Метод медиан рангов
Алгоритм метода медиан рангов
- Упорядочивание оценок каждого эксперта по возрастанию.
- Нахождение медианы, mj.
- Построение новой ранжировки.
- Выбор проектов из принципа — чем меньше ранг, чем лучше проект.
Пример . В таблице приведены упорядочения 8 инвестиционных проектов, представленные 12 экспертами.
Решение.
Упорядочим оценки каждого эксперта по возрастанию. Затем найдем медиану, т.е. среднее тех значений, которые стоят на m = 12 / 2 = 6 и 7 местах.
| A | B | C | D | E | F | G | H | |
| 1 | 8 | 7 | 5 | 6 | 8 | 5 | 8 | 8 |
| 2 | 7 | 6 | 5 | 4 | 8 | 4 | 7 | 8 |
| 3 | 6 | 6 | 4 | 3 | 8 | 4 | 7 | 8 |
| 4 | 6 | 4 | 4 | 3 | 8 | 4 | 7 | 8 |
| 5 | 6 | 4 | 3 | 3 | 8 | 4 | 6 | 7 |
| 6 | 5 | 3 | 3 | 2.5 | 8 | 4 | 6 | 7 |
| 7 | 5 | 3 | 3 | 2 | 7 | 4 | 6 | 7 |
| 8 | 5 | 2 | 3 | 2 | 6 | 4 | 6 | 7 |
| 9 | 5 | 1 | 2.5 | 2 | 5 | 2 | 5 | 7 |
| 10 | 5 | 1 | 2 | 2 | 5 | 2 | 3 | 7 |
| 11 | 1 | 1 | 2 | 1 | 3 | 1 | 2 | 6 |
| 12 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 5 |
| Медианы рангов | 5 | 3 | 3 | 2.25 | 7.5 | 4 | 6 | 7 |
Итак, ранжировка по медианам рангов имеет вид:
| N | Медиана | Новый ранг |
| A | 5 | 5 |
| B | 3 | 2.5 |
| C | 3 | 2.5 |
| D | 2.25 | 1 |
| E | 7.5 | 8 |
| F | 4 | 4 |
| G | 6 | 6 |
| H | 7 | 7 |
D
Здесь запись типа D означает, что проект D предшествует проекту B (т.е. проект D лучше проекта B).
Поскольку некоторые проекты получили одинаковую сумму баллов, то по рассматриваемому методу они эквивалентны, а потому объединены в группу — класс эквивалентности.
Пример №2 . Задание. Руководству фирмы представлено 8 проектов ее стратегического развития: Д,Л,М,Б,Г,С,Т,К (они обозначены по фамилии авторов проекта).
Руководство поручило Правлению фирмы создать экспертную комиссию из 12 экспертов и выдать каждому представленные проекты для их рассмотрения.
Каждый эксперт присвоил каждому проекту ранг в соответствии с его приоритетом, причем ранг 1 присваивался самому лучшему, ранг 2-второму по привлекательности и т.д.
Ранги 8 проектов по степени привлекательности приведены в обобщенной таблице 1.
Аналитическому подразделению Рабочей группы поручено провести математические расчеты методом средних арифметических и методом медиан рангов и анализ результатов работы экспертов (таблицу 1. 1) и представить предложение по наилучшему проекту и ранги остальных.
Требуется представить предложение для принятия решения по стратегическому развитию фирмы.
Решить задачу методом медиан рангов.
Источник
Метод медиан рангов
Следует учесть, что ответы экспертов измерены в порядковой шкале, а потому для них недостаточно проводить усреднение методом средних арифметических. Надо также использовать метод медиан.
Для этого надо взять ответы экспертов, соответствующие каждому из проектов, затем их надо расположить в порядке неубывания (проще было бы сказать – «в порядке возрастания», но поскольку некоторые ответы совпадают, то приходится использовать непривычный термин «неубывание») и из полученной последовательности по каждому проекту найти медиану.
