Метод неопределенных коэффициентов
Как разделить многочлен на многочлен методом неопределенных коэффициентов
Для деление многочлена на многочлен, кроме способа деления многочленов «уголком», можно использовать метод неопределенных коэффициентов. Суть этого метода заключается в следующем.
Пусть требуется поделить многочлен
b(x)= bmx m + bm-1x m-1 + bm-2x m-2 + . + b1x + b0,
то есть требуется представить многочлен a(x) в виде a(x)=b(x)* c(x) + r(x),
где многочлен a(x) — делимое, многочлен b(x) — делитель, многочлен с(x) — частное, а многочлен r(x) — остаток.
Степень частного c(x) равна разности степеней делимого и делителя, а степень остатка r(x) меньше степени делителя, следовательно, максимальная степень r(x) может быть равна m-1.
Таким образом, частное c(x) – это многочлен степени n-m с неизвестными коэффициентами сi
а остаток r(x) — многочлен степени m-1 с неизвестными коэффициентами rj
Чтобы найти неизвестные коэффициенты сi и rj, просто перемножим b(x)* c(x), сложим с r(x) и приравняем коэффициенты многочленов при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства a(x)=b(x)* c(x) + r(x).
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие использование метода неопределенных коэффициентов при делении многочлена на многочлен. Пример 1. Разделить многочлен 5x 4 — 3x 3 + 2x 2 — x + 3 на многочлен x 3 — 2x 2 + 1 методом неопределенных коэффициентов.
Делимое a(x)=5x 4 — 3x 3 + 2x 2 — x + 3 — многочлен степени 4,
делитель b(x)= x 3 — 2x 2 + 1 — многочлен степени 3.
Следовательно, частное c(x) — многочлен степени 4-3 = 1
а остаток r(x) — многочлен степени 3-1=2
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x в равенстве
получим систему уравнений для нахождения неизвестных c0, c1, r0, r1, r2.
Последовательно решая уравнения с помощью подстановки известных значений сi, rj, найдем решение системы
Следовательно, c(x) = 5x + 7; r(x)=16x 2 — 6x — 4.
Ответ: 5x 4 — 3x 3 + 2x 2 — x + 3 = (x 3 — 2x 2 + 1)*(5x + 7) + 16x 2 — 6x — 4.
Калькуляторы для решение примеров и задач по математике
Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее .
Пример 2. Разделить многочлен 6x 5 — 11x 4 + 10x 3 — 10x 2 + 3x — 2 на многочлен 2x 3 — 3x 2 + x — 1 методом неопределенных коэффициентов.
Делимое a(x) = 6x 5 — 11x 4 + 10x 3 — 10x 2 + 3x — 2 — многочлен степени 5,
делитель b(x)= 2x 3 — 3x 2 + x — 1 — многочлен степени 3.
Следовательно, частное c(x) — многочлен степени 5-3 = 2
а остаток r(x) — многочлен степени 3-1=2
Перемножая и складывая многочлены в выражении b(x)*c(x) + r(x), получаем
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в равенстве a(x)=b(x)* c(x) + r(x),
получим систему уравнений для нахождения неизвестных c0, c1, c2, r0, r1, r2
Последовательно решая уравнения с помощью подстановки известных значений сi, rj, найдем решение системы
c2=3,
c1=-1,
c0=2,
r2=0,
r1=0,
r0=0.
Следовательно, c(x)=3x 2 — x + 2; r(x)=0.
Ответ: 6x 5 — 11x 4 + 10x 3 — 10x 2 + 3x — 2 = (2x 3 — 3x 2 + x — 1)*(3x 2 — x + 2).
Источник
Метод неопределенных коэффициентов и его универсальность
Разделы: Математика
Применение метода неопределённых коэффициентов основано на следующих двух теоремах.
Теорема №1 (о многочлене, тождественно равном нулю).
Если при произвольных значениях аргумента x значение многочлена f(x) = а0+ а1х + а2х 2 +. + а nx n , заданного в стандартном виде, равно нулю, то все его коэффициенты а0, а1, а2, . аn равны нулю.
Теорема №2 (следствие теоремы № 1).
Деление многочлена на многочлен.
Пример 1. Выполнить деление многочлена х 5 – 6х 3 + 2х 2 -4 на многочлен х 2 – х + 1.
Решение: Надо найти такие многочлены Q(x) и R(x), что х 5 – 6х 3 + 2х 2 -4 = (х 2 – х + 1) Q(x) + R(x), причём степень многочлена R(x) меньше степени многочлена (х 2 – х + 1). Из того, что степень произведения многочленов равна сумме их степеней, следует, что степень многочлена Q(x) равна 5 – 2 = 3.
