- Задачи по простым и сложным процентам с решением
- Задачи на расчет простых и сложных %
- Как решать задачи с процентами
- Основные определения
- Типы задач на проценты
- Тип 1. Нахождение процента от числа
- Тип 2. Нахождение числа по его проценту
- Тип 3. Нахождение процентного отношения двух чисел
- Тип 4. Увеличение числа на процент
- Тип 5. Уменьшение числа на процент
- Тип 6. Задачи на простые проценты
- Тип 7. Задачи на сложные проценты
- Способы нахождения процента
- Деление числа на 100
- Составление пропорции
- Соотношения чисел
- Задачи на проценты с решением
Задачи по простым и сложным процентам с решением
Задача 1. Под какой процент была вложена 4000 рублей, если через 8 лет сумма наращенного капитала составила 7000 рублей.
I = S – p = 7000 – 4000 = 3000 руб .
i = 100*I/(P*n) = 100*3000/(4000*8) = 9,4%
Сумма была положена под i = 9,4%
Задача 2. Определить сумму наращенного капитала на 1 ноября, если клиент положил на депозитный счет 3 мая 15000 рублей под 15% годовых, а 2 августа ставка увеличилась на 4%. Расчеты ведутся по французской методике расчета процентов.
d 1 = с 3 мая по 2 августа = 91 день
d 2 = со 2 августа по 1 ноября = 91 день
k = 360 дней (французская методика)
I 1 = P 1* i 1* d 1/( k *100) = 15000*15*91/(100*360) = 568,75 руб.
S1= P1+I1 = 15000 + 568,75 = 15568,75 руб .
I2 = P2* i2*d2/(k*100) = 15568,75*19*91/(100*360) = 747,735 руб .
S 2 = P 2+ I 2 = 15568,75 + 747,735 = 16316,485 руб.
Сумма наращенного капитала на 1 ноября составляет 16316,485 руб.
Задачи на расчет простых и сложных %
Задача 3
1. На какой срок необходимо вложить 5000 рублей при 30% годовых, чтобы сумма дохода составила 560 рублей?
560 = (5000*30* d )/100*365;
150000* d = 20440000
Ответ: 5000 руб. надо положить на 136 дней, чтобы получить доход в 560 руб. при 30% годовых
Клиент положил в банк депозит в размере 25 000 руб. 15 апреля. 19 июня клиент снял со счета 8 000 руб. Определить ставку банка по вкладу, если суммарный доход на 1 января по депозиту клиента составил 1000 руб. Расчеты ведутся по английской методике расчета процентов.
Р = 25000- 8000=17000 руб.
1000 = (17000* i *261)/100*365;
4437000* i = 36500000
Ответ: ставка банка по вкладу равна 8,2%
Задача 5 . На какой срок необходимо вложить 15 000 рублей при 9 % годовых, чтобы сумма дохода составила 2 000 рублей?
Для решения задачи воспользуемся формулой
i — процентная ставка;
n – срок в годах.
Из формулы получаем, что n = I *100% / P * i
n = 2 000 * 100 % / 15 000 * 9 % = 1,481 лет
Ответ: нужно вложить на 1, 481 лет.
Задача 6 . Клиент положил в банк депозит в размере 45 000 руб. 15 мая. 30 июля клиент снял со счета 7 000 руб. Определить ставку банка по вкладу, если суммарный доход на 1 января по депозиту клиента составил 6 000 руб. Расчеты ведутся по английской методике расчета процентов.
Для решения задачи воспользуемся формулой
i — процентная ставка;
d – срок в днях, на который положили деньги;
K — база измерения времени или продолжительность года в днях.
Английская практика (в России) – 365 дней.
Из формулы получаем, что i = I * 100% * K / P * d
P = 45 000 – 7 000 = 38 000 рублей
d = (31-15) +30+31+31+30+31+30+31+1 = 231
i = 6 000 * 100 % * 365 / 38 000 * 231 = 24,95 %
Ответ: ставка банка по вкладу 24,95 %.