Например, проект Д имеет ранги 5, 5, 1, 6, 8, 5, 6, 5, 6, 5, 7, 1. Получим последовательность: 1, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8. На центральных местах — шестом и седьмом — стоят 5 и 5. Следовательно, медиана равна 5.
Результаты расчетов по методу средних арифметических и методу медиан свести в таблицу 2.
Таблица 2. Результаты расчетов по методу средних арифметических и методу медиан для данных, приведенных в таблице 1.
| Д | Л | М-К | Б | Г-Б | Сол | Стеф | К |
| Сумма рангов | 37,5 | 31.5 | |||||
| Среднее арифметическое рангов | 3,25 | 3,125 | 2,625 | 6,333 | 3,25 | 5,333 | 7,083 |
| Итоговый ранг по среднему арифметическому | 3,5 | 3,5 | |||||
| Медианы рангов | 2,25 | 7,5 | |||||
| Итоговый ранг по медианам | 2,5 | 2,5 |
Медианы совокупностей из 12 рангов, соответствующих определенным проектам, приведены в предпоследней строке табл.2. (При этом медианы вычислены по обычным правилам статистики — как среднее арифметическое центральных членов вариационного ряда.) Итоговое упорядочение комиссии экспертов по методу медиан приведено в последней строке таблицы.
Ранжировка (т.е. упорядочение — итоговое мнение комиссии экспертов) по медианам имеет вид:
Источник
Эффективная оценка медианы
Итак, у Вас есть какой-то поток данных. Большой такой поток. Или уже готовый набор. И хочется определить какие-то его характеристики. Алгоритм определения минимального и максимального значения могут придумать даже не программисты. Вычисление среднего уже чуть сложнее, но тоже не представляет никаких трудностей — знай подсчитывай себе сумму да инкрементируй счетчик на каждое новое значение. Среднеквадратичное отклонение — все то же самое, только числа другие. А как насчет медианы?
Для тех, кто забыл, что это такое, напоминаю — медиана (50-й перцентиль) выборки данных — это такое значение, которое делит эту выборку пополам — данные из одной половины имеют значение не меньше медианы, а из второй — не больше. Ценность её заключается в том, что её значение не зависит от величины случайных всплесков, которые могут очень сильно повлиять на среднее.
Строго говоря, из определения следует, что для вычисления точного значения медианы нам нужно хранить всю выборку, иначе нет никаких гарантий, что мы насчитали именно то, что хотели. Но для непрерывных и больших потоков данных точное значение все равно не имеет большого смысла — сейчас оно одно, а через новых 100 отсчетов — уже другое. Поэтому эффективный метод оценки медианы, который не будет требовать много памяти и ресурсов CPU, и будет давать точность порядка одного процента или лучше — как раз то что нужно.
Сразу предупрежу — предложенный метод обладает рядом ограничений. В частности, он очень плохо работает на отсортированных выборках (но зато очень хорошо работает на более-менее равномерно распределенных). Дальше рассматривается более простой случай неотрицательных значений, для общего случая нужны дополнительные вычисления.
Идея метода состоит в том, чтобы построить такой процесс вычисления, который будет сходиться к действительному значению медианы. Если мы уже обработали какой-то обьем данных и имеем какую-то оценку медианы, то про поступлении нового обьема (с почти такой же медианой, что важно) наша оценка должна быть улучшена. Если более точно — то оценка должна быть улучшена с большей вероятностью, чем ухудшена.
Можно использовать разного рода окна вычисления медианы, например, посчитать точную медиану последних 100 значений, и усреднить с постоянно уменьшающимся весом с предыдущей оценкой. Такой метод будет хорошо работать, но есть гораздо более легкий и практически такой же точный. А именно — просто сдвигать текущую оценку медианы к новому значению на какую-то небольшую константную дельту. В случае, если предыдущая оценка была не точной, то при обработке нового объема данных она приблизится к действительному значению, т.е. станет более точной. А если оценка уже и так точная, то на обработке нового объема данных на половине значений будет сдвиг в одну сторону, а на другой половине — в другую, в итоге оценка вернется к точному значению.
