Способ моментов при расчете средних величин

Решения задач методом моментов

Для оценивания неизвестных параметров статистических распределений наравне с методом наибольшего правдоподобия используют метод моментов.

Суть метода: выразить числовые параметры теоретического распределения через моменты распределения, оценненные по выборки. Число моментов должно соответствовать числу неизвестных параметров распределения (чаще всего используют первые два момента). После вычисления приравниваем теоретические и выборочные моменты друг к другу и выражаем оценки параметров.

Данный метод прост в в реализации, дает неплохие оценки и удобен для отработки навыков. Про свойства оценок: состоятельность оценок выполняется при непрерывной зависимости от параметра, асимптотическая эффективность оценок, полученных по ММП всегда лучше чем у ММ, оценки по ММ чаще всего смещенные (требуется проверка).

Примеры нахождения оценок по методу моментов для разных распределений вы найдете ниже. Удачи!

Примеры решений

Пример 1. Число семян сорняков в пробах зерна подчинено закону Пуассона. Имеется выборка проб зерна. Результаты записаны в таблице Т1. Найти параметр $\lambda$ по выборке методом моментов.

Пример 2. При условии равномерного распределения случайной величины $Х$ произведена выборка
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
21 16 15 26 22 14 21 22 18 25
Найти оценку параметров $a$ и $b$ по методу моментов.

Пример 3. Найти методом моментов по выборке $x_1, x_2, . x_n$ точечную оценку параметра $p$ биномиального распределения $P_m(x_i)=C_^ p^ (1-p)^$, где $x_i$ — число появлений события в $i$-ом опыте ($i=1,2. n$), $m$ — количество испытаний в одном опыте.

Пример 4. Найти методом моментов по выборке $x_1, x_2, . x_n$ точечные оценки неизвестных параметров $a$ и $\sigma$ нормального распределения.

Пример 5. Пусть случайная величина $\xi$ имеет плотность $p(x)=1/(b-a)$, если $x\in(a;b)$, и $p(x)=0$, иначе. Произведена выборка. Используя метод моментов, найти $a$ и $b$.

Теория по методу моментов

Хотите немного больше знать о теоретических основах метода моментов для чайников? Материалов в интернете к сожалению не так много, подойдут классические учебники по математической статистике и конечно же лекция Черновой Н. по методу моментов с теоретическими основами и примерами решений.

Источник

5.2. Вычисление средней из вариационного ряда «способом моментов»

«Способ моментов» применяется в рядах с равными интервалами на основе свойств средней арифметической. Средняя арифметическая исчисляется по формуле

,

где i – размер интервала;

m₁ – момент первого порядка (средняя арифметическая из новых упрощенных вариант ;– новые упрощенные варианты;f – частота);

А– постоянное число (лучше всего взять его равным варианте, у которой наибольшая частота).

Определим среднее значение признака «способом моментов» на следующем примере.

Пример 5. Имеются следующие данные о распределении магазинов облпотребсоюза по торговой площади (табл. 14).

Группировка магазинов по торговой площади, м 2 (х)

Удельный вес магазинов, % ( f )

Следует определить среднюю площадь магазинов, применив «способ моментов».

Данные распределения магазинов по торговой площади представлены в виде интервального ряда распределения с равными интервалами (i = 20 м 2 ), следовательно, расчет средней площади магазина можно провести по формуле , применив «способ моментов».

Первый и последний интервалы даны открытыми, т. е. не имеют границ нижней и верхней соответственно. Для определения среднего значения в них границы интервалов следует закрыть. Для первой группы с размером площади до 40 м 2 условно считаем, что интервал также равен 20 м 2 , затем вычитаем 20 м 2 из 40 м 2 и находим условную нижнюю границу первого интервала (20 – 40). Условную верхнюю границу последнего интервала определяем аналогично (100 – 120).

Расчеты следует проводить в табл. 15.

Группировка мага- зинов по торговой площади, м 2 (х)

Источник

Метод моментов

Содержание:

1. Примеры с решением

Метод моментов

Метод моментов, предложенный английским статистиком Карлом Пирсоном в 1894 г., заключается в приравнивании определенного числа выборочных моментов к соответствующим теоретическим, которые являются функциями неизвестных параметров Рассматривая количество моментов, равное числу к неизвестных параметров, подлежащих определению, и решая полученные уравнения относительно этих параметров, получаем искомые оценки. Иначе говоря, оценки параметров являются решениями систем уравнений или , для некоторых

Метод моментов содержит неопределенность, поскольку можно получить уравнения для неизвестных параметров , используя как начальные, так и центральные моменты, а также некоторые их модификации типа асимметрии или эксцесса.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

Пример:

Функция

задает плотность распределения Рэлея (см. § 6.4). Требуется оценить параметр по выборке

Найдем оценку параметра 0, приравнивая начальные выборочные и теоретические моменты. Первый начальный момент

имеет вид: Приравнивая, получаем первую оценку параметра:

Приравнивая вторые начальные моменты, можем получить другую оценку: из уравнения, которое получитсяся при использовании второго центрального момента (дисперсии), — третью оценку:

• Часто полагают, что для нахождения оценки одного параметра следует брать первый момент, для двух — первые два момента и т.п. По возможности действительно имеет смысл поступать так, поскольку это проще всего. Однако такой подход годится не всегда. Он не проходит, например, если некоторые моменты равны нулю или не зависят от нужных параметров.

