2. Способы генерации пифагоровых троек
Дальше рассмотрим известные способы генерации эффективных пифагоровых троек. Ученики Пифагора были первыми, кто изобрели простой способ генерации пифагоровых троек, используя формулу, части которой представляют пифагорову тройку:
m 2 + (( m 2 − 1 )/2) 2 = (( m 2 + 1 )/2) 2 ,
где m — непарное, m>2. Действительно,
Аналогичную формулу предложил древнегреческий философ Платон:
где m — любое число. Для m = 2,3,4,5 генерируются следующие тройки:
(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).
Как видим, эти формулы не могут дать все возможные примитивные тройки.
Россмотрим следующий полином, который разкладывается на суму полиномов:
Отсюда следующие формулы для получения примитивных троек:
Эти формулы генерируют тройки, в которых среднее число отличается от наибольшего ровно на единицу, то есть также генерируются не все возможные тройки. Тут первые тройки равняются: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).
Чтобы определить способ генерации всех примитивных троек, следует исследовать ихние свойства. Во-первых, если (a,b,c) — примитивная тройка, то a и b, b и c, а и c — должны быть взаимно простыми. Пусть a и b делятся на d. Тогда a 2 + b 2 — также делится на d. Соответственно, c 2 и c должны делиться на d. То есть, это не есть примитивная тройка.
Во-вторых, среди чисел a, b одно должно быть парным, а другое — непарным. Действительно, если a и b — парные, то и с будет парным, и числа можно поделить по крайней мере на 2. Если они оба непарные, то их можно представить как 2k+1 i 2l+1, где k,l — некоторые числа. Тогда a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, то есть, с 2 , как и a 2 + b 2 , при делении на 4 имеет остаток 2.
Пусть с — любое число, то есть с = 4k+i (i=0,…,3). Тогда с 2 = (4k+i) 2 имеет остаток 0 или 1 и не может иметь остаток 2. Таким образом, a и b не могут быть непарными, то есть a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 и остаток от деления с 2 на 4 должен быть 1, что значит, что с должно быть непарным.
Такие требования к элементам пифагоровой тройки удовлетворяют следующие числа:
где m и n — взаимно простые с разной парностью. Впервые эти зависимости стали известными из трудов Эвклида, который жил 2300 р. назад.
Докажем справедливость зависимостей (2). Пусть а — парное, тогда b и c — непарные. Тогда c + b i c − b — парные. Их можно представить как c + b = 2u и c − b = 2v, где u,v — некоторые целые числа. Поэтому
Можно доказать от противного, что u и v — взаимно простые. Пусть u и v — делятся на d. Тогда (c + b) и (c − b) делятся на d. И поэтому c и b должны делиться на d, а это противоречит условию к пифагоровой тройке.
Так как uv = (a/2) 2 и u и v — взаимно простые, то несложно доказать, что u и v должны быть квадратами каких-то чисел.
Таким образом, есть положительные целые числа m и n , такие что u = m 2 и v = n 2 . Тогда
Осталось показать, что m и n имеют разную парность. Если m и n — парные, то u и v должны быть парными, а это невозможно, так как они взаимно простые. Если m и n — непарные, то b = m 2 − n 2 и c = m 2 + n 2 были бы парными, что невозможно, так как c и b — взаимно простые.
Таким образом, любая примитивная пифагорова тройка должна удовлетворять условия (2). При этом числа m и n называются генерирующими числами примитивных троек. Например, пусть имеем примитивную пифагорову тройку (120,119,169). В этом случае
а = 120 = 2·12·5, b = 119 = 144 − 25, и c = 144+25=169,
где m = 12, n = 5 — генерирующие числа, 12 > 5; 12 и 5 — взаимно простые и разной парности.
Можно доказать обратное, что числа m, n по формулам (2) дают примитивную пифагорову тройку (a,b,c). Действительно,
то есть (a,b,c) — пифагорова тройка. Докажем, что при этом a,b,c — взаимно простые числа от противного. Пусть эти числа делятся на p > 1. Так как m и n имеют разную парность, то b и c — непарные, то есть p ≠ 2. Так как р делит b и c, то р должно делить 2m 2 и 2n 2 , а это невозможно, так как p ≠ 2. Поэтому m, n — взаимно простые и a,b,c — тоже взаимно простые.
В таблице 1 показаны все примитивные пифагоровы тройки, сгенерированые по формулам (2) для m≤10.