Многочлены Q(x) и R(x) имеют вид:
Раскроем скобки в правой части равенства:
Для отыскания неизвестных коэффициентов получаем систему уравнений:
Ответ: Q(x) = x 3 + x 2 — 6x — 5, R(x) = x + 1.
Пример 2. Выполнить деление многочлена х 7 –1 на многочлен х 3 + х + 1.
Решение: Надо найти такие многочлены Q(x) и R(x), что х 7 –1 = (х 3 + х + 1) Q(x) + R(x), причём степень многочлена R(x) меньше степени многочлена (х 3 + х + 1).
Из того, что степень произведения многочленов равна сумме их степеней, следует, что степень многочлена Q(x) равна 7– 3 = 4.
Многочлены Q(x) и R(x) имеют вид: Q(x) = q 4x 4 + q 3x 3 + q 2x 2 + q 1x + q0,
R(x) = r 2x 2 + r 1x + r0.
Подставим Q(x) и R(x):
Раскроем скобки в правой части равенства:
Получаем систему уравнений:
Ответ: Q(x) = x 4 — x 2 — x + 1, R(x) = 2x 2 — 2.
Расположение многочлена по степеням.
Возьмем функцию 
Поставим перед собой задачу «расположить многочлен по степеням f(x) по степеням (х-х0).
Задача сводится к нахождению неизвестных коэффициентов а0, а1, . аn. В каждом конкретном случае эти числа найти легко. Действительно, расположим многочлены, находящиеся в левой и правой частях равенства, по степеням x. Так как мы имеем тождество, то (по теореме № 2) коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равны между собой. Приравняв коэффициенты правой части соответствующим заданным коэффициентам левой, мы придем к системе n+1 уравнений с n+1 неизвестными а0, а1, . аn , которую нужно решить.
Пример 3. Расположим многочлен 
по степеням.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему:
Решая систему, находим: 
Ответ: 
.
Пример 4. Расположим f(x) = х 4 — 8х 3 + 24х 2 — 50х + 90 по степеням (х-2).
Решение: Полагаем х4 — 8х 3 + 24х 2 — 50х + 90
Ответ: f(x) = 
Представление произведения в виде многочлена стандартного вида.
Пример 5. Не выполняя действий, представим в виде многочлена стандартного вида произведение (х — 1)(х + 3)(х + 5).
Решение: Произведение есть многочлен третьей степени, коэффициент при старшем члене равен 1, а свободный член равен (- 15), тогда запишем:
(х — 1)(х + 3)(х + 5) = х 3 + ах 2 + вх — 15, где а и в — неизвестные коэффициенты.
Для вычисления их положим х = 1 и х = — 3, тогда получим:
откуда а =7, в = 7.
Ответ: х 3 +7х 2 + 7х — 15.
Разложение многочлена на множители
Пример 6. Дан многочлен 
Разложим его на множители, если известно, сто все его корни – целые числа.
Решение: Будем искать разложение в виде:
полагая числа a, b, c и d его корнями. Раскроем скобки в правой части и сгруппируем по одинаковым степеням.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.
Так как корни нашего многочлена – целые, то из последнего уравнения системы заключаем, что они должны быть делителями числа 30. Следовательно, их следует искать среди чисел 
Проведя испытания, установим, что корни нашего многочлена -2, -5, 1 и 3. Следовательно х 4 + 3х 3 — 15х 2 — 19х + 30 = (х — 1)(х — 3)(х + 2)(х + 5)
Пример 7. Дан многочлен 
.
Разложим его на множители, если известно, сто все его корни – целые числа.
Решение: Будем искать разложение в виде:
полагая числа a, b, c и d его корнями. Раскроем скобки в правой части и сгруппируем по одинаковым степеням.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.
Так как корни нашего многочлена – целые, то из последнего уравнения системы заключаем, что они должны быть делителями числа 84. Следовательно, их следует искать среди чисел
Проведя испытания, установим, что корни нашего многочлена -7,-2,2,3. Следовательно х 4 + 4х 3 — 25х 2 — 16х + 84 = (х — 2)(х — 3)(х + 2)(х + 7)
Пример 8. Разность 
является целым числом. Найдем это число.
Решение: Так как, 
Тогда 
Положим 
где a и b – неизвестные коэффициенты.
Тогда 
Решая данную систему уравнений, получим а = 5, b = -4.