Под какой процент была вложена 1000 рублей, если через 7 лет сумма наращенного капитала составила 5600 рублей.
1) Процентный платеж или доход кредитора:
I = S — P = 5600 – 1000=4600 руб.
S – сумма наращенного капитала
P — первоначальный капитал
2) Процентную ставку:
i =100* I /( P * n )=100*4600/(1000*7)=66%
n — время, выраженное в годах
Ответ: процентная ставка равна 66% годовых.
Определить сумму наращенного капитала на 12 октября, если клиент положил на депозитный счет 3 апреля 20 000 рублей под 15% годовых, а 12 августа ставка увеличилась на 2%. Расчеты ведутся по немецкой методике расчета процентов.
Согласно немецкой методике год условно принимается за 360 дней, а месяц – 30 дней.
1) Количество дней, в течении которых вклад лежал под 15 % годовых:
Август – 11 дней
d = 128 дней – время пользованию ссудой
2) Количество дней, в течении вклад лежал под 17 % годовых:
Август – 19 дней
Сентябрь – 30 дней
Октябрь – 12 дней
d = 61 день – время пользованию ссудой
3) Доход, получаемый кредитором от заемщика за пользование денежной ссудой:
I = P * i * d /( k *100) = [20000*15+128/(100*360)] +[20000*17+61/(100*360)] = 1642 , 78 руб.
Р – первоначальный капитал
i – процентная ставка
d – количество дней
4) Сумма наращенного капитала:
S = P + I = 20000 + 1642,78 = 21642,78 руб.
Ответ: наращенный капитал равен 21642,78 руб.
Среднемесячная заработная плата за вычетом налогов на предприятии составила: в базисном периоде 1 1548 руб., в отчётном- 14005 руб., цены на потребительские товары и услуги повысились в отчётном периоде па 17,5%. Доля налогов в заработной плате в базисном периоде составляла 13%, в отчётном — 15%. Определите: 1 .Индекс покупательной способности денег.
2.Индекс номинальной и реальной заработной платы.
Имеются следующие данные о составе и использовании денежных доходов населения РФ в текущих ценах, млрд руб.:*
* Россия в цифрах. 2008: Стат. сб. — М.: Росстат, 2008. С. 120.
Показатель 2006 г. 2007 г .
-доходы от предпринимательской деятельности 1915,1 2118,3
-оплата труда 11237,0 14940,0
-социальные выплаты 2080,4 2317,8
-доходы от собственности 1720,6 1423,1
-другие доходы 336,8 424,3
Денежные расходы и сбережения:
-покупка товаров и оплата услуг 11927,5 14792,4
-обязательные платежи и разнообразные взносы 1813,0 2661,0
-приобретение недвижимости 572,3 690,5
-прирост финансовых активов
Определить за каждый год:
1. Номинальные и располагаемые денежные доходы населения в текущих ценах.
2. Прирост финансовых активов.
3. Структуру денежных доходов и расходов населения.
4. Изменение структуры денежных доходов населения с помощью обобщающих показателей
Больший капитал вложен на 6 месяцев при ставке 5%, а меньший на 3 месяца при ставке 6%. Разница между двумя капиталами 1000 рублей. Найти величину капиталов, если известно, что процентный платеж по первому капиталу равен двойному процентному платежу за второй капитал.
Задача на простые проценты.
Сравнить доход по различным вкладам:
1 – 5000 рублей с 1 мая по 10 ноября по 15 % годовых (английская практика расчета процентов)
2 – 4000 рублей с 5 апреля по 28 августа под 20% годовых (немецкая практика расчета процентов).
Задача на простые проценты.
По английской практике расчета процентов в году 365 дней и в месяце число дней соответствует календарю. Значит, доход по первому вкладу нужно рассчитывать на следующее количество дней: 30+30+31+31+30+31+10=193;
I 1=( P 1* i 1* d 1) / ( K 1*100)=5000*15*193/(365*100)=396,58 руб.