Таблица 1. Примитивные пифагоровы тройки для m≤10
| m | n | a | b | c | m | n | a | b | c |
| 2 | 1 | 4 | 3 | 5 | 8 | 1 | 16 | 63 | 65 |
| 3 | 2 | 12 | 5 | 13 | 8 | 3 | 48 | 55 | 73 |
| 4 | 1 | 8 | 15 | 17 | 8 | 5 | 80 | 39 | 89 |
| 4 | 3 | 24 | 7 | 25 | 8 | 7 | 112 | 15 | 113 |
| 5 | 2 | 20 | 21 | 29 | 9 | 2 | 36 | 77 | 85 |
| 5 | 4 | 40 | 9 | 41 | 9 | 4 | 72 | 65 | 97 |
| 6 | 1 | 12 | 35 | 37 | 9 | 8 | 144 | 17 | 145 |
| 6 | 5 | 60 | 11 | 61 | 10 | 1 | 20 | 99 | 101 |
| 7 | 2 | 28 | 45 | 53 | 10 | 3 | 60 | 91 | 109 |
| 7 | 4 | 56 | 33 | 65 | 10 | 7 | 140 | 51 | 149 |
| 7 | 6 | 84 | 13 | 85 | 10 | 9 | 180 | 19 | 181 |
Анализ этой таблицы показывает наличие следующего ряда закономерностей:
- или a, или b делятся на 3;
- одно из чисел a,b,c делится на 5;
- число а делится на 4;
- произведение a·b делится на 12.
В 1971 г. американские математики Тейган и Хедвин для генерации троек предложили такие малоизвестные параметры прямоугольного треугольника, как его рост (height) h = c − b и избыток (success) е = a + b − c. На рис.1. показаны эти величины на некотором прямоугольном треугольнике.
Рисунок 1. Прямоугольный треугольник и его рост и избыток
Название “избыток” является производным от того, что это добавочное расстояние, которое необходимо пройти по катетам треугольника из одной вершины в противоположную, если не идти по его диагонали.
Через избыток и рост стороны пифагорового треугольника можно выразить как:
Не все комбинации h и e могут отвечать пифагоровым треугольникам. Для заданого h возможные значения e — это произведения некоторого числа d. Это число d имеет название прироста и относится к h следующим образом: d — это наименьшее положительное целое число, квадрат которого делится на 2h. Так как e кратное d, то оно записывается как e = kd, где k — положительное целое.
С помощью пар (k,h) можно сгенерировать все пифагоровы треугольники, включая непримитивные и обобщенные, следующим образом:
причем тройка является примитивной, если k и h — взаимно простые и если h =±q 2 при q — непарном.
Кроме того, это будет именно пифагорова тройка, если k > √2·h/d и h > 0.
Чтобы найти k и h из (a,b,c), выполняют следующие действия:
- h = c − b;
- записывают h как h = pq 2 , где p > 0 и такое, что не является квадратом;
- d = 2pq если p — непарное и d = pq , если p — парное;
- k = (a − h)/d.
Например, для тройки (8,15,17) имеем h = 17−15 = 2·1, так что p = 2 и q = 1, d = 2, и k = (8 − 2)/2 = 3. Так что эта тройка задается как (k,h) = (3,2).
Для тройки (459,1260,1341) имеем h = 1341 − 1260 = 81, так что p = 1, q = 9 и d = 18, отсюда k = (459 − 81)/18 = 21, так что код этой тройки равняется (k,h) = (21, 81).
Задание троек с помощью h и k имеет ряд интересных свойств. Параметр k равняется
где S = ab/2 — площадь треугольника, а P = a + b + c — его периметр. Это следует из равенства eP = 4S, которое выходит из теоремы Пифагора.
Для прямоугольного треугольника e равняется диаметру вписаной в треугольник окружности. Это выходит из того, что гипотенуза с = (а − r)+(b − r) = a + b − 2r, где r — радиус окружности. Отсюда h = c − b = а − 2r и е = a − h = 2r.
Для h > 0 и k > 0, k является порядковым номером троек a—b—c в последовательности пифагоровых треугольников с ростом h. Из таблицы 2, где представлено несколько вариантов троек, сгенерированых парами h, k, видно, что с увеличением k возрастают величины сторон треугольника. Таким образом, в отличии от классической нумерации, нумерация парами h, k имеет больший порядок в последовательностях троек.