Важно, что дельта должна иметь одинаковое абсолютное значение для сдвигов как в большую, так и в меньшую сторону, иначе мы получим не 50-й перцентиль. Но теперь встает проблема подбора значения дельты — слишком маленькое даст медленную сходимость, а слишком большое — получим большую погрешность, особенно если дельта сравнима с самим значением медианы. Автоматическое вычисление дельты уже лишает её звания константы, но это и неважно, если в итоге мы получим лучший результат.
Имеет смысл делать дельту постоянно уменьшающейся, чтобы улучшить сходимость. Но не слишком быстро, иначе, при неблагоприятных условиях оценка рискует никогда не догнать действительное значение медианы. Коэфициент 1/count подходит идеально — он легко вычисляется, и ряд sum(1/n) — расходящийся, так что в конце-концов оценка достигнет действительной медианы, какой бы плохой она ни была изначально.
Привязывать значение дельты к текущей оценке медианы — рискованно. В неудачных условиях слишком заниженной оценке будет сложно расти. Лучше всего вычислять дельту исходя из другой вполне устойчивой характеристики выборки — среднего значения. С коэфициентом 1/count значение дельты будет постоянно уменьшаться (за исключением немногочисленных случаев, когда текущее среднее вырастет слишком сильно по сравнению с предыдущим). Для данных, которые могут принимать не только неотрицательные значение, такой подход уже не сработает, но мы можем легко выйти из положения, если считать два средних — положительных и отрицательных значений, и использовать сумму их абсолютных значений.
Итоговый алгоритм оценки медианы почти такой же простой, как и алгоритм вычисления среднего значения:
Погрешность и скорость сходимости, по моему мнению, у него отличная — на выборке в 100 значений погрешность обычно около 10-20%, на 1000 — уже около 1-3%, и дальше погрешность уменьшается ещё больше.
Для желающих самостоятельно оценить качество работы алгоритма — небольшой скриптик на perl-е:
Статистика для разных распределений:
Источник
Медиана в статистике
Центральную тенденцию данных можно рассматривать не только, как значение с нулевым суммарным отклонением (среднее арифметическое) или максимальную частоту (мода), но и как некоторую отметку (значение в совокупности), делящую ранжированные данные (отсортированные по возрастанию или убыванию) на две равные части. Половина исходных данных меньше этой отметки, а половина – больше. Это и есть медиана.
Итак, медиана в статистике – это уровень показателя, который делит набор данных на две равные половины. Значения в одной половине меньше, а в другой больше медианы. В качестве примера обратимся к набору нормально распределенных случайных чисел.
Очевидно, что при симметричном распределении середина, делящая совокупность пополам, будет находиться в самом центре – там же, где средняя арифметическая (и мода). Это, так сказать, идеальная ситуация, когда мода, медиана и средняя арифметическая совпадают и все их свойства приходятся на одну точку – максимальная частота, деление пополам, нулевая сумма отклонений – все в одном месте. Однако, жизнь не так симметрична, как нормальное распределение.
Допустим, мы имеем дело с техническими замерами отклонений от ожидаемой величины чего-нибудь (содержания элементов, расстояния, уровня, массы и т.д. и т.п.). Если все ОК, то отклонения, скорее всего, будут распределены по закону, близкому к нормальному, примерно, как на рисунке выше. Но если в процессе присутствует важный и неконтролируемый фактор, то могут появиться аномальные значения, которые в значительной мере повлияют на среднюю арифметическую, но при этом почти не затронут медиану.
Медиана выборки – это альтернатива средней арифметической, т.к. она устойчива к аномальным отклонениям (выбросам).
Математическим свойством медианы является то, что сумма абсолютных (по модулю) отклонений от медианного значения дает минимально возможное значение, если сравнивать с отклонениями от любой другой величины. Даже меньше, чем от средней арифметической, о как! Данный факт находит свое применение, например, при решении транспортных задач, когда нужно рассчитать место строительства объектов около дороги таким образом, чтобы суммарная длина рейсов до него из разных мест была минимальной (остановки, заправки, склады и т.д. и т.п.).