По немецкой практике расчета процентов в году 360 дней и 30 дней в каждом месяце. Значит, доход по первому вкладу нужно рассчитывать на следующее количество дней: 25+30+30+30+28=143
I 2=( P 2* i 2* d 2) / ( K 2 *100)=4000*20*143/(360*100)=317,78 руб.
Следовательно, доход по первому вкладу больше, чем по второму на 78,8 рублей.
Капитал величиной 15 000 рублей вложен в банк на 3 месяца под 6% годовых. Найти сумму наращенного капитала.
Решение задачи на простые проценты:
Будем решать данную задачу с использованием методики простых процентов.
Определим доход от вклада 15 000руб, положенных в банк на 3 месяца:
I = P * i * m / (12*100) = 15000*6*3/ (12*100)=225 руб.
Сумма наращенного капитала
Клиент положил в банк депозит в размере 20 000 руб. 15 мая. 10 августа клиент снял со счета 15 000 руб. Определить ставку банка по вкладу, если суммарный доход на 1 февраля по депозиту клиента составил 11 000 руб. Расчеты ведутся по немецкой методике расчета процентов.
При определении числа дней ссуды по немецкой методике расчета процентов год условно принимается за 360 дней, а месяц – 30 дней. Учитывая это, посчитаем сколько дней составит время депозита в размере 20 000 рублей:
август – 10 дней.
Определим доход от депозитного вклада суммы 20 000 рублей на срок 85 дней:
I=(P*i*d) / (K*100)=20000*85*i/(360*100)=47,22 i.
После того, как клиент 10 августа снял со счета 15 000 рублей, сумма депозита составила 5 000 рублей. Посчитаем сколько дней составит время депозита в размере 5 000 рублей
август – 20 дней;
сентябрь – 30 дней;
октябрь – 30 дней;
ноябрь – 30 дней
декабрь – 30 дней
Тогда, I2=(P2*i*d2) / (K*100)=5000*170*i/(365*100)=23,288 i.
Определим суммарный доход от депозитного вклада:
I=I1+I2=47,22 i.+23,288 I = 70,51* i = 11000;
При заданных условиях ставка банка по вкладу составила 156%.
Под какой процент была вложена 5000 рублей, если через пять лет сумма наращенного капитала составила 3600 рублей.
По условию, была вложена сумма P =5000 рублей.
Сумма наращенного капитала I =3600 рублей.
i =3600/(5000*5)=0,144, т.е. 14,4%
Ответ: процент составляет 14,4% .
Определить сумму наращенного капитала на 1 октября, если клиент положил на депозитный счёт 3 апреля 20000 рублей под 15 % годовых, а 2 августа ставка увеличилась на 2 процента. Расчеты ведутся по немецкой методике расчета процентов.
По условию, была вложена сумма P =20000 рублей.
Размер процента составлял 15% с 3-го апреля по 2 августа и 15+2=17% -со второго августа до 1 октября.
Разобьём это время на два периода:
d 1=27+30+30+30+2=119-первый период по немецкой системе
d 2=28+30+1=59-второй период по немецкой системе
I = I 1+ I 2-наращеный капитал за два периода.
k – база дней по немецкой системе.
I=P*i*d/K=I1+I2= 20000*0,15*119/360+ 20000*0,17*59/360= 1548,99 рублей.
I 1=991,67 рублей
I 2=557,22 рублей
I =1548,99 рублей
Ответ: сумма наращенного капитала I =1548,99 рублей.
Капитал величиной 40000 рублей вложен в банк на 3 месяца под 6% годовых. Найти сумму наращенного капитала.
Клиент положил в банк депозит в размере 50000 руб. 15 мая. 10 августа клиент снял со счета 25000 руб. Определить ставку банка по вкладу, если суммарный доход на 1 февраля по депозиту клиента составил 5000 руб. Ресчеты ведутся по немецкой методике расчета процентов.