В общем случае система уравнений для моментов может не иметь решения в элементарных функциях (и тогда можно искать решение приближенными методами) или вообще оказаться неразрешимой (несовместной).

Оценки, полученные методом моментов, часто оказываются смешенными. К достоинствам метода моментов следует отнести его простую вычислительную реализацию, а также то, что оценки являются функциями от выборочных моментов.

В силу теоремы Слуцкого любая непрерывная функция от выборочных моментов функции сходится по вероятности к постоянной, получаемой подстановкой в эту функцию теоретических моментов, если они существуют и если получаемая таким образом постоянная конечна. Для определенности рассмотрим функцию от двух моментов (начальных или центральных), хотя ее можно обобщить на любое конечное число аргументов, в том числе и на случай, когда Н зависит только от одного аргумента.

Теорема 1. (Крамера). Пусть в некоторой окрестности точки функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядка:

Тогда для любой выборки, по которой найдены оценки , случайная величина асимптотически нормальна при следующими параметрами:

Иногда оценки, получаемые с помощью метода моментов, принимаются в качестве первого приближения, по которому можно построить другими методами оценки более высокого качества.

Оценки метода моментов используются также, когда существует необходимость оценить не сами параметры распределения (которые часто представляют собой некие абстракции), а определенные практически значимые показатели, зависящие от этих параметров функционально: . Самый простой (хотя и не самый точный) способ такого оценивания — подставить полученные оценки в соответствующую функцию:

Если распределение определяется одним параметром, то для построения оценки один теоретический момент приравнивают к одному эмпирическому моменту того же порядка (обычно первого).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Источник

Определение средней арифметической по способу моментов. Свойства средней арифметической

Где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h – шаг интервала,

Назначение сервиса . С помощью онлайн-калькулятора вычисляется среднее значение по способу моментов. Результат решения оформляется в формате Word .

Инструкция . Для получения решения необходимо заполнить исходные данные и выбрать параметры отчета для оформления в Word.

Алгоритм нахождения средней по способу моментов

Пример . Затраты рабочего времени на однородную технологическую операцию распределялись между рабочими следующим образом:

Требуется определить среднюю величину затрат рабочего времени и среднеквадратическое отклонение по способу моментов; коэффициент вариации; моду и медиану.
Таблица для расчета показателей.

Группы	Середина интервала, x i	Кол-во, f i	x i ·f i	Накопленная частота, S	(x-x ) 2 ·f
5 — 10	7.5	20	150	20	4600.56
15 — 20	17.5	25	437.5	45	667.36
20 — 25	22.5	50	1125	95	1.39
25 — 30	27.5	30	825	125	700.83
30 — 35	32.5	15	487.5	140	1450.42
35 — 40	37.5	10	375	150	2200.28
150	3400	9620.83

Мода

где x 0 – начало модального интервала; h – величина интервала; f 2 –частота, соответствующая модальному интервалу; f 1 – предмодальная частота; f 3 – послемодальная частота.
Выбираем в качестве начала интервала 20, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Наиболее часто встречающееся значение ряда – 22.78 мин.
Медиана
Медианным является интервал 20 — 25, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 23 мин.
.

Находим А = 22.5, шаг интервала h = 5.
Средний квадрат отклонений по способу моментов .

x ц	x * i	x * i f i	2 f i
7.5	-3	-60	180
17.5	-1	-25	25
22.5	0	0	0
27.5	1	30	30
32.5	2	30	60
37.5	3	30	90
5	385

мин.

Среднее квадратическое отклонение .
мин.
Коэффициент вариации — мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v>30% ,но v . С помощью онлайн-калькулятора вычисляется среднее значение по способу моментов. Результат решения оформляется в формате Word .

Инструкция . Для получения решения необходимо заполнить исходные данные и выбрать параметры отчета для оформления в Word.

Алгоритм нахождения средней по способу моментов

Пример . Затраты рабочего времени на однородную технологическую операцию распределялись между рабочими следующим образом:

Требуется определить среднюю величину затрат рабочего времени и среднеквадратическое отклонение по способу моментов; коэффициент вариации; моду и медиану.
Таблица для расчета показателей.

Группы	Середина интервала, x i	Кол-во, f i	x i ·f i	Накопленная частота, S	(x-x ) 2 ·f
5 — 10	7.5	20	150	20	4600.56
15 — 20	17.5	25	437.5	45	667.36
20 — 25	22.5	50	1125	95	1.39
25 — 30	27.5	30	825	125	700.83
30 — 35	32.5	15	487.5	140	1450.42
35 — 40	37.5	10	375	150	2200.28
150	3400	9620.83

Мода

где x 0 – начало модального интервала; h – величина интервала; f 2 –частота, соответствующая модальному интервалу; f 1 – предмодальная частота; f 3 – послемодальная частота.
Выбираем в качестве начала интервала 20, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Наиболее часто встречающееся значение ряда – 22.78 мин.
Медиана
Медианным является интервал 20 — 25, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 23 мин.
.

Источник