Способ неопределенных коэффициентов дифференциальные уравнения

Линейная однородная система \(n\) дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид: \[ <\mathbf‘\left( t \right) = A\mathbf\left( t \right),>\;\; <\mathbf\left( t \right) = \left( <\begin<*<20>> <\left( t \right)>\\ <\left( t \right)>\\ \vdots \\ <\left( t \right)> \end> \right),>\;\; <*<20>> <>>&<>>& \cdots &<>>\\ <>>&<>>& \cdots &<>>\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ <>>&<>>& \cdots &<>> \end> \right).> \] Здесь \(\mathbf\left( t \right)\) − \(n\)-мерный вектор, \(A\) − квадратная матрица с постоянными коэффициентами размера \(n \times n.\)

Далее мы опишем общий алгоритм решения данной системы и рассмотрим конкретные случаи, где решение строится методом неопределенных коэффициентов .

Будем искать решение заданной системы уравнений в виде вектор-функций \[\mathbf\left( t \right) = >\mathbf,\] где \(\lambda\) − собственное значение матрицы \(A,\) а \(\mathbf\) − собственный вектор этой матрицы.

Собственные значения \(<\lambda _i>\) находятся из характеристического уравнения \[\det \left( \right) = 0,\] где \(I\) − единичная матрица.

Поскольку корни \(<\lambda _i>\) могут быть кратными, то в общем случае для системы \(n\)-го порядка это уравнение имеет вид: \[ <\left( < - 1>\right)^n><\left( <\lambda - <\lambda _1>> \right)^<>><\left( <\lambda - <\lambda _2>> \right)^<>> \cdots <\left( <\lambda - <\lambda _m>> \right)^<>> = 0.\] Здесь выполняется условие \[ + + \cdots + = n.\] Степень \(\) множителя \(\left( <\lambda - <\lambda _i>> \right)\) называется алгебраической кратностью собственного числа \(<\lambda _i>.\)

Для каждого собственного значения \(<\lambda _i>\) можно определить собственный вектор (или несколько собственных векторов в случае кратного \(<\lambda _i>\)), используя формулу \[\left( I> \right)<\mathbf_i> = \mathbf<0>.\] Число собственных векторов, ассоциированных с собственным значением \(<\lambda _i>,\) называется геометрической кратностью \(<\lambda _i>\) (обозначим ее как \(\)). Таким образом, собственное число \(<\lambda _i>\) характеризуется двумя величинами − алгебраической кратностью \(\) и геометрической кратностью \(.\) Справедливо следующее соотношение: \[0 комплексных корней характеристического уравнения. Если все коэффициенты в уравнениях являются действительными числами, то комплексные корни будут «рождаться» парами в виде комплексно-сопряженных чисел \(\alpha \pm i\beta .\) Для построения компонента решения, связанного с такой парой, достаточно взять одно число, например, \(\alpha + i\beta\) и определить для него собственный вектор \(\mathbf,\) который также может иметь комплексные координаты. Тогда решение будет представляться комплекснозначной векторной функцией \( \right)t>>\mathbf\left( t \right).\) Экспоненциальную функцию можно разложить по формуле Эйлера : \[ <\right)t>> = >> > = <>\left( <\cos \beta t + i\sin \beta t>\right).> \] В результате часть общего решения, соответствующая паре собственных значений \(\alpha \pm i\beta,\) будет представляться в виде \[ <\mathbf\left( t \right) = >\left( <\cos \beta t + i\sin \beta t>\right)\left( <<\mathbf_\text> + i<\mathbf_\text>> \right) > = <>\left[ <\cos \left( <\beta t>\right)<\mathbf_\text> — \sin \left( <\beta t>\right)<\mathbf_\text>> \right] > + >\left[ <\cos \left( <\beta t>\right)<\mathbf_\text> + \sin \left( <\beta t>\right)<\mathbf_\text>> \right] > = <<\mathbf^<\left( 1 \right)>>\left( t \right) + i<\mathbf^<\left( 2 \right)>>\left( t \right),> \] где \(\mathbf = <\mathbf_\text> + i<\mathbf_\text>\) − комплекснозначный собственный вектор. В полученном выражении вектор-функции \(<\mathbf^<\left( 1 \right)>>\) и \(<\mathbf^<\left( 2 \right)>>\) в действительной и мнимой части образуют два линейно-независимых действительных решения .

Как видно, решение для пары комплексно-сопряженных собственных значений строится таким же образом, как и для действительных собственных значений. В конце преобразований нужно лишь явно выделить действительную и мнимую части векторной функции.

Теперь рассмотрим случай кратных корней \(<\lambda _i>.\) Для простоты будем считать их действительными. Здесь процесс решения снова разветвляется на два сценария.

Если алгебраическая кратность \(\) и геометрическая кратность \(\) собственного числа \(<\lambda _i>\) совпадают \(\left( <= > 1> \right),\) то для этого значения \(<\lambda _i>\) существует \(\) собственных векторов. В результате собственному числу \(<\lambda _i>\) будет соответствовать \(\) линейно-независимых решений вида \[t>>\mathbf_i^<\left( 1 \right)>,\;t>>\mathbf_i^<\left( 2 \right)>,\; \ldots ,\;t>>\mathbf_i^<\left( <> \right)>.\] Всего в этом случае система \(n\) уравнений будет иметь \(n\) собственных векторов, образующих фундаментальную систему решений. Примеры таких систем приведены на странице Метод собственных значений и собственных векторов .

Наиболее интересным является случай кратных корней \(<\lambda _i>,\) когда геометрическая кратность \(\) меньше алгебраической кратности \(.\) Это значит, что у нас имеется только \(\) \(\left( <метод неопределенных коэффициентов нужен только в случае кратных корней \(<\lambda _i>,\) когда число линейно-независимых собственных векторов меньше алгебраической кратности корня \(<\lambda _i>.\)

Описанный здесь способ построения общего решения системы однородных дифференциальных уравнений иногда называют также методом Эйлера .

Источник