I = I 1+ I 2; Составим уравнение, решив которое получим: i = 31.5121%
Ответ: i = 31.5121%
Под какой процент была вложена 1000 рублей, если через 7 лет сумма наращенного капитала составила 5600 рублей.
I = S — P = 5600 – 1000=4600 руб.
S — наращенный капитал
P — первоначальный капитал
Теперь определим процентную ставку:
Ответ: процентная ставка равна 15,71% годовых.
Определить сумму наращенного капитала на 12 октября, если клиент положил на депозитный счет 3 апреля 20 000 рублей под 15% годовых, а 12 августа ставка увеличилась на 2%. Расчеты ведутся по немецкой методике расчета процентов.
Немецкая методика: год условно принимается за 360 дней, а месяц – 30 дней. При определении числа дней ссуды по календарю в России первый и последний дни не учитываются.
Сосчитаем количество дней, при которых вклад лежал под 15 % годовых:
Август – 11 день
Сумма – 128 дней
И количество дней, при которых вклад лежал под 17 % годовых:
Август – 19 дней
Сентябрь – 30 дней
Октябрь – 11 день
I = P * i * d /(100*360)=[20000*15*128/36000 ]+ [20000*17*60/36000 ] = 1633,33.
I = 1633,33 рубля, где
Р – сумма вклада
i – процентная ставка
d – количество дней
S = P + I = 20000 + 1633,33 = 2163,33 рубля.
Ответ: наращенный капитал равен 2163,33 рубля.
Источник
Как решать задачи с процентами
О чем эта статья:
Основные определения
Когда мы сравниваем разные части целого, мы используем такие понятия, как половина (1/2), треть (1/3), четверть (1/4). Это удобно: отрезать половину пирога, пройти треть пути, закончить первую четверть в школе.
Чтобы сравнивать сотые доли, придумали процент (1/100): с латинского языка — «за сто».
Процент — это одна сотая часть от любого числа. Обозначается вот так: %.
Чтобы узнать, как перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить число на 100, как в примере выше.
А если нужно перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Например:
А вот, как перевести проценты в десятичную дробь — обратным действием:
Выразить дробь в процентах просто. Для перевода сначала превратим её в десятичную дробь, а потом используем предыдущее правило:
Типы задач на проценты
В 5, 6, 7, 8, 9 классах в задачках по математике на проценты сравнивают части одного целого, определяют долю части от целого, ищут целое по части. Давайте рассмотрим все виды задач на проценты.
Тип 1. Нахождение процента от числа
Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент.
Задача. За месяц на заводе изготовили 500 стульев. 20% изготовленных стульев не прошли контроль качества. Сколько стульев не прошло контроль качества?
Как решаем: нужно найти 20% от общего количества изготовленных стульев (500).
Из общего количества изготовленных стульев контроль не прошли 100 штук.
Тип 2. Нахождение числа по его проценту
Чтобы найти число по его проценту, нужно его известную часть разделить на то, сколько процентов она составляет от числа.
Задачи по поиску процента по числу и числа по его проценту очень похожи. Чтобы не перепутать — внимательно читаем условия, иначе зайдем в тупик или решим неправильно. Если в задании есть слова «который», «что составляет» и «который составляет» — перед нами задача по нахождению числа по его проценту.
Задача. Школьник решил 38 задач из учебника. Что составляет 16% числа всех задач в книге. Сколько всего задач собрано в этом учебнике?
Как решаем: мы не знаем, сколько всего задач в учебнике. Но нам известно, что 38 задач составляют 16% от общего количества. Запишем 16% в виде дроби: 0,16. Далее известную нам часть целого разделим на ту долю, которую она составляет от всего целого.
38/0,16 = 38 * 100/16 = 237,5
Значит 237 задачи включили в этот сборник.
Тип 3. Нахождение процентного отношения двух чисел
Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно ту часть, о которой спрашивается, разделить на общее количество и умножить на 100%.
