Как вычислить определитель?
В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы. Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей, он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ!
Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители.
Определитель можно вычислить только для квадратной матрицы (более подробно см. Действия с матрицами)
На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: 
, и определитель третьего порядка, например: 
.
Определитель четвертого порядка 
тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока.
Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя!
(Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости – см. следующий урок Свойства определителя и понижение его порядка)
Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем!
Обозначения: Если дана матрица 
, то ее определитель обозначают 
. Также очень часто определитель обозначают латинской буквой 
или греческой 
.
1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса 
в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.
2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.
Начнем с определителя «два» на «два»:
ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе.
Сразу рассмотрим пример:
Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.
Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 — нормальные.
Начнем с двух простых способов
Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:
Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:
Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:
Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.
Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя
Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.
Как Вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки.
Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу.
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм.
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно? Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики.
В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке.
Для этого нам понадобится матрица знаков: 
. Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.
Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя.
Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:
И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот: 
?
Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ. Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.
Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке, очевидно, что всё вращается вокруг неё: 
Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)
Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:
1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак: 
2) Затем записываем сам элемент: 
3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент: 
Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы).
Переходим ко второму элементу строки.
4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:
5) Затем записываем второй элемент: 
6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент: 
Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.
Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:
7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак: 
8) Записываем третий элемент: 
9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент: 
Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.
Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!
Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым.
Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм.
При этом матрица знаков у нас увеличится:
В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу:
А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.
Потренироваться, раскрыть, провести расчёты – это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке – Свойства определителя. Понижение порядка определителя.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам
Источник
Определители четвертого порядка
Методы их вычисления
Определение. Выражение
называется определителем четвертого порядка. Этот определитель можно записать в виде:
, (6)
где 
— минор элемента, стоящего на пересечении i-ой строки и j-го столбца, 
-алгебраическое дополнение этого элемента.
Формулу (6) можно записать с помощью значка суммирования 
:
, (7)
Формула (7) называется разложением определителя по элементам
i-ой строки. Можно записать и разложение определителя по элементам j-го столбца:
(8)
Метод понижения порядка определителя основан на обращении всех, кроме одного, элементов строки или столбца определителя в нуль с помощью свойств определителей.
Пример 11.Вычислить определитель
.
Решение. Прибавим элементы первой строки к элементам второй строки:
.
Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам третьей строки:
.
Элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам четвертой строки:
.
Разложим полученный определитель по элементам первого столбца
Переставим первые две строки, при этом знак определителя изменится на противоположный, одновременно вынесем общий множитель 3 элементов третьего столбца за знак определителя:
.
Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к элементам второй строки:
.
Полученный определитель разложим по элементам второй строки
Пример 12. Вычислить определитель 
.
Внимание. ошибка после 2 действия: при умножении 1 строки на (-2) и прибавлении к 4 строке получается 0 1 -3 2.
Решение. Поменяем местами первую и вторую строки, при этом по свойству 2 знак определителя изменится на противоположный:
.
Сначала элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам второй и четвертой строк, а затем элементы первой строки умножим на (-3) и прибавим к элементам третьей строки, получим:
.
Элементы второй строки прибавим к элементам четвертой строки:
.
Элементы третьей строки умножим на (-1) и прибавим к элементам четвертой строки:
.
Получим определитель треугольного вида, значение которого равно произведению элементов главной диагонали 
.
Пример 13. Вычислить определитель
.
Решение.Разложим определитель по элементам третьей строки
Полученные определители третьего порядка вычислим по правилу треугольника
Задания для самостоятельного решения.
2. Решить уравнения:
3. Решить неравенства:
4. Вычислить определители:
Ответы: 1. а)7; б)26; в)0; г)0; д)30. 2. а)5; б)2; в)2;
г) 
3. а) 
б) 
в) 
г)[-1;7]. 4. а)-24; б)-40; в)-9; г)57; д)-5; е)1; ж)1; з)55; и)30; к)48; л)0; м)-1004; н)150.
Матрицы
Основные понятия
Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины и n столбцов одинаковой длины, которая записывается в виде
(9)
или, сокращенно, 
, где 
, (т.е. 
) – номер строки, 
(т.е. 
) – номер столбца, числа 
называются элементами матрицы. Матрицу 
называют матрицей размера 
и пишут 
. Например. 
, 
.
Определение. Две матрицы и 
равны между собой, если их размеры совпадают, а их соответствующие элементы равны, т.е. 
, если 
, где 
.
Например. 
Так как размеры матриц совпадают 
и соответствующие элементы равны, поэтому матрицы 
и 
равны, т.е.
Определение. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера 
называют матрицей n-го порядка.
Например. 
т.е. дана матрица второго порядка.
Определение. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называются диагональной.
Матрица 
— диагональная.
Определение. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой 
.
или 
.
Определение. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные над главной диагональю (или под главной диагональю), равны нулю.
или 
— треугольные матрицы.
Важной характеристикой квадратной матрицы порядка n является ее определитель (или детерминант), который обозначается 
или 
. 
.
Определение. Квадратная матрица, у которой определитель отличен от нуля, т.е. 
, называется невырожденной. В противном случае матрица называется вырожденной.
Например, 
Матрица А – вырожденная.
Матрица В – невырожденная.
Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается буквой О.
В матричном исчисление матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.
Определение. Матрица, содержащая одну строку, называется матрицей-строкой
Матрица, содержащая один столбец, называется матрицей-столбцом
Матрица размера 
, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. 
есть 3.
Определение. Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается 
.
Если 
, то 
, если 
, то 
.
Транспонированная матрица обладает следующим свойством: 
.
Источник