Таблица 2. Пифагоровы тройки, сгенерированые парами h, k.
| h | k | a | b | c | h | k | a | b | c |
| 2 | 1 | 4 | 3 | 5 | 3 | 1 | 9 | 12 | 15 |
| 2 | 2 | 6 | 8 | 10 | 3 | 2 | 15 | 36 | 39 |
| 2 | 3 | 8 | 15 | 17 | 3 | 3 | 21 | 72 | 75 |
| 2 | 4 | 10 | 24 | 26 | 3 | 4 | 27 | 120 | 123 |
| 2 | 5 | 12 | 35 | 37 | 3 | 5 | 33 | 180 | 183 |
Для h > 0, d удовлетворяет неравенство 2√h ≤ d ≤ 2h, в котором нижняя граница достигается при p = 1, а верхняя — при q = 1. Поэтому значение d относительно 2√h — это мера того, насколько число h отдаленное от квадрата некоторого числа.
Источник
Способ нахождения пифагоровых троек
В восьмом классе все школьники изучают одну из самых важных теорем геометрии – теорему Пифагора и теорему, обратную теореме Пифагора.
В ходе этого изучения происходит знакомство с пифагоровыми тройками чисел – такими комбинациями из трёх целых чисел a, b c, которые удовлетворяют соотношению Пифагора: а 2 + в 2 =с 2 . В учебнике геометрии приводятся без вывода формулы для натуральных чисел a, b c:
У меня сразу появилось желание вывести эти формулы, совершить «личное открытие», углублять знания, полученные мною самостоятельно в таких разделах математики как теория чисел, алгебраическая геометрия, комплексные числа.
В данной работе представлено два различных вывода формул пифагоровых троек и рассмотрены некоторые свойства этих троек. Первый вывод является довольно наглядным, второй считаю наиболее красивым. Свойства пифагоровых троек я доказывал самостоятельно.
Пифагоровы тройки имеют огромное количество свойств, связывающих их с такими разделами математики, как теория чисел, алгебраическая геометрия, комплексный анализ, поэтому исследование этой темы помогает осознать взаимосвязь разделов математики. Выбор темы этим и обусловлен. Сначала появились идеи для работы во всех перечисленных разделах, но появилась тема, которая объединила всё. Основной материал разделов я разобрал самостоятельно, поэтому здесь и говорится только об интересной задаче, которая имеет много различных решений, через которые частично и представлены основные методы.
Цель работы: вывести формулы Пифагора различными способами, изучить свойства пифагоровых троек чисел и доказать некоторые из них самостоятельно.
Теория чисел , или высшая арифметика , — раздел математики , первоначально изучавший свойства целых чисел . В современной теории чисел рассматриваются и другие типы чисел — например, алгебраические и трансцендентные , а также функции различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений (+ то, что изучает элементарная теория чисел)
Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, — это делимость . Первый круг задач теории чисел — разложение чисел на множители. Основными «кирпичиками» в таком разложении являются простые числа , т. е. числа, делящиеся только на 1 и на себя; теорема, называемая основной теоремой арифметики, гласит: всякое натуральное число раскладывается на простые множители единственным способом.
Алгебраическая геометрия — раздел математики , который объединяет алгебру и геометрию . Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений . Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры для решения задач, возникающих в геометрии.
Пифагорова тройка — это комбинация из трёх целых чисел (a, b c или x, y , z), удовлетворяющих соотношению Пифагора: x 2 + y 2 = z 2 .
При умножении этих чисел на одно и то же число получается другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если не может быть получена таким способом из какой-либо другой пифагоровой тройки, то есть x, y, z являются взаимно простыми числами.
Сама задача пифагоровых троек сводится к поиску всех возможных целых решений следующего уравнения a 2 + b 2 = c 2 (все числа целые, поэтому уравнение называется диофантовым).
Приведём решение этого диофантового уравнения методами алгебраической геометрии.
x 2 + y 2 = 1 — окружность с радиусом 1 с центром в точке (0, 0) — рис.1
Теперь можно сказать, что задача эквивалентна поиску всех рациональных x и y на окружности.
Точки на окружности отсекаются прямыми, содержащими хорды окружности.
y = kx + m — уравнение прямой с угловым коэффициентом. Прямая будет проходить через точку D (её координаты известны и удобны для решения системы).
Теперь для нахождения Q -точек окружности:
Важно отметить, что если k – рациональное, то y , x также будут рациональными и наоборот. Это просто доказать, выразив k из уравнения прямой.
Решая систему методом подстановки, выражаем x через k .
Так как y , x рациональные, k тоже рациональное и следовательно равно m / n , где m и n целые числа. Подставляем значения k , получаем:
x = 2 mn /( n 2 + m 2 ),
y = ( m 2 — n 2 )/( m 2 + n 2 ),
На самом деле, с помощью знания этих формул можно решить множество задач по поиску всех прямоугольных треугольников с заданным условием. <\displaystyle m>
Привожу второй вывод формул с помощью комплексных чисел. Для вывода формул опять решаем уравнение a 2 + b 2 = c 2 в целых числах.
Гауссовы целые числа ( гауссовы числа , целые комплексные числа ) — это комплексные числа , у которых как вещественная, так и мнимая часть — целые числа.
По основной теореме арифметики в гауссовых числах:
a + bi = (m + ni) 2
Вещественные и мнимые части двух чисел равны, значит:
с выражается из исходного уравнения.
Пифагоровы тройки обладают красивыми свойствами, например:
Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший из катетов отличаются ровно на единицу (такие тройки заведомо примитивны).
Существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший по длине катет отличается ровно на два.
Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых два катета отличаются ровно на единицу. Например, 20 2 + 21 2 = 29 2 .
Некоторые свойства пифагоровых троек с доказательством:
Свойство 1. В точности одно из чисел a и b нечётно , c всегда нечётно.
Доказательство проведём методом от противного (следует помнить, что речь идёт о примитивных пифагоровых тройках, все числа взаимнопростые).
Если a и b чётные, то и c чётное, что не удовлетворяет условию примитивности тройки.
Если a и b нечётные, то это приводит к противоречию при подстановке.
Пусть a = 2m + 1, b = 2n + 1.
Получается c 2 делится на 2 , но не делится на 4 , что невозможно.
Предположение неверно и верно то, что требовалось доказать.
Свойство 2. В точности одно из чисел a и b делится на 3 .
Если и a , и b , и c делятся на 3, то тройка становится сократимой, что не соответствует условию примитивности.
Если ни a , ни b не делится на 3, то и c не делиться. Рассмотрим этот случай.
Число не делится на 3, значит его можно записать в виде:
с 2 при делении на 3 даёт остаток 2, а квадрат числа при делении на 3 может давать 1 или 0 в остатке. Возникло противоречие, предположение неверно, а значит хотя бы одно из чисел a , b делится на 3.
Свойство 3. В точности одно из чисел a и b делится на 4 .
Это очевидно, если вспомнить, что m и n разной чётности (для того, чтобы тройка оставалась несократимой, иначе числа a , b , c будут делиться на 2 ), ведь a = 2 mn , а одно из чисел m и n четно, получаем, что a делится на 4 .
Что и требовалось доказать.
Свойство 4. В точности одно из чисел делится на 5 .
При делении на 5 квадрат целого числа может давать в остатке 0, 1 или 4 (можно проверить, посчитав: (5 m ) 2 , ( 5 m ± 1) 2 , (5 m ± 2) 2 ) .
Возможны три случая (остальные повторяю друг друга):
Подставляем полученные значения, получаем, что с 2 при делении на 5 даёт остаток 1) 1 + 4 = 5, 2) 1 + 1 = 2, 3) 4 + 4 = 8, 8 ≡ 3 ( mod 5).
2 и 3 противоречит утверждению в начале доказательства. Предположение, что ни a , ни b не делятся на 5 неверно, а верно, что здесь либо a , либо b делится на 5.
В 1 случае получается, что с делится на 5.
Значит хотя бы одно из чисел a , b , c делится на 5.
— представлены решения уравнения a 2 + b 2 = c 2 , называющиеся формулами Евклида, разными способами;
— представлены некоторые свойства, при доказательстве которых используются различные приёмы: доказательство «от противного», доказательство с помощью свойств делимости, доказательство с применением арифметики остатков;
— представлены интересные свойства без доказательств
В итоге, изучен вопрос генерации пифагоровых троек, их свойства с доказательствами, проделанными самостоятельно, что и являлось целью работы. Теперь я продолжу исследования в представленных разделах.
1. А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др. Алгебра 8 и 9 класс, М.: «Мнемозина», 2014;
2. Л. С. Атанасян и др. Геометрия 7-9 классы , М.: «Просвещение», 2014;
4. В. Серпинский «Пифагоровы треугольники», Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959;
5. Я. И. Перельман «Занимательная алгебра», М.: ОЛМА Медиа Групп, 2013.
Источник