Значит 
так как 
Аналогично устанавливаем, что 
Следовательно 
Пример 9. Является ли разность 
целым числом.
Решение: Т.к. 
тогда — 
Положим 
где a и b – неизвестные коэффициенты.
Тогда 
откуда 
из второго уравнения 
тогда первое уравнение принимает вид
b 2 = 12,5 — — не удовлетворяет условию задачи, или b 2 = 9, откуда b = -3 или b = 3 — не удовлетворяет числу 
Значит, а = 5.
Аналогично, 
Окончательно получаем: 
— иррациональное число.
Уничтожение иррациональности в знаменателе
Пример 10. Избавимся от иррациональности в знаменателе: 
Решение: 
отсюда 
Раскроем скобки, сгруппируем:
Ответ: 
Пример 11. Избавимся от иррациональности в знаменателе: 
Решение: 
,
отсюда 
Раскроем скобки, сгруппируем 
Отсюда 
Итак 
Следовательно 
Ответ: 
Применение метода неопределенных коэффициентов при решении уравнений
Пример 12. Решим уравнение х 4 + х 3 — 4х 2 — 9х — 3 = 0.
Решение: Предположим, что корни уравнения — целые числа, тогда их надо искать среди чисел 
Если х = 1, то 
если х = -1, то 
если х = 3, то 
если х = -3, то 
Отсюда делаем вывод, что рациональных корней наше уравнение не имеет.
Попробуем разложить многочлен 
на множители в следующем виде:
, где a, b, c и d – целые. Раскроем скобки:
Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c и d получаем систему уравнений:
Так как bd = -3, то будем искать решения среди вариантов:
Проверим вариант № 2, когда b = —1; d = 3:
Пример 13. Решить уравнение: х 4 — 15х 2 + 12х + 5= 0.
Решение: Разложим многочлен f(х) = х 4 — 15х 2 + 12х + 5 на множители в следующем виде: 
, где a, b, c и d -целые. Раскроем скобки: 
Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c и d получаем систему уравнений:
Так как , bd = 5, то будем искать решения среди вариантов:
Системе удовлетворяет вариант №2, т.е. а = 3, b = -1, c = -3, d = 5.
Итак, 
D =13
D = 29
Ответ: 
О решении одного класса кубических уравнений.
Пусть дано кубическое уравнение: а 1 х 3 + b 1х 2 +с 1х +d1 = 0, где а ≠ 0.
Приведём его к виду х 3 + ах 2 +bх + с = 0 (1), где а = 
, в = 
, с = 
Положим в уравнении (1) х = у + m. Тогда получим уравнение: 
Раскроем скобки, сгруппируем: y 3 +3у 2 m + 3ym 2 + m 3 + ay 2 + 2aym +am 2 + by +bm + с = 0,
y 3 + y 2 (a +3m) +y(3m 2 +2am +b) + m 3 +am 2 +bm + с = 0.
Для того, чтобы уравнение (1) было двучленным, должно выполняться условие:
Решения этой системы: m = —
; a 2 = 3b. Таким образом, при произвольном с и при a 2 = 3b уравнение подстановкой х = у — можно привести к двучленному уравнению третьей степени.
Пример14. Решить уравнение: х 3 + 3х 2 +3х — 9 =0.
Решение: В данном уравнении а = 3, в =3, тогда условие a 2 = 3b выполняется, а m = — = -1. Выполним подстановку х = у -1.
Уравнение принимает вид: (у -1) 3 +3(у -1) 2 +3(у -1) – 9 = 0.
y 3 -3y 2 +3у -1 +3у 2 – 6у +3 +3у –3 – 9 = 0.
y 3 – 10 = 0, откуда у = 
, а х = — 1.
Ответ: — 1.
Пример15. Решить уравнение: х 3 + 6х 2 + 12х + 5 = 0.
Решение: а = 6, в =12, тогда условие a 2 = 3b (62 = 3×12) выполняется, а m = — = -2.
Выполним подстановку х = у — 2. Уравнение принимает вид: (у -2) 3 +6(у -2) 2 +12(у -2) + 5 = 0.
у 3 – 6у 2 + 12у – 8 + 6у 2 -24у + 24 + 12у – 24 + 5 = 0.
у 3 – 3 = 0, у = 
, а х = — 2.
Ответ: – 2.
Рассмотренные в работе примеры могут быть решены и другими способами. Но цель работы заключалась в том, чтобы решить их методом неопределённых коэффициентов, показать универсальность этого метода, его оригинальность и рациональность, не отрицая того, что в некоторых случаях он приводит к громоздким, но не сложным преобразованиям.
Источник
