель матрицы системы. Или, коротко, определитель системы. Обычно он обозначается греческой буквой ∆ («дельта»):

Отлично, определитель системы не равен нулю (-48 ≠0) . Из теории систем линейных уравнений этот факт означает, что наша система совместна и имеет единственное решение.

Следующим шагом вычисляем определители неизвестных ∆_A, ∆_B, ∆_C. Напоминаю, что каждый из этих трёх определителей получается из основного определителя системы путём замены столбцов с коэффициентами при соответствующих неизвестных на столбец свободных членов.

Вот и составляем определители и считаем:

Подробно объяснять технику вычисления определителей третьего порядка я здесь не буду. И не просите. Это уже совсем отклонение от темы будет.) Кто в теме, тот понимает, о чём речь. И, возможно, уже догадался, каким именно способом я вычислил эти три определителя.)

А дальше уже находим неизвестные А, B и С по формулам Крамера:

Вот всё и готово.)

Так обычно решают системы культурные студенты. Но… Не все студенты дружат с матрицами и определителями. К сожалению. Для кого-то эти простые понятия высшей математики так навсегда и остаются китайской грамотой и таинственным монстром в тумане…

Что ж, специально для таких некультурных студентов предлагаю более привычный способ решения — метод последовательного исключения неизвестных. Фактически, это продвинутый «школьный» метод подстановки. Только шагов побольше будет.) Но суть та же самая. Первым делом я исключу переменную С. Для этого я выражу С из первого уравнения и подставлю во второе и третье:

Упрощаем, приводим подобные и получаем новую систему, уже с двумя неизвестными:

Теперь, в этой новой системе, тоже можно выразить одну из переменных через другую. Но самые внимательные студенты, возможно, заметят, что коэффициенты перед переменной B — противоположны. Два и минус два. Стало быть, очень удобно будет сложить между собой оба уравнения, чтобы исключить переменную В и оставить только букву А.

Складываем левые и правые части, мысленно сокращаем 2B и -2B и решаем уравнение только относительно А:

Есть. Первый коэффициент найден: А = -1/24.

Определяем второй коэффициент В. Например, из верхнего уравнения:

Отлично. Второй коэффициент тоже найден: B = -15/8. Осталась ещё буковка С. Для её определения используем самое верхнее уравнение, где она у нас выражена через А и В:

Ну вот и всё. Неизвестные коэффициенты найдены! Неважно, через Крамера или через подстановку. Главное, правильно найдены.)

Стало быть, наше разложение большой дроби в сумму маленьких будет выглядеть вот так:

И пусть вас не смущают полученные дробные коэффициенты: в данной процедуре (методе неопределённых коэффициентов) это самое обычное явление. 🙂

А теперь крайне желательно проверить, правильно ли мы нашли наши коэффициенты A, B и С. Поэтому сейчас берём черновик и вспоминаем восьмой класс — складываем обратно все три наши маленькие дроби.

Если мы получим исходную большую дробь — значит, всё хорошо. Нет — значит, бейте меня ищите ошибку.

Общий знаменатель, очевидно, будет 24(х-1)(х+3)(х+5).

Йес. Получили исходную дробь. Что и требовалось проверить. Всё гуд. Так что прошу не бить.)

А теперь возвращаемся к нашему исходному интегралу. Легче он за это время не стал, да. Но теперь, когда наша дробь разложена в сумму маленьких, её интегрирование стало сплошным удовольствием!

Смотрите сами! Вставляем наше разложение в исходный интеграл.

Пользуемся свойствами линейности и разбиваем наш большой интеграл в сумму маленьких, все константы выносим за знаки интеграла.

А полученные три маленьких интеграла уже легко берутся подведением знаменателя под знак дифференциала .

Вот и всё.) И не надо в данном уроке спрашивать меня, откуда в ответе взялись логарифмы! Кто помнит таблицу интегралов, тот в теме и всё поймёт. А кто не помнит — гуляем по ссылочкам. Я их не просто так ставлю.

Вот такая красивая троица: три логарифма — трус, бывалый и балбес. 🙂 И попробуй, догадайся до такого хитрого ответа с ходу! Только метод неопределённых коэффициентов и выручает, да.) Собственно, с этой целью и разбираемся. Что, как и откуда.

В качестве тренировочного упражнения, предлагаю вам попрактиковаться в методе и проинтегрировать вот такую дробь:

Потренируйтесь, найдите интеграл, не сочтите за труд! Должен получиться вот такой ответ:

Метод неопределённых коэффициентов — штука мощная. Спасает даже в самой безнадёжной ситуации, когда и так дробь преобразовываешь, и эдак. И вот тут у некоторых внимательных и интересующихся читателей, возможно, возник целый ряд вопросов:

— Что делать, если многочлен в знаменателе вообще не разложен на множители?

— КАК надо искать разложение любой большой рациональной дроби на сумму маленьких? В каком виде? Почему именно в таком, а не сяком?

— Что делать, если в разложении знаменателя есть кратные множители? Или скобки в степенях типа (х-1) 2 ? В каком виде искать разложение?

— Что делать, если, помимо простых скобок вида (х-а), знаменатель одновременно содержит и неразложимый квадратный трёхчлен? Скажем, х 2 +4х+5 ? В каком виде искать разложение?

Что ж, пришла пора основательно разбираться, откуда ноги растут. В следующих уроках.)

Источник