Задача. В классе учится 25 человек. 10 из них — девочки. Сколько процентов девочек в классе?
Как решаем: возьмем алгоритм из правила выше:
10/25 * 100% = 2/5 * 100% = 2 * 100/5 = 40%
В классе учится 10 девочек — это 40%.
Тип 4. Увеличение числа на процент
Чтобы увеличить число на некоторое количество процентов, нужно найти число, которое выражает нужное количество процентов от данного числа, и сложить его с данным числом.
Формула расчета процента от числа выглядит так:
a = b * ((1 + c) / 100),
где a — число, которое нужно найти,
b — первоначальное значение,
c — проценты.
Задача. В прошлом месяце стикер-пак стоил 110 рублей. А в этом месяце на 12% больше. Сколько стоит стикер-пак?
Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.
110 * (1 + 12/100) = 110 * 1,12 = 123,2.
Стоимость стикер-пака в этом месяце — 123 рубля 20 копеек.
Тип 5. Уменьшение числа на процент
Чтобы уменьшить число на несколько процентов, нужно найти число, которое выражает нужное количество процентов данного числа, и вычесть его от данного числа.
Формула расчета выглядит так:
a = b * ((1 — c) / 100),
где a — число, которое нужно найти,
b — первоначальное значение,
c — проценты.
Задача. В прошлом году школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 меньше. Сколько выпускников в этом году?
Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.
100 * (1 – 25/100) = 75
75 выпускников закончат школу в этом году.
Тип 6. Задачи на простые проценты
Простые проценты — метод расчета процентов, при котором начисления происходят на первоначальную сумму вклада или долга.
Формула расчета выглядит так:
S = а * ((1 + у * х)/ 100),
где a — исходная сумма,
S — сумма, которая наращивается,
x — процентная ставка,
y — количество периодов начисления процента.
Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей, чтобы купить тебе что-то классное. Кредит на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они внесут через год?
Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.
5000 * (1 + 12 * 15/100) = 14000
Родители через год внесут в банк 14000 рублей.
Тип 7. Задачи на сложные проценты
Сложные проценты — это метод расчета процентов, когда проценты прибыли прибавляют к сумме на остатке каждый месяц. В следующий раз проценты начисляют на эту новую сумму.
Формула расчета выглядит так:
S = а * ((1 + х)/100) y ,
где S — наращиваемая сумма,
a — исходная,
x — процентная ставка,
y — количество периодов начисления процента.
Задача. Папа взял в банке кредит 25000 рублей на 3 месяца под 15%. Нам нужно узнать, сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.
Как решаем: просто подставим в формулу данные из условий задачи:
25000 * (1 + 15/100)3 = 38021,875 — искомая сумма.
Онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы! Уроки ведут лучшие преподаватели!
Способы нахождения процента
Универсальная формула для решения задач на проценты:
| A * b = C, где A — исходное число, b — проценты, переведенные в десятичную дробь, C — новое число. |
Чтобы применить алгоритм, нужно прочитать задачу, отметить, какие два числа нам известны и найти третье.
Есть еще четыре способа поиска процентов. Рассмотрим каждый из них.
Деление числа на 100
При делении на 100 получается 1% от этого числа. Это правило можно использовать по-разному. Например, чтобы узнать процент от суммы, нужно умножить их на размер 1%. А чтобы перевести известное значение, следует разделить его на размер 1%. Этот метод отлично помогает в вопросе, как перевести целое число в проценты.
Представьте, что вы пришли в магазин за шоколадом. Обычно он стоит 250 рублей, но сегодня скидка 15%. Если у вас есть дисконтная карта магазина, шоколад обойдется вам в 225 рублей. Чем будет выгоднее воспользоваться: скидкой или картой?