Формула медианы
Формула медианы в статистике для дискретных данных чем-то напоминает формулу моды. А именно тем, что формулы как таковой нет. Медианное значение выбирают из имеющихся данных и только, если это невозможно, проводят несложный расчет.
Первым делом данные ранжируют (сортируют по убыванию). Далее есть два варианта. Если количество значений нечетно, то медиана будет соответствовать центральному значению ряда, номер которого можно определить по формуле:
№Me – номер значения, соответствующего медиане,
N – количество значений в совокупности данных.
Тогда медиана обозначается, как
Это первый вариант, когда в данных есть одно центральное значение. Второй вариант наступает тогда, когда количество данных четно, то есть вместо одного есть два центральных значения. Выход прост: берется средняя арифметическая из двух центральных значений:
В интервальных данных выбрать конкретное значение не представляется возможным. Медиану рассчитывают по определенному правилу.
Для начала (после ранжирования данных) находят медианный интервал. Это такой интервал, через который проходит искомое медианное значение. Определяется с помощью накопленной доли ранжированных интервалов. Где накопленная доля впервые перевалила через 50% всех значений, там и медианный интервал.
Не знаю, кто придумал формулу медианы, но исходили явно из того предположения, что распределение данных внутри медианного интервала равномерное (т.е. 30% ширины интервала – это 30% значений, 80% ширины – 80% значений и т.д.). Отсюда, зная количество значений от начала медианного интервала до 50% всех значений совокупности (разница между половиной количества всех значений и накопленной частотой предмедианного интервала), можно найти, какую долю они занимают во всем медианном интервале. Вот эта доля аккурат переносится на ширину медианного интервала, указывая на конкретное значение, именуемое впоследствии медианой.
Обратимся к наглядной схеме.
Немного громоздко получилось, но теперь, надеюсь, все наглядно и понятно. Чтобы при расчете каждый раз не рисовать такой график, можно воспользоваться готовой формулой. Формула медианы имеет следующий вид:
где xMe — нижняя граница медианного интервала;
iMe — ширина медианного интервала;
∑f/2 — количество всех значений, деленное на 2 (два);
S(Me-1)— суммарное количество наблюдений, которое было накоплено до начала медианного интервала, т.е. накопленная частота предмедианного интервала;
fMe — число наблюдений в медианном интервале.
Как нетрудно заметить, формула медианы состоит из двух слагаемых: 1 – значение начала медианного интервала и 2 – та самая часть, которая пропорциональна недостающей накопленной доли до 50%.
Для примера рассчитаем медиану по следующим данным.
Требуется найти медианную цену, то есть ту цену, дешевле и дороже которой по половине количества товаров. Для начала произведем вспомогательные расчеты накопленной частоты, накопленной доли, общего количества товаров.
По последней колонке «Накопленная доля» определяем медианный интервал – 300-400 руб (накопленная доля впервые более 50%). Ширина интервала – 100 руб. Теперь остается подставить данные в приведенную выше формулу и рассчитать медиану.
То есть у одной половины товаров цена ниже, чем 350 руб., у другой половины – выше. Все просто. Средняя арифметическая, рассчитанная по этим же данным, равна 355 руб. Отличие не значительное, но оно есть.
Расчет медианы в Excel
Медиану для числовых данных легко найти, используя функцию Excel, которая так и называется — МЕДИАНА. Другое дело интервальные данные. Соответствующей функции в Excel нет. Поэтому нужно задействовать приведенную выше формулу. Что поделаешь? Но это не очень трагично, так как расчет медианы по интервальным данным – редкий случай. Можно и на калькуляторе разок посчитать.
Напоследок предлагаю задачку. Имеется набор данных. 15, 5, 20, 5, 10. Каково среднее значение? Четыре варианта:
Мода, медиана и среднее значение выборки – это разный способ определить центральную тенденцию в выборке.
Ниже видеоролик о том, как рассчитать медиану в Excel.
Источник