Как решаем:
Ответ: выгоднее воспользоваться скидкой 15%. Составление пропорцииПропорция — определенное соотношение частей между собой. С помощью метода пропорции можно рассчитать любые %. Выглядит это так: Читается: a относится к b так, как с относится к d. Также важно помнить, что произведение крайних членов равно произведению средних. Чтобы узнать неизвестное из этого равенства, нужно решить простейшее уравнение. Рассмотрим пример. На сколько выгодно покупать спортивную футболку за 1390 рублей при условии, что в магазине в честь дня всех влюбленных действует скидка 14%?
Ответ: купить спортивную футболку выгоднее на 194,6 рубля. Соотношения чиселЕсть случаи, при которых можно использовать простые дроби.
Задача для тренировки. В черную пятницу вы нашли отличный пиджак со скидкой 25%. В обычный день он стоит 8500 рублей, но сейчас с собой есть только 6400 рублей. Хватит ли средств для покупки?
Ответ: средств хватит, так как пиджак стоит 6375 рублей. Задачи на проценты с решениемКак мы уже убедились, решать задачи на проценты совсем несложно. Для закрепления материала рассмотрим реальные примеры на проценты из учебников и несколько заданий для подготовки к ЕГЭ. Задача 1. Организм взрослого человека на 70% состоит из воды. Какова масса воды в теле человека, который весит 76 кг? 76 : 100 = 0,76 — 1% от массы человека Ответ: масса воды 53,2 кг Задача 2. Цена товара понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной ценой? Обозначим первоначальную цену товара через х. После первого понижения цена станет равной. Второе понижение цены составляет 25% от новой цены 0,6х, поэтому после второго понижения получим: 0,6х — 0,25 * 0,6x = 0,45x После двух понижений изменение цены составит: Так как величина 0,55x составляет 55% от величины x, то цена товара понизилась на 55%. Задача 3. Четыре пары брюк дешевле одного пальто на 8%. На сколько процентов пять пар брюк стоят дороже, чем одно пальто? По условиям задачи стоимость четырех пар брюк — это 92% от стоимости пальто Получается, что стоимость одной пары брюк — это 23% стоимости пальто. Теперь умножим стоимость одной пары брюк на пять и узнаем, что пять пар брюк обойдутся в 115% стоимости пальто. Ответ: пять пар брюк на 15% дороже, чем одно пальто. Задача 4. Семья состоит из трех человек: муж, жена и дочь-студентка. Если зарплата мужа вырастет в два раза, общий доход семьи возрастет на 67%. Если дочери в три раза урежут стипендию, общий доход этой семьи уменьшится на 4%. Вычислить, какой процент в общий доход семьи приносит заработок жены. По условиям задачи общий доход семьи напрямую зависит от доходов мужа. Благодаря увеличению зарплаты общий доход семьи вырастет на 67%. Значит, зарплата мужа составляет как раз 67% от общего дохода. Если стипендия дочери уменьшится в три раза (т.е. на 1/3), останется 2/3 — это и есть 4%, на которые уменьшился бы семейных доход. Можно составить простую пропорцию и выяснить, что раз 2/3 стипендии — это 4% дохода, то вся стипендия — это 6%. А теперь отнимем от всего дохода вклад мужа и дочери и узнаем, какой процент составляет заработок жены в общем доходе семьи: 100 – 67 – 6 = 27. Ответ: заработок жены составляет 27%. Задача 5. В свежих абрикосах 90% влаги, а в сухофрукте кураге только 5%. Сколько килограммов абрикосов нужно, чтобы получить 20 килограммов кураги? Исходя из условия, в абрикосах 10% питательного вещества, а в кураге в концентрированном виде — 95%. Поэтому в 20 килограммах кураги 20 * 0,95 = 19 кг питательного вещества. На вопрос задачи мы ответим, если разделим одинаковое количество питательного вещества, которое содержится в разных объемах свежих абрикосов и кураги, на его процентное содержание в абрикосах. Ответ: 190 кг свежих абрикосов потребуется для изготовления 20 кг кураги. Источник